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Die Schwingung
Unter einer (mechanischen) Schwingung eines Körpers
versteht man eine unter der Einwirkung einer
Rückstellkraft um eine Gleichgewichtslage des Körpers
verlaufende Bewegung, bei der sich die Auslenkung
des Körpers aus der Ruhelage zeitlich periodisch
wiederholen.
Unter einer harmonischen Schwingung versteht man eine
Schwingung, bei der die Rückstellkraft der Auslenkung
proportional und stets zur Gleichgewichtslage gerichtet ist.
Wenn man einen Massenpunkt, der eine gleichmäßige
Kreisbewegung ausführt, durch paralleles Licht auf eine Ebene
senkrecht zur Kreisbahn projiziert, so führt der Schatten eine
harmonische Schwingung aus.
Die Schwingung
Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung
m a   D x  da gilt : a(t )  x' ' (t ), erhält m an
m x' ' (t )   D x(t ) 
D
x' ' (t ) 
x(t )  0
Differenzialgleichung
m
Ein Lösungsansatz wäre: x(t) = Ao sin ( t)
Bildet man die 2. Ableitung von x(t) und setzt diese in die
Differenzialgleichung ein, so erhält man:
x‘‘(t) = - Ao 2 sin ( t)
Ao  2 Sin ( t ) 
D
Ao Sin ( t )  0
m
Die Schwingung
Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung
D
x' ' (t ) 
x(t )  0
m
Differenzialgleichung
2 
D
Ao  Sin ( t )  Ao Sin ( t )  0
m
2
Dividiert man durch Ao sin ( t),
so ergibt sich
D
 0 Daraus lässt sich  berechnen:  
m
Die Lösung ist:
D
m
D
x(t )  Ao Sin ( t )  Ao Sin (
t)
m
Die Amplitude Ao ergibt sich aus den Anfangsbedingungen
Die Schwingung
x' ' (t ) 
D
x(t )  0
m
Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung
x(t )  Ao Sin( t )
v(t )  x' (t )  Ao  Cos ( t )
a(t )  x' ' (t )   Ao  Sin( t )
2
Die Schwingung
x' ' (t ) 
D
x(t )  0
m
Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung
D
x(t )  Ao Sin (
t)
m
v(t )  x' (t )  Ao
D
D
Cos (
t)
m
m
D
D
a(t )  x' ' (t )   Ao
Sin (
t)
m
m
Die Schwingung
D
x' ' (t ) 
x(t )  0
m
Aufgaben
Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit
D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und Ao = 4 cm und tragen Sie maßstäblich die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion ein.
Die Auslenkung eines Federpendels beträgt 2 s nach dem
Nulldurchgang x(t) = 4 cm. Die Amplitude ist 6 cm. Bestimmen
Sie die Frequenz f und die Periodendauer T.
Zu welchen Zeiten nach dem Nulldurchgang erreicht die
Auslenkung eines Federpendels mit der Amplitude 5 cm und f =
0,4 Hz die Werte a) x1 = 8 mm, b) x2 = 2 cm, c) x = 4 cm?
Die Schwingung
Aufgaben
Harmonische Schwingung
Auslenkung
Zeichnen Sie das
Zeit-Weg-Diagramm
eines Federpendels
mit D= 0,5 N/m, m =
0,2 kg und Ao = 4 cm
und tragen Sie maßstäblich die Geschwindigkeits- und
Beschleunigungsfunktion ein.
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
-0,01 0
5
10
15
-0,02
-0,03
-0,04
-0,05
Auslenkung
Geschwindigkeit
t
Aufgaben
Zeichnen Sie das
Zeit-Weg-Diagramm
eines Federpendels
mit D= 0,5 N/m, m =
0,2 kg und Ao = 4 cm
und tragen Sie maßstäblich die Geschwindigkeits- und
Beschleunigungsfunktion ein.
x(t),v(t),a(t)
Die Schwingung
Harm. Schwingungen
x(t)
v(t)
a(t)
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
-0,01
-0,02
-0,03
-0,04
-0,05
t
0
5
10
15
Die Schwingung
Aufgaben
Welche Kurve zeigt das Feder-Schwere-Pendel mit der
kleineren Federkonstanten D?
Antwort: rote Kurve
Die Schwingung
Aufgaben
Welche Kurve zeigt das Feder-Schwere-Pendel mit der
größeren Pendelmasse?
Antwort: grüne Kurve
Die Schwingung
Aufgaben
Wie kann man dieses Bild erhalten?
Antwort: gleiche Masse und Federkonstante, verschiedene Amplitude
Die Schwingung
Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel
Die mechanische Gesamtenergie einer ungedämpften Schwingung
bleibt konstant (Energieerhaltung). Die Energie pendelt zwischen
zwei Energieformen hin und her, zwischen kinetischer und
potenzieller Energie
Wsp(1) + Wkin(1) = Wsp(2) + Wkin(2) = konstant
Die Schwingung
Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel
Beim Feder-Pendel gibt es zwei Energieformen:
Wsp (t ) 
1
1
D
m ( x(t ))2  m A0 ( sin (
t ) )2
2
2
m
Wkin (t ) 
1
1
m (v(t ))2  m A0
2
2
Insgesamt hat man:
D
D 2
(cos(
t ))
m
m
Wges  Wsp (t )  Wkin (t ) 
1
D
1
m A0 ( sin (
t ) )2 
m A0
2
m
2
D
D
( cos(
t ) )2
m
m
Die Schwingung
Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel
Amplitude
1
Energie beim Feder Pendel
Wsp (t ) 
1
D
m A0 ( sin (
t ) )2
2
m
Wkin (t ) 
1
m A0
2
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
t in s
D
D
( cos(
t ) )2
m
m
Die Schwingung
Das Fadenpendel
An einem Faden der Länge l (mit
vernachlässigbarer Masse) hängt ein
Körper mit der Masse m
Lenkt man das Pendel um den Winkel
 aus, dann kann die Gewichtskraft FG
= m*g, die der Körper erfährt, in
zwei Komponenten zerlegen.
1.Die Komponente FN = m*g*cos ,
die in Verlängerung des Fadens wirkt
und von der Spannkraft des Fadens
aufgehoben wird.
2.Die Komponente FR= m*g*sin ,
die tangential zur Kreisbahn wirkt und
den Körper in Richtung auf die Gleichgewichtslage hin beschleunigt
Die Schwingung
Das Fadenpendel
FR= m*g*sin 
 ist der Winkel, den der Faden mit
der Senkrechten bildet. Gibt man 
in Bogenmaß an, so erhält man:
s = *l
Man erhält also:
FR= m*g*sin (s/l).
Die Rückstellkraft ist also nicht
proportional zur Auslenkung s aus
der Gleichgewichtslage. Die
Pendelschwingung ist deshalb keine
harmonische Schwingung.
Die Schwingung
Das Fadenpendel
FR= m*g*sin (s/l).
Für kleine Winkel  gilt
näherungsweise: sin    bzw.
sin (s/l)  s/l. Damit erhält man:
m*a(t) = - m*g*s(t)/l
Und mit s‘‘(t) = a(t) die folgende
Differenzialgleichung:
mg
m s ' ' (t ) 
s (t )  0
l
Die Schwingung
Das Fadenpendel
mg
m s ' ' (t ) 
s (t )  0
l
Als Lösung erhält man:
s (t )  A0 sin (
T  2
l
g
g
t ) und
l
Die Schwingung
Jede freie Schwingung ist gedämpft, da sie Energie an
die Umgebung abgibt.
Verringerung der Amplitude:
1.Der Quotient An+1/An zweier aufeinander folgender Amplituden
ist konstant.
2.Die Zeit, in der die Amplitude jeweils auf die Hälfte ihres
willkürlich gewählten Anfangswert sinkt, ist ebenfalls konstant.
Man nennt sie die Halbwertszeit der Schwingung.
Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Gleichung
x(t) = Ao e
–kt
Sin ( t)
beschrieben, wobei k die Dämpfungskonstante ist.
Die elektromagnetische Schwingung
Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus einem
Kondensator und einer Spule. Durch Induktionsvorgänge
finden ständig Lade- und Entladevorgänge statt und es
entsteht eine gedämpfte Schwingung. Spannung und
Stromstärke ändern sich periodisch und sind um eine
Viertelperiode phasenverschoben
Die elektromagnetische Schwingung
Zeitlicher Verlauf von Spannung und
Stromstärke
Die elektromagnetische Schwingung
Im elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich
elektrische Energie und magnetische Feldenergie periodisch
ineinander um
Die elektromagnetische Schwingung
Zeitlicher Verlauf von Spannung und
Stromstärke
Die elektromagnetische Schwingung
Vergleich zwischen mechanischer und
elektromagnetischer Schwingung
Die elektromagnetische Schwingung
Aufstellen der Differenzialgleichung
Vorausgesetzt wird, dass die Summe der elektrischen und
magnetischen Energie zu jedem Zeitpunkt konstant ist:
1
1
L I (t ) 2  C U (t ) 2  const (1)
2
2

Es gilt weiterhin : I (t )  Q(t ) (2) und U (t ) 
Setzt man dies in (1) ein, so erhält man

1
1 1
L Q(t ) 2 
Q(t ) 2  konst
2
2 C
Um die Konstante wegzubekommen, leitet man nach t ab
und erhält:
 

1
LQQ
QQ0
C
Q(t )
(3)
C
Die elektromagnetische Schwingung
Aufstellen der Differenzialgleichung



1
LQQ
QQ0
C


 Q (L Q 
1
Q)  0
C
Da Q‘(t) nicht Null sein kann (dann wäre Q(t) eine Konstante –
warum?), muss der Klammerausdruck Null sein. Also


1
1
L Q  Q  0  Q(t )  
Q(t )
C
LC
Diese Differenzialgleichung wird gelöst mit der Cosinus(bzw. Sinus-) Funktion. Hierbei ist
1

Q(t )  Qmax cos ( t )  Qmax
LC
1
cos(
 t)
LC
Die elektromagnetische Schwingung
Die Thomsonsche Schwingungsgleichung
T  2 L C
Zeitlicher Verlauf einer elektromagnetischen Schwingung
Ladung: Q(t) = Qo Cos ( t) mit
1

LC
Spannung am Kondensator: U(t) = Uo Cos ( t) mit
Uo = Qo/C
Stromstärke: I(t) = - Io Sin ( t) mit
I o U o
C
L
Die elektromagnetische Schwingung
El. Schwingung
U t
U t ,I t ,Q t
Die Thomsonsche
Schwingungsgleichung
Q t
0.3
It
T  2 L C
0.2
0.1
0.0002
0.1
0.2
0.3
0.0004
0.0006
t
0.0008
Die elektromagnetische Schwingung
Die Energieverteilung
WEL u. WMagn Energie beim Elektromagnet . Schwingkreis
0.8
WEl
WMagn
0.6
0.4
0.2
0.0025 0.005 0.0075 0.01
0.0125 0.015 0.0175
t
0.02
Die elektromagnetische Schwingung
Die Meißnersche
Rückkopplungsschaltung
T  2 L C
Die elektromagnetische Schwingung
Die Dreipunktschaltung
T  2 L C
Die elektromagnetische Schwingung
Die Differentialgleichung der gedämpften
elektromagnetischen Schwingung
1
L Q' ' (t )  R Q' (t )  Q(t )  0
C
Darin bedeutet der Term R Q‘(t) = UR(t) die Teilspannung am Widerstand R. Dieser zusätzliche Term beschreibt die Dämpfung, denn im Widerstand R wird ein
Teil der Energie dem Schwingungsvorgang entzogen.
Die elektromagnetische Schwingung
Die Differentialgleichung der gedämpften
elektromagnetischen Schwingung
Lösung der Differentialgleichung

Q(t )  Q e  t cos( t )
mit
 
ersetzt m an  und  0 

1
R2

L C 4 L2
R
und   02   2
2L
1
, so erhält m an
LC
Die Kreisfrequenz 
hängt wie bei der ungedämpften Schwingung
nur von L, C und R ab.
Die elektromagnetische Schwingung
Die gedämpfte Schwingung
Q t
0.000014
0.000012
0.00001
8.
6.
10
10
6
4.
10
6
2.
10
6
6
2.
10
6
4.
10
6
6.
10
6
8. 10 6
0.00001
0.000012
0.000014
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
t
Die elektromagnetische Schwingung
Die gedämpfte Schwingung
Schwache Schwingfall
Dämpfung
Aperiodischer
Grenzfall
Starke
Kriechfall
Dämpfung
02   2  0
02   2  0
02   2  0
Die elektromagnetische Schwingung
Die gedämpfte Schwingung – schwache Dämpfung

x(t )  x e  t cos( 02   2 t ) x0 = 1;  = 4;  = 0.5
x t
1
0.5
1
0.5
1
2
3
4
5
t
Die elektromagnetische Schwingung
Die gedämpfte Schwingung – der Kriechfall

x(t )  2 x e  t Sinh(  2  02 t )
Nach einem kurzen Anstieg
fällt die Amplitude mit einer
durch die Dämpfung  bestimmten Zeitkonstanten ab.
x0=2; =2*; =25
Die elektromagnetische Schwingung
Die gedämpfte Schwingung – der aperiodische Grenzfall
x(t )  xˆ t e  t
Die Funktion verläuft ähnlich
wie im Kriechfall, geht jedoch
in der kürzestmöglichen Zeit
gegen Null.
x t
1
0.75
x0=15; =2*; = 2*
0.5
0.25
0.5
1
1.5
t
Die elektromagnetische Schwingung
Die aperiodische Dämpfung
Feder
Stoßdämpfer
Aperiodische Dämpfung beim Stoßdämpfer im Auto
Die elektromagnetische Schwingung
Die gedämpfte Schwingung
Ladung t_
Q t
0.000014
:
Kapazitaet U E^
R
2L
t
0.000012
Cos Sqrt 1
0.00001
8.
6.
10
10
6
4.
10
6
2.
10
6
2.
10
6
4.
10
6
10
6
6.
6
8. 10 6
0.00001
0.000012
0.000014
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
L Kapazitaet
R^2
4 L^ 2
t
t
Plot[{Ladung[t]//.{Kapazitaet 1*10^(-6),L 2,R 100,U 14},
-Kapazitaet*U E^(-R/(2 L)*t)//.{Kapazitaet 1*10^(-6),L 2,R 100,U 14},
Kapazitaet*U E^(-R/(2 L)*t)//.{Kapazitaet 1*10^(-6),L 2,R 100,U 14}},
{t,0,0.1},
PlotRange->{{0,0.08},{-0.000016,0.000016}},
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0.000002,0.000004,0.000006,0.000008,0.00001,0.000012,0.000014}},
Ticks->{{0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.1},
{-0.000014,-0.000012,-0.00001,-0.000008,-0.000006,-0.000004,-0.000002,
0.000002,0.000004,0.000006,0.000008,0.00001,0.000012,0.000014}},
DefaultFont->{"Verdana",16},Background GrayLevel[0.01],
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AxesLabel->{"t","Q(t)"}];
Die elektromagnetische Schwingung
Vergleich: Mechanische und elektromagnetische
Schwingung
Die elektromagnetische Schwingung
Überlagerung von Schwingungen
Phasenunterschied:
Gleiche Amplitude und Frequenz
fx
2
1
1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
x
Die elektromagnetische Schwingung
Überlagerung von Schwingungen
Phasenunterschied:0 
Gleiche Amplitude und Frequenz
fx
4
3
2
1
1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
8
x
Die elektromagnetische Schwingung
Überlagerung von Schwingungen
Phasenunterschied:beliebig
Unterschiedliche Amplitude und Frequenz
fx
2
1
x
1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
Die elektromagnetische Schwingung
Überlagerung von Schwingungen - die Schwebung
Phasenunterschied:0 
Gleiche Amplitude, geringer Frequenzunterschied
Schwingungen und Wellen
Gekoppelte Schwingungssysteme
Zwei schwingungsfähige Systeme, die einander beeinflussen
und dabei Energie austauschen, bezeichnet man als gekoppelte Schwingungssysteme.
Simulation
Schwingungen und Wellen
Welle
Die Welle
Eine Welle entsteht, wenn eine Reihe gekoppelter schwingungsfähiger Systeme nacheinander gleichartige Schwingungen ausführt.
Jedes schwingungsfähige
System führt eine zeitlich
periodische Bewegung aus
Der Wellenträger weist zu
einem bestimmten Zeitpunkt
(Momentaufnahme) eine
räumlich periodische Verteilung der schwingungsfähigen
Systeme aus.
Schwingungen und Wellen
Die Transversalwelle
Eine Welle, bei der die
einzelnen Teilchen
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, bezeichnet man als Queroder Transversalwelle.
Schwingungen und Wellen
Die Longitudinalwelle
Eine Welle, bei der
die einzelnen Teilchen in Richtung zur
Ausbreitungsrichtung
der Welle schwingen,
bezeichnet man als
Längs- oder Longitudinalwelle.
Schwingungen und Wellen
Wichtige Begriffe
Wellenberg
Wellental
Als Wellenlänge, Symbol λ, wird der kleinste
Abstand zweier Punkte
gleicher Phase einer
Welle bezeichnet. Dabei
haben zwei Punkte die
gleiche Phase, wenn sie
sich in gleicher Weise
begegnen, d. h. wenn
sie im zeitlichen Ablauf
die gleiche Auslenkung
(Amplitude) und die
gleiche Bewegungsrichtung haben.
Schwingungen und Wellen
Die lineare Welle
Eine fortschreitende lineare Welle entsteht,
wenn einer Kette von Oszillatoren periodisch Energie zugeführt wird und die miteinander gekoppelten
Oszillatoren nacheinander gleichartige erzwungene
Schwingungen ausführen. Die Schwingungszustände des die Schwingung auslösenden Oszillators
bewegen sich über die Kette hinweg. Wenn die
Oszillatoren harmonische Schwingungen ausführen,
so entsteht eine harmonische lineare Welle.
Eine Welle ist ein zeitlich und räumlich periodischer Vorgang.
Die zeitliche Periode ist die Schwingungsdauer T, die
räumliche Periode die Wellenlänge .
Schwingungen und Wellen
Schwingungen und Wellen
Schwingungen und Wellen
Schwingungen und Wellen
Die elektromagnetische Welle
Eine harmonische Welle ist ein räumlich und zeitlich periodischer
Vorgang:
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt: c = f
Die Gleichung der linearen harmonischen Welle lautet
t x
s ( x, t )  smax sin( 2  (  ))
T 
Sie stellt die Oszillatorauslenkung in
Abhängigkeit von Zeit und Ort dar.
Schwingungen und Wellen
Die elektromagnetische Welle
Für den Zeitpunkt t1 = T/2 erhalten wir:
T
1
x
2
2

s( x, )  smax sin( 2  (  ))
d.h. die räumliche Verteilung aller Teilchenauslenkungen
Schwingungen und Wellen
Die elektromagnetische Welle
Für den festen Ort x3 = /4 erhalten wir:

t
1
s( , t )  smax sin( 2  (  ))
4
T 2
d.h. den zeitlichen Verlauf der Schwingung von P3
Schwingungen und Wellen
Das Huygensche Prinzip
Jeder Punkt einer Wellenfläche kann als
Ausgangspunkt einer neuen Wellen (einer
sog. Elementarwelle) betrachtet werden.
Schwingungen und Wellen
Überlagerung von Wellen
Prinzip der ungestörten Überlagerung von Wellen
Treffen an einer Stelle eines Wellenträgers mehrere Wellen
aufeinander, so addieren sich dort die Auslenkungen
(=Elongationen) der Schwingungen. Nach dem
Zusammentreffen laufen die Wellen ungestört weiter.
Die ungestörte Überlagerung mehrerer Wellen von gleicher
Frequenz (und damit gleicher Wellenlänge) am selben Ort
bezeichnet man als Interferenz.
Schwingungen und Wellen
Überlagerung von Wellen
Simulation
Schwingungen und Wellen
Überlagerung von Wellen
Für Punkte maximaler
Erregung ist der Gangunterschied der interferierenden Wellen d = k . Die
Phasendifferenz der Schwingungen beträgt k2
Für Punkte minimaler Erregung
ist der Gangunterschied der
interferierenden Wellen
d = ((2k-1)/2) . Die
Phasendifferenz beträgt
Simulation
(2k-1), k = 1,2..
Schwingungen und Wellen
Überlagerung von Wellen
Lösung der Aufgabe
Schwingungen und Wellen
Überlagerung von Wellen
Lösung der Aufgabe
Schwingungen und Wellen
Überlagerung von Wellen
Lösung der Aufgabe
Schwingungen und Wellen
Überlagerung von Wellen
Lösung der Aufgabe
Schwingungen und Wellen
Die elektromagnetische Welle
Vom Sendedipol gehen Wellen elektrischer und magnetischer Felder aus. Die beiden Felder stehen senkrecht zueinander. Das Ganze nennt man eine elektromagnetische
Welle.
Wandernde elektrische und magnetische Felder erzeugen sich
wechselseitig. Die Feldvektoren E
und B sind in Phase. Sie stehen
senkrecht aufeinander und stehen
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
v
h
k
Schwingungen und Wellen
Die elektromagnetische Welle
Der schwingende Dipol sendet
eine elektromagnetische,
linear polarisierte Querwelle
aus. Deren E- und B - Felder
schwingen in zueinander
senkrechten Ebenen. Die
Ausbreitungsgeschwindigkeit
beträgt:
c
1
 o r  o  r
v
h
k
Schwingungen und Wellen
Der Hertzsche Dipol
Schwingungen und Wellen
Der Hertzsche Dipol
Ein gerader Leiter kann
als elektrischer Oszillator
schwingen. An seinen Enden befinden sich Bäuche
der Ladungsdichte und
Knoten der Stromstärke.
Für die 1. Eigenschwingung gilt:
l = /2
Für die k-te Eigenschwingung gilt: l = k* /2
Schwingungen und Wellen
Schwingungszustände des Hertzschen Dipols
1. Eigenschwingung
2. Eigenschwingung
Schwingungen und Wellen
Der Hertzsche Dipol
Stehende elektrische Welle am Dipol: Zwischen
Spannung und Strom sowie entsprechend zwischen
elektrischen und magnetischen Feldvektor herrscht die
Phasenverschiebung /2
Die fortschreitende elektromagnetische Welle, die
sich vom Dipol ablöst: Keine Phasenverschiebung
zwischen elektrischem und magnetischem Feldvektor.
Schwingungen und Wellen
Die Maxwellschen Grundgleichungen
1. Maxwellsches Gesetz
Jedes zeitlich veränderliche
elektrische Feld bedingt ein
magnetisches Wirbelfeld, dessen
Feldlinien die elektrischen
Feldlinien umschlingen.
Schwingungen und Wellen
Die Maxwellschen Grundgleichungen
2. Maxwellsches
Gesetz
Jedes zeitlich veränderliche
Magnetfeld bedingt ein
elektrisches Wirbelfeld,
dessen Feldlinien die
magnetischen Feldlinien
umschlingen.
Schwingungen und Wellen
Die elektromagnetische Welle - Simulation
Simulation
Schwingungen und Wellen
Der Hertzsche Dipol - Simulation
v
h
k
Simulation einer elektromagn. Welle
Schwingungen und Wellen
Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld
Schwingungen und Wellen
Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld
Schwingungen und Wellen
Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld
Schwingungen und Wellen
Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld
Schwingungen und Wellen
Der Hertzsche Dipol
Beugung am Doppelspalt
Beugung am Doppelspalt
d sei der Gangunterschied
der beiden Wellen, die E1
bzw. E2 verlassen
Es gibt jetzt zwei Sonderfälle:
1. Der Gangunterschied beträgt ein Vielfaches einer
Wellenlänge, d.h. d = k  mit k = 1,2,3….
Dann verstärken sich die Wellen maximal, man
spricht von konstruktiver Interferenz.
2. Der Gangunterschied beträgt 1/2, 3/2 ,
5/2,…. Dann löschen sich die Wellen komplett aus,
Man spricht von destruktiver Interferenz.
Beugung am Doppelspalt
Man erhält also:
Beugung am Doppelspalt
Man erhält also:
Maxim um: d  k   m it k 1, 2, 3, ....
2k  1
Minim um: d 
  m it k 1, 2, 3,...
2
Bezieht man jetzt noch den Winkel  mit ein, so ergibt sich:
sin  
d
wenn g der Abstand der beiden Spaltmitten ist
g

Maxim um: sin   k 
m it k 1, 2, 3, ....
Und damit
g
2k  1 
Minim um: sin  

m it k 1, 2, 3,...
2
g
Beugung am Gitter
25
20
7.5
5
25
2 Spalte
15
15
10
10
5
5
2.5
2.5
25
5
5
7.5
7.5
5
2.5
2.5
15
10
10
5
5
2.5
5
7.5
7.5
5
2.5
5
7.5
5 Spalte
20
15
2.5
3 Spalte
25
4 Spalte
20
7.5
20
2.5
5
7.5
Beugung am Gitter
25
20
15
10
5
7.5
5
2.5
2.5
5
7.5
Beugung am Gitter
2 Spalte
7 Spalte
3 Spalte
15 Spalte
Beugung am Gitter
Beugung am Gitter
Verschiedene Spektren
Helium
Beugung am Einzelspalt
Liegt P auf der Hauptachse, so
ergibt sich das Hauptmaximum.
Alle N Wellen haben bis P den
Gangunterschied d = 0. Sie
verstärken sich gegenseitig.
Beugung am Einzelspalt
Links und rechts vom Hauptmaximum folgen symmetrisch zur Mitte
die Minima 1. Ordnung. Hier löschen sich die N Wellen gegenseitig aus.
Zur Erklärung nehmen wir N = 12 an.
Als erstes erreicht der Gangunterschied zwischen Welle 1 und Welle 12
den zur Auslöschung nötigen Wert
/2. Dann ist er aber für alle anderen
Wellen kleiner, so dass sich keine
vollständige Auslöschung ergibt.
Beugung am Einzelspalt
Ein Minimum tritt auf, wenn sich alle
12 Wellen paarweise auslöschen.
Der kleinste Winkel hierfür liegt vor,
wenn der Gangunterschied zwischen
den Wellen 1 und 7 /2 beträgt. Es
gilt:
sin 1 = d /(b/2) = /b
Beugung am Einzelspalt
Für noch größere Winkel  löschen
sich z.B. die Wellen 1 und 5, 2 und
6, …, 4 und 8 aus. Dabei bleiben die
Wellen 9 und 12 übrig. Weitere
Minima entstehen erst wieder bei
geeigneter paarweiser Aufteilung
aller 12 Wellen.
Dies tritt wieder ein, wenn sich die
Wellen 1 und 4 auslöschen. Dann
kann man den Spalt mit zwei
Gruppen sich auslöschender Paare
überdecken.
Beugung am Einzelspalt
Weitere Minima entstehen erst wieder
bei geeigneter paarweiser Aufteilung
aller 12 Wellen.
Dies tritt wieder ein, wenn sich die
Wellen 1 und 4 auslöschen. Dann kann
man den Spalt mit zwei Gruppen sich
auslöschender Paare überdecken.
Die erste Gruppe umfasst die Paare
(1,4), (2,5), (3,6), die zweite die Paare
(7,10) bis (9,12). Jede der Gruppen
überdeckt im Spalt einen Streifen der
Breite b/2. Es gilt:
sin 2 = ( /2) /(b/4) =2*( /b)
Beugung am Einzelspalt
Bei der Beugung am Spalt treten Intensitätsminima auf. Für die Richtung des
k-ten Minimums gilt:
k 
sin  k 
b
für k 1, 2, 3, ...
Beugung am Einzelspalt
Bei Öffnungen, deren Breite groß gegenüber der Wellenlänge ist, kann man die
Beugung vernachlässigen. In diesem Fall
ist die geometrische Optik als Grenzfall
der Wellenoptik eine gute Näherung.
Für die Lage der Maxima höherer
Ordnung gilt:
(2 k  1) 
sin  k 

2
b
für k 1, 2, 3, ...
Interferenz durch Reflexion
Die CD als Reflexionsgitter
Der Aufbau einer CD
sin  n2

 n12
sin 
n1
Interferenz durch Reflexion
Die CD als Reflexionsgitter
Die Länge der Spirale
Vereinfachend wird angenommen, dass es sich um
konzentrische Kreise handelt. Der Fehler, den man
dadurch macht, dürfte eher klein sein. Man berechnet
dann alle Umfänge der Kreise und addiert diese. Mit
Hilfe von Mathematica ist dies lediglich ein Befehl.
Sum 2 Pi r, r, 0.022, 0.055, 1.6 10^
6
Man erhält: Länge = 4989,48 m
Interferenz durch Reflexion
Die CD als Reflexionsgitter
Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die
Datenspur am Lesekopf vorbeiläuft.
Bei t = 70 min ergibt sich eine Geschwindigkeit von:
v
4989 ,48
m
 1,18
70  60
s
Lichtbrechung
Brechungsgesetz:
Das Verhältnis vom Sinus des
Einfallswinkels  zum Sinus
des Brechungswinkels  ist
nur abhängig von den beiden
Medien, zwischen denen der
Übergang stattfindet, und
unabhängig vom Einfalls- und
Brechungswinkel.
sin  n2

 n12
sin 
n1
Die Größen n1 und n2 heißen (absoluter) Brechungsindex,
n12 heißt relativer Brechungsindex
Lichtbrechung
Brechung erklärt das Wellenmodell
mit dem Huygens´schen Prinzip
und den unterschiedlichen Geschwindigkeiten der Wellen in
verschiedenen Stoffen. Für den
Zusammenhang zwischen Einfallswinkel, Brechungswinkel und den
entsprechenden Geschwindigkeiten
c1 und c2 gilt:
sin 
c1
Wellentheorie

sin 
c2
sin  n2
c1
Brechungsgesetz


sin 
n1 c2
Lichtbrechung
Wellentheorie
sin 
c
 1
sin 
c2
Brechungsgesetz
sin  n2 c1


sin 
n1 c2
c1 n2
es fo lg t daraus:

c2
n1
Der Brechungsindex n gibt an,
um wie viel langsamer sich
Licht in einem Stoff (cn) als im
Vakuum (c) ausbreitet:
1
cn 
c
n
Lichtbrechung
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen
liefert die Maxwell´sche Theorie
c
1
 r  o  r o
Im Vakuum ist r = r = 1, also:
c
1
m
 2,997910
s
 o o
8
Polarisation
Polarisation
Mit Polfilter
Ohne Polfilter
Vergütung von Linsen
Aufgaben
Klett Seite 15 Beispiel
Aufgaben
Klett Seite 15 Beispiel
Auslenkung
0
0
0.1
0.0995323
0.2
0.175149
0.3
0.208681
0.4
0.192072
0.5
0.129312
0.6
0.0354808
0.7
0.0668755
0.8
0.153163
0.9
0.202649
1.
0.203442
1.1
0.155353
1.2
0.0699359
1.3
0.0322854
1.4
0.126749
1.5
0.190758
Geschwindigkeit
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.0372
0.912593
0.568708
0.0881745
0.413545
0.815899
1.02221
0.982905
0.70743
0.261975
0.246428
0.695619
0.977668
1.0248
0.825702
0.428201
Beschleunigung
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0
2.44103
4.29553
5.11791
4.71056
3.17137
0.870167
1.64012
3.75632
4.96996
4.98942
3.81004
1.71518
0.791799
3.10853
4.67834
Aufgaben
Das Hemmpendel
Führt das Hemmpendel eine harmonische Schwingung aus?
Das Hemmungspendel führt
wohl eine Schwingung aus,
diese ist jedoch nicht harmonisch. Zum einen ist die maximale Auslenkung auf der linken
Seite nicht gleich der maximalen
Auslenkung auf der rechten Seite. Zum anderen sind auch die
Zeitdauern der beiden Halbschwingungen nicht gleich lang.
Aufgaben
Das Hemmpendel
Ein Fadenpendel hat die Schwingungsdauer 2,0 s. Der Pendelkörper dieses Fadenpendels hat die Masse m = 1,0 kg. Der
Faden hält eine maximale Spannkraft von Fm = 15 N aus.
a) Berechnen Sie die Pendellänge dieses
Fadenpendels.
b) Wie groß ist die maximale zulässige
Geschwindigkeit beim Durchgang durch
die Gleichgewichtslage, ohne dass der
Faden reißt?
Aufgaben
Das Hemmpendel
c) Nun wird h = 50 cm unterhalb des
Aufhängepunktes ein Stift eingeführt, an
dem der Pendelfaden anschlägt und
abknickt (Hemmungspendel). Berechnen
Sie die Schwingungsdauer dieses
Hemmungspendels.
d) Berechnen Sie den Winkel .
Aufgaben
Wellen
1.Aufgabe: Während 12 Schwingungen innerhalb
von 3 Sekunden ablaufen, breitet sich eine Störung
um 3,6 m aus. Berechnen Sie Wellenlänge,
Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit der
Welle.
2.Aufgabe: Gleiche Pendel sind in einer Reihe im
Abstand von 0,4 m aufgestellt. Sie werden
nacheinander im zeitlichen Abstand von 0,5 s
angestoßen, so dass das 1. und 5., das 2. und 6.
usw. Pendel phasengleich schwingen. Mit welcher
Geschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz läuft
die Welle über die Pendelkette?
Aufgaben
Wellen
3.Aufgabe: Eine harmonische Schwingung mit y(t) = ymax sin  t
breite sich vom Nullpunkt als transversale Störung längs der xAchse mit der Geschwindigkeit v = 7,5 mm/s aus. Es sei weiter
ymax = 1 cm und  = /2 Hz.
a)Berechnen Sie die Periodendauer T, die Frequenz f und die
Wellenlänge .
b)Wie heißt die Wellengleichung?
c)Zeichnen Sie maßstäblich das Momentanbild der Störung nach t1
= 4 s, t2 = 6 s und t3 = 9s.
d)Wie heißen die Schwingungsgleichungen für die Oszillatoren, die
an den Orten x1 = 5,25 cm bzw. x2 = 7,5 cm von der Störung
erfasst werden
Aufgaben
Wellen
4.Aufgabe: Eine Querwelle schreite mit der
Geschwindigkeit v = 2,5 m/s längs der +x-Achse fort.
Der Erreger (x = 0) starte zur Zeit t = 0 s seine
Sinusschwingung mit f = 50 Hz und der Amplitude 2,0
cm.
a)Zeichnen Sie die Welle zu den Zeiten t1 = 0,050 s und
t2 = 0,055 s
b)Zeichnen Sie das Diagramm der Teilchenschwingung
am Ort x = 3,75 cm.
c)Welcher grundlegender Unterschied besteht zwischen
den Kurven bei a) und b)?
Aufgaben
Wellen
Lösung 4.Aufgabe
a)
b)
Die Bilder in a) stellen Momentaufnahmen der Wellen dar. (x-ySystem). Das Bild in b) stellt den
zeitlichen Verlauf der Schwingung
eines Oszillators dar (t-y-System)
Aufgaben
Wellen
5.Aufgabe
Eine sinusförmige Welle bewegt sich in die positive xRichtung. Schreiben Sie mit den Informationen der beiden
Graphen die Wellengleichung auf.
Aufgaben
Wellen
Lösung 5.Aufgabe
Die Wellengleichung lautet
t x
s ( x, t )  smax sin( 2  (  ))
T 
Aus einem der beiden Graphen entnimmt man: smax = 0,01 m
Aus dem rechten Graphen entnimmt man:  = 0,04 m
Aus dem linken Graphen entnimmt man: T = 0,02 s.
Die Wellengleichung für
diese Aufgabe lautet dann
t
x
s( x, t )  0,01m sin(2  (

))
0,02 s 0,04 m
Aufgaben
Wellen
Dorn Seite 178 A. 2
Ein Dipol der Länge l = 1 m wird zu elektromagnetischen
Schwingungen der Frequenz f = 150 MHz angeregt. Aus der
Helligkeit eines Lämpchens in seiner Mitte schließt man auf
eine Stromstärke von Ieff = 100 mA.
a) Wie groß ist die Stromstärke im Dipol an den Stellen, die
25 cm bzw. 12,5 cm von seinem Ende entfernt sind?
b) Die Anregungsfrequenz wird auf 300 MHz erhöht. Wie
groß ist die Stromstärke in der Mitte des Dipols?
Aufgaben
Wellen
Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3
3.Aufgabe: Im Nullpunkt eines Koordinatensystems findet vom Zeitpunkt to =
0 s an eine Schwingung statt, die dem Gesetz
s(t) = 0,08 m sin ( t s-1 ) genügt.
Diese Schwingung erzeugt eine Transversalwelle, die sich ungedämpft in
Richtung der positiven x-Achse mit der Geschwindigkeit c = 0,2 m/s
ausbreitet.
a) Wie groß sind die Schwingungsdauer T und die Frequenz f der
Schwingung, wie groß ist die Wellenlänge der Welle?
b) Wie lautet die Gleichung dieser Welle?
c) Zeichnen Sie die Welle zu den Zeiten t1 = 2 s, t2 = 3 s, t3 = 4,5 s, t4 = 7,5 s.
d) Wie lauten die Gleichungen für die Schwingungen, die in den Punkten mit
den Koordinaten x1 = 30 cm, x2 = 80 cm und x3 = 100 cm stattfinden?
Anleitung: Verwenden Sie die trigonometrische Beziehung:
sin ( - ) = sin  cos  - cos  sin 
Aufgaben
Wellen
Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 Lösung
a) T = 2 s;  = 0.40 m
b)
s( x, t )  0,8 m sin(2  (
t
x

))
2 s 0,4 m
d) x1 = 30 cm
d) x2 = 80 cm
3
s(0.3, t )  0,8 m sin( t  )
2
s(0.8, t )  0,8 m sin( t  4 )
d) x3 = 100 cm
s(1.0, t )  0,8 m sin( t  5 )
Aufgaben
Wellen
Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 Lösung
s 2,x
0.1
0.05
0.2 0.4
0.05
0.6 0.8
1
1.2
x
1.4 1.6
s 3,x
0.1
0.1
0.05
0.2
0.05
0.1
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
x
1.6
Aufgaben
Wellen
Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 Lösung
s 4.5 ,x
0.1
0.05
0.2 0.4 0.6 0.8
0.05
0.1
1
x
1.2 1.4 1.6
s 7.5 ,x
0.1
0.05
0.2 0.4 0.6 0.8
0.05
0.1
1
x
1.2 1.4 1.6
Aufgaben
Licht als Welle
Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 1
1.Aufgabe: Grünes Licht ( = 546 nm) trifft auf einen Doppelspalt. Auf einem 2,00 m entfernten Schirm entfallen 8 dunkle
Streifen auf 2,0 cm.
Zeigen Sie, dass der Abstand zwischen benachbarten dunklen
Streifen konstant ist.
Wie groß ist der Abstand der Spaltmitten?
Wie ändert sich der Streifenabstand, wenn man den Abstand der
Spaltmitten verkleinert?
Aufgaben
Licht als Welle
Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 1 - Lösung
Die Näherung für kleine Winkel ist anwendbar.
a)Dunkle Streifen bedeuten Minima, helle Maxima.
Für die Maxima erhält man:
k  ak
a

 ak  k   k
l
a
l
b)Mit k = 8 und ak = 2,0 cm erhält man:
ka
l
 0,437m m
ak
c) Der Streifenabstand wächst umgekehrt proportional zum
Spaltenabstand
Aufgaben
Licht als Welle
Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 2
2.Aufgabe: Ebene Schallwelle von f = 15 kHz treffen auf einen
Doppelspalt mit der Spaltbreite b = 2,0 cm und dem Abstand
der Spaltmitten g = 8,0 cm. Unter welchem Winkel k sind
Maxima zu erwarten, und wie viele treten höchstens
auf?
Aufgaben
Licht als Welle
Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 2 - Lösung
2. Aufgabe
Durch Interferenz entstehen Maxima für sin   k 
k
g
Daraus ergibt sich für sin 1 = 0,288, d.h. 1 = 16,7o. Weitere
Maxima ergeben sich für 2 = 35,1o und 3 = 59,6o. Maxima
höherer Ordnung sind nicht möglich, da schon sin 4 > 1 ist.
Aufgaben
Licht als Welle
Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 3
3.Aufgabe: Ein Gitter mit 1000 Spalten pro cm wird von
Laserlicht durchstrahlt. In 4 m Abstand vom Gitter sind die
Hauptmaxima 1. Ordnung 25,4 cm voneinander entfernt.
Berechnen Sie die Wellenlänge.
Es gilt
ak
k
 tan k  sin  k 
, dam it
a
g
g a1 105 m  0,127m


 317,5 m m
ak
4 m 1
Aufgaben
Licht als Welle
Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 4
4. Aufgabe: Auf ein Gitter mit g = 4*10-5 m fällt weißes
Glühlicht ( 400 nm <=  <= 800 nm).
a) Errechnen Sie die Winkelbereiche für die Maxima 1., 2. und
3. Ordnung.
b) Welches ist der kleinste Winkel, für den eine Überlagerung
verschiedener Ordnung auftritt?
c) Wie weit sind die Spektren 1. Ordnung auf einem 3 m
entfernten Schirm auseinandergezogen?
d) Welche Breite ergibt sich bei c), wenn der Versuch unter
Wasser durchgeführt wird?
e) Ein Spektrum enthält als kürzeste Wellenlänge  = 450 nm.
Welchen Wellenlängenbereich darf es nur umfassen, wenn sich
die 5. Ordnung nicht mit benachbarten Ordnungen überlagern
soll?
Aufgaben
Licht als Welle
Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 4 - Lösung
4. Aufgabe:
a)1.Ordnung: 0,57o    1,15o
2.Ordnung: 1,15o    2,29o
3.Ordnung: 1,72o    3,44o
b)  = 1,72o
c) Die Spektren 1. Ordnung liegen vom Zentrum gemessen im
Bereich 3 cm
s
6 cm
nw = ¾  L/ nw,
2,25 cm  s  4,5 cm
d) Für die größte Wellenlänge * gilt:
Sin 5(* )  Sin 6( )  5 *  6   * = 6/5  = 540 nm
Aufgaben
Licht als Welle – das Gitter
Dorn – Seite 189 A. 1
Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt
1,50 m. Welchen Abstand hat für  = 780 nm die Spektrallnie
1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung?
Die beiden Spektrallinien 1. Ordnung von Na-Licht ( = 780
nm) haben auf einem 1,00 m entfernten Schirm den Abstand
11,8 cm. Wie groß ist g?
Ein Gitter mit 5000 Strichen pro cm wird mit parallelem
weißem Glühlicht beleuchtet. Der Schirm hat die Form eines
Halbzylinders, in dessen Mittelachse das Gitter steht.
a)Bis zu welcher Ordnung kann das sichtbare Spektrum
beobachtet werden?
b)Welche Wellenlänge ergibt sich aus sin k = 1 = k /g in
der höchsten Ordnung?
Aufgaben
Licht als Welle – das Gitter
Dorn – Seite 189 A. 1
Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt
1,50 m. Welchen Abstand hat für  = 780 nm die Spektrallnie
1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung?
Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen

dk
Sin  k  , Tan 
g
a
Mit den Werten g = 1/500000 m, a = 1,50 m,  = 780 nm,
einmal mit k = 1, das andere Mal mit k = 2. Die Differenz
bildet dann den Abstand der beiden Maxima.
Man erhält: k=1-> d1=0,635307,  = 22,9545o
k=2-> d2=1,86967,  = 51,2606o
Damit: d2 – d1 = 1,23436
Aufgaben
Licht als Welle – das Gitter
Gitter2.doc
4.Aufgabe: Die gelbe Linie im Quecksilberspektrum hat
die Wellenlänge = 578 nm. Im Spektrum 3.Ordnung
fällt sie fast genau mit der blauen Quecksilberlinie
4.Ordnung zusammen.
a) Berechnen Sie die Wellenlänge dieser blauen Linie.
b) Wie viele Spalte pro mm darf das Gitter höchstens
haben, damit die Ablenkung dieser Linie gegen das
Maximum 0.Ordnung nicht mehr als 45o beträgt?
Aufgaben
Licht als Welle – das Gitter
Gitter2.doc
Lösung
a) Die Winkel für die Ablenkung bei gelb und blau ist gleich,
daher auch der sinus.
sin  3  3 
3
 gelb
g
 gelb
g
 4
und sin  4  4 
blau
g
 blau 
blau
g
da gilt : sin  3  sin  4 
3
 gelb
4
blau = 0,75  578 nm = 433,5 nm
sin 45  4 
0
b) Folgende Gleichung muss gelöst werden:
Es ergibt sich: g = 2,45225*10-6 m,
das sind 407789 Spalte pro m oder
407 Spalte pro mm.
g
4  blau
sin 450
blau
g

Aufgaben
Licht als Welle – das Gitter
Gitter2.doc
5.Aufgabe: Das Glühlicht einer Bogenlampe soll mit einem
Gitter zerlegt werden.
a) Skizzieren Sie eine Versuchsanordnung, die geeignet ist,
mit Glühlicht ein auswertbares Interferenzbild zu erzeugen.
Das Gitter ist ein Rowlandgitter mit 570 Strichen/mm. Auf
einem Schirm im Abstand 2,50 m haben die beiden Enden
des Spektrums 1. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung den
Abstand 57 cm bzw. 122 cm.
b) Geben Sie an, welcher der beiden Abstände zum roten
bzw. violetten Ende des Spektrums gehört.
c) Berechnen Sie die Wellenlänge des Lichtes am roten
bzw. violetten Ende des Spektrums.
Aufgaben
Licht als Welle – das Gitter
Gitter2.doc
Lösung
b) Es muss der Winkel berechnet werden und zwar mit Hilfe der
folgenden Gleichung:
rot
violett
sin 1  1
g
bzw. sin 1  1
g
Der Winkel für: rot ->  = 23,50
Violett ->  = 13,10
Dies Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung erhalten können
(rot wird stärker gebeugt als violett)
Aufgaben
Licht als Welle – das Gitter
Gitter2.doc
Lösung
c) Die Winkel für die entsprechenden Wellenlängen erhält man
x
aus der Beziehung:
tan 1  1
a
Für rot bzw. violett erhält man: rot -> 26,010 und violett ->
12,840
Mit Hilfe der Gleichung können jetzt die entsprechenden

Wellenlängen ausgerechnet werden.
sin 1  1
Rot: 769,41 nm
und Violett: 389,99 nm
g
Aufgaben
Licht als Welle – Interferenz an der CD
Aufgabe: Auf einer CD ( compact disc) ist die Information auf einer
spiralförmigen Spur gespeichert. Die Abb. 1 zeigt schematisch den
stark vergrößerten Teil einer CD-Oberfläche im Querschnitt:
Aufgaben
Licht als Welle – Interferenz an der CD
Die Erhebungen zwischen benachbarten Spuren reflektieren Licht
und können damit als Erregerzentren von Elementarwellen, die
miteinander interferieren, aufgefasst werden. Die Oberfläche der
CD ist demnach ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstanten b.
Aufgaben
Licht als Welle – Interferenz an der CD
Wird eine CD, wie in Abb. 2 dargestellt, senkrecht mit Laserlicht
der Wellenlänge λ = 633 nm bestrahlt, so beobachtet man auf
einem im Abstand a = 30,0 cm parallel stehenden Schirm (Radius
50 cm) helle, zum Strahl symmetrisch liegende Punkte.
Aufgaben
Licht als Welle – Interferenz an der CD
a)Erklären Sie unter Zuhilfenahme einer aussagekräftigen Skizze
das Zustandekommen dieser Punkte.
b)Der Abstand der beiden innersten Punkte auf dem Schirm
beträgt 25,8 cm. Berechnen Sie daraus den Abstand b
benachbarter CD-Rillen.
[zur Kontrolle: b = 1,60 μm]
c)Ermitteln Sie, wie viele Punkte man auf dem Schirm beobachten
kann.
d)Nun wird die CD mit einem feinen Strahl weißen Lichtes
beleuchtet. Entscheiden Sie rechnerisch, ob das sichtbare
Spektrum zweiter Ordnung auf dem Schirm noch vollständig
abgebildet wird.
Aufgaben
Licht als Welle – Interferenz an der CD
Die Erhebungen zwischen benachbarten Spuren reflektieren Licht
und können damit als Erregerzentren von Elementarwellen, die
miteinander interferieren, aufgefasst werden. Die Oberfläche der
CD ist demnach ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstanten b.
Aufgaben
Licht als Welle – Interferenz an der CD
Lösung
a) Unter dem Winkel α ergibt sich ein Intensitätsmaximum, falls
Aus der Zeichnung ersieht man, dass
gilt:
Analog ergeben sich die bezüglich des
Einfallslotes achsensymmetrisch
liegenden Maxima.
Aufgaben
Licht als Welle – Interferenz an der CD
Lösung
b) Die innersten Punkte sind die
symmetrisch liegenden Maxima 1.
Ordnung (k = 1).
d = 25,8 cm : 2 = 12,9 cm
Aufgaben
Licht als Welle – Interferenz an der CD
Lösung
c) Für d muss gelten: d < 50 cm
Ein Punkt ist noch zu beobachten, wenn: α < α max
Also treffen die Maxima zweiter Ordnung auch noch auf den Schirm,
so dass insgesamt vier Punkte auf dem Schirm zu beobachten sind
(2 x Maximum 1. Ordnung; 2 x Maximum 2. Ordnung).
Für den roten Rand des Maximums 2. Ordnung ergibt sich
näherungsweise:
Somit findet keine vollständige Abbildung des Maximums
2. Ordnung des sichtbaren Lichts auf dem Schirm statt.
Aufgaben
Auflösungsvermögen des Gitters
Aufgabe: Ein Kollegiat untersucht im Praktikum das Spektrum einer
Quecksilberdampflampe mit Hilfe verschiedener optischer Gitter. Im
sichtbaren Bereich stellt er auf einem Beobachtungsschirm drei
intensive Linien fest, eine gelbe mit der Wellenlänge 578 nm, eine
grüne mit 492nm und eine blaue mit 436nm.
a)Erklären Sie, weshalb eine Quecksilberdampflampe ein
Linienspektrum emittieren kann.
Bei Verwendung eines Gitters mit 400 Spalten pro Zentimeter
beobachtet der Kollegiat, dass die drei sichtbaren Linien des
Spektrums 2. Ordnung nicht mit denen des Spektrums 3. Ordnung
b)Zeigen Sie, dass dies unabhängig von der Gitterkonstanten gilt.
c)Der Kollegiat ersetzt den Beobachtungsschirm durch seinen weißen
Hemdsärmel und bemerkt nun eine neue blau erscheinende Linie, die
mit der gelben Linie im Spektrum 2. Ordnung zusammenfällt. Welche
Wellenlänge hat die neue Linie, wenn man annimmt, dass diese Linie
in 3. Ordnung erscheint? Erklären sie das Auftreten der neuen Linie.
Aufgaben
Auflösungsvermögen des Gitters
Laut Formelsammlung besteht die beobachtete gelbe Linie aus
zwei nahe beieinander liegenden Einzellinien. Kann der Kollegiat
diese beiden Linien im Spektrum 2. Ordnung getrennt
beobachten, wenn er das feinste Gitter benützt, das ihm zur
Verfügung steht? Dieses Gitter hat die Breite 5,0 mm und die
Gitterkonstante 3,5 mm. [Hinweis: Für das Auflösungsvermögen
eines optischen Gitters gilt:
Dabei bedeuten k die Ordnung des Spektrums, N die Anzahl der
beleuchteten Gitterspalte und Δλ den kleinsten beobachtbaren
Wellenlängenunterschied.]
Aufgaben
Auflösungsvermögen des Gitters
Lösung
a)Linienspektren sind dann zu erwarten, wenn die angeregten Atome
relativ ungestört sind, d.h. keine Druckverbreiterung, kein Einbau in
Festkörper oder Einbau in Verbindungen vorliegt. In der Quecksilberdampflampe erfolgt die Anregung von freien Quecksilberatomen durch
Elektronenstoß. Da die Energiestufen im ungestörten Hg-Atom diskret
sind, werden beim Übergang in energetisch günstigere Zustände
Photonen mit diskreten Energien ausgesandt. Dies äußert sich in
einem Linienspektrum, bei dem nur elektromagnetische Strahlung mit
bestimmten Wellenlängen vorkommt.
b) Für den Gangunterschied Δ s gilt für das Maximum k-ter Ordnung:
Δ s = k · λ oder b· sinα = k· λ. Hieraus sieht man, dass bei einer
bestimmten Ordnung das Licht mit größerer Wellenlänge am
weitesten abgelenkt wird.
Berechnung des Gangunterschiedes benachbarter Strahlen der am
weitesten von der optischen Achse entfernten Linie im Spektrum 2.
Ordnung: Δ s = 2 · λ gelb => Δ s = 2 · 578 nm = 1,2m m
Aufgaben
Auflösungsvermögen des Gitters
Lösung
b) Berechnung des Gangunterschiedes benachbarter Strahlen der am
wenigsten von der optischen Achse entfernten Linie im Spektrum 3.
Ordnung:
Δ s* = 3 · λ blau => Δ s = 3 · 436 nm = 1,3m m
Man sieht, dass Δ s < Δ s* ist und somit auch α 2, gelb < α 3, blau. Bei
dieser Betrachtung spielte die Gitterkonstante keine Rolle, also kann
man allgemein davon ausgehen, dass sich bei Quecksilber die deutlich
sichtbaren Spektren 2. und 3. Ordnung nicht überlappen.
c) Berechnung der Wellenlänge der neuen Linie:
2 · λ geb = 3 · λ neu =>
Die neue Linie liegt im ultravioletten Bereich des elektromagnetischen
Spektrums. Die "Weißmacher" im Hemd wandeln das nicht sichtbare
ultraviolette Licht in sichtbares Licht um (Fluoreszenz).
Aufgaben
Auflösungsvermögen des Gitters
Lösung
d)Aus der Formelsammlung kann man entnehmen, dass die
Wellenlängen des gelben Lichts bei Quecksilber λ gelb,1= 579,1nm und
λ gelb,2= 577,0 nm sind. Es gilt also Δλ * = 2,1nm.
Maximalzahl der beleuchteten Spalte N:
Berechnung des Wellenlängeunterschieds Δλ , der mit dem
vorhandenen Gitter noch auflösbar ist:
Man sieht, dass der Kollegiat mit seiner Anordnung die
beiden gelben Linien trennen könnte.
Aufgaben
Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser
Dünne Ölschichten auf Wasser schimmern bei Tageslicht in
verschiedenen Farben. Zur Erklärung wird Licht betrachtet, das
unter dem Winkel a auf eine Ölschicht der Dicke d fällt.
Erläutern Sie mit Hilfe der nebenstehenden Zeichnung das Zustandekommen der Interferenz bei
Reflexion.
Geben Sie den optischen Gangunterschied Δs der parallelen Strahlen 1 und 2 mit den Bezeichnungen aus der Zeichnung an.
Verwenden Sie dabei, dass Wasser optische dichter ist als Öl und
dass die optische Weglänge gleich
dem Produkt aus geometrischer
Weglänge und der Brechzahl ist.
Aufgaben
Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser
Die mathematische Auswertung des in Teilaufgabe 3a verlangten
Ansatzes liefert
(Herleitung nicht erforderlich).
b)Erklären Sie, weshalb die Ölschicht bei Tageslicht farbig
schimmert.
c)Auf einer Wasserpfütze hat sich Öl mit der Brechzahl n =
1,20 in einer 560 nm dicken Schicht ausgebreitet. Für welche
Einfallswinkel wird grünes Licht der Wellenlänge 510 nm
unterdrückt?
Aufgaben
Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser
Lösung
a) Der Gangunterschied der beiden Strahlen 1 und 2 ist s:
n: Brechzahl von Öl (n > 1)
Da beide Strahlen am optisch dichteren Medium reflektiert werden,
egalisieren sich die beiden dabei auftretenden Phasensprünge.
Auf die Ölschicht trifft weißes Tageslicht (Licht in dem alle "sichtbaren
Frequenzen" vorkommen). Durch die
Interferenz an der Ölschicht kommt
es – abhängig vom Winkel α - für
bestimmte Frequenzen zu destruktiver Interferenz, d.h. diese Frequenzen fehlen im reflektierten Licht, so
dass sich in Reflexion nicht mehr
weißes Licht ergibt.
Aufgaben
Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser
Lösung
c) Bedingung für destruktive Interferenz:
Berechnung der Winkel, bei denen grünes Licht unterdrückt wird:
Aufgaben
Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser
Lösung
c) Für k = 1 ist sinα1 > 1, also keine Auslöschung möglich.
Für k = 2 gilt:
Für k = 3 gilt:
Für k = 4 wird der Radikand negativ!
Aufgaben
Farben dünner Schichten
Aufgabe:
a) Auf einer Wasserpfütze (nw = 1,33)
schwimmt ein dünner Ölfilm (nöl = 1,40).
Weißes Licht fällt nahezu senkrecht auf den
Ölfilm. Bei der Beobachtung in Reflexion hat
man von der Ölschicht einen "gelblichen"
Farbeindruck, da blaues Licht (λ = 469nm)
durch Interferenz eliminiert wird.
Zeichnen Sie die für die Interferenz maßgeblichen Strahlen ein und
berechnen Sie die kleinste von Null verschiedene Dicke der Ölschicht,
damit der geschilderte Effekt eintritt.
Auf einer Wasserpfütze (nw = 1,33) schwimmt ein dünner Ölfilm (nöl =
1,40). Weißes Licht fällt nahezu senkrecht auf den Ölfilm. Bei der
Beobachtung in Reflexion hat man von der Ölschicht einen "gelblichen"
Farbeindruck, da blaues Licht (λ = 469nm) durch Interferenz eliminiert
wird.
Aufgaben
Farben dünner Schichten
b)Tatsächlich erscheint die Ölschicht in
verschiedenen Farben. Was könnte
hierfür der Grund sein?
c)Das nebenstehende Bild zeigt eine
mit weißem Licht bestrahlte Seifenhaut
vor dunklem Hintergrund, die sich
schon einige Zeit zwischen einem
Drahtrahmen befindet.
Erklären Sie die Farbschichtungen im
unteren Teil der Seifenhaut qualitativ.
Gehen Sie auch darauf ein, warum die
Seifenhaut kurz vor dem Abreißen im
oberen Teil schwarz erscheint.
Aufgaben
Newtonsche Ringe
Aufgabe:
Bei nebenstehendem Foto von war der
Abstand vom Newtonglas zur Abbildungslinse
g = 15 cm, der Abstand Abbildungslinse zur
Beobachtungswand b = 3,00 m. Der Krümmungsradius der Linse ist R = 3,0 m, der
eingefügte Maßstab hat cm-Einteilung.
1.Bestimme die Radien der 2. und 3. roten
Ringes auf dem Bild und die zugehörigen
Originalradien.
2.Wodurch kommen die farbigen Ringe
zustande?
3.Bestimme den effektiven Wegunterschied
zweier interferierender Lichtstrahlen im
Abstand r vom Kreismittelpunkt.
4.Bestimme daraus die Wellenlänge des roten
Lichts.
Aufgaben
Linsenvergütung
Aufgabe:
Man kann die Lichtreflexion einer
Glasoberfläche stark herabsetzen,
wenn man die Oberfläche mit einer
dünnen ein- oder mehrlagigen Schicht
aus transparentem Material von
geeignetem Brechungsindex
überzieht. Die an den Schichtgrenzen
reflektierten Wellen können sich
praktisch aufheben. Die Schichten
werden im Vakuum aufgedampft.
Aufgaben
Linsenvergütung
Aufgabe:
Man berechne den Brechungsindex n2 und die Dicke d der
Vergütungsschicht, die für
senk-rechten Lichtauffall und
für l = 500,0 nm Reflexionsfreiheit bei Glas mit dem
Brechungsindex n3 = 1,5
ergibt.
Aufgaben
Licht als Welle
Aufgaben
Licht als Welle
Klausuren
2. Klausur
Jahrgangsstufe 12/2
Datum: 08. 06.09
Kurslehrer: H.Sporenberg
1. Aufgabe: Ebene Lichtwellen der Wellenlänge fallen senkrecht
auf einen Doppelspalt. Die beiden Spaltöffnungen sind so eng,
dass man sie als Zentren von Elementarwellen ansehen kann.
Die Entfernung der entsprechenden Spaltkanten sei g = 0,4 mm.
In der Entfernung e = 1,8 m befindet sich hinter dem
Doppelspalt ein zu ihm paralleler Schirm.
a) Unter welchen Winkeln  zur ursprünglichen Ausbreitungsrichtung des Lichtes erscheinen helle bzw. dunkle Streifen auf
dem Schirm? Skizzieren Sie die Versuchsanordnung und leiten
Sie eine allgemeine Gleichung für  her.
b) Zwei benachbarte helle Streifen auf dem Schirm haben für
kleine Werte von  die Entfernung d1 = 2,5 mm. Berechnen Sie
die Wellenlänge .
Klausuren
2. Klausur
Jahrgangsstufe 12/2
Datum: 08. 06.09
Kurslehrer: H.Sporenberg
2. Aufgabe: Im Licht einer Quecksilberhochdrucklampe sind die
Wellenlängen 1 = 578 nm (gelb) und 2 = 436 nm (blau)
besonders intensitätsstark. Dieses Licht fällt auf ein optisches
Strichgitter mit 350 Spalten je 1 cm Gitterbreite.
a) Leiten Sie die Beziehung für das Auftreten der Maxima am Gitter
her. Geben Sie auch eine Skizze der Versuchsanordnung an.
a) Welche Ordnung n hat diejenige gelbe Linie, die mit der blauen
Linie der Ordnung (n+1) praktisch zusammenfällt?
b) Welcher Beugungswinkel liegt für den unter a) betrachteten Fall
vor? Berechnen Sie diesen Beugungswinkel für die gelbe und die
blaue Linie zur Kontrolle der Übereinstimmung getrennt.
c) Hinter dem Gitter befindet sich in der Entfernung e = 2,25 m ein
Schirm, auf dem die gelben und die blauen Linien beobachtet
werden können. In welchem Abstand von der Symmetrieachse der
Beugungsfigur befindet sich die unter a) betrachtete gelbe bzw.
blaue Linie?
Klausuren
2. Klausur
Jahrgangsstufe 12/2
Datum: 08. 06.09
Kurslehrer: H.Sporenberg
3. Aufgabe: Auf einen Spalt der Breite 0,4 mm fällt einfarbiges
paralleles Licht. Auf der anderen Seite des Spaltes steht im
Abstand 3,2 m parallel zur Spaltebene ein Schirm, auf dem
Beugungsstreifen beobachtet werden.
a) Für die den zentralen hellen Streifen einschließenden dunklen
Streifen wird ein Abstand von 8,6 mm gemessen. Berechnen Sie
die Wellenlänge und die Frequenz des benutzten Lichtes.
b) Der Spalt wird auf 0,2 mm Breite verengt. Berechnen Sie, wie
sich dies auf die Breite des zentralen hellen Streifens auswirkt.
Klausuren
2. Klausur
Jahrgangsstufe 12/2
Datum: 08. 06.09
Kurslehrer: H.Sporenberg
4. Aufgabe: Das Spektrum einer Helium-Spektrallampe soll mit
Hilfe eines Beugungsgitters (100 Spalte pro mm) erzeugt
werden. Zur Beobachtung des Spektrums befindet sich in 1,0 m
Entfernung ein Schirm.
a) Erstellen Sie eine beschriftete Skizze eines geeigneten
Versuchsaufbaus.
b) Auf dem Schirm ist in 1. Ordnung unter anderem eine gelbe
Linie zu sehen, die vom zentralen Maximum 5,9 cm entfernt ist.
Berechnen Sie die Wellenlänge dieser Linie.
c) Auf dem Schirm treten auf derselben Seite bezüglich des
zentralen Maximums die Spektrallinien zweiter Ordnung des
roten Lichts (λrot = 667,8 nm) und des violetten Lichts (λviolett =
402,6 nm) auf. Berechnen Sie den gegenseitigen Abstand dieser
Linien.
Klausuren
2. Klausur - Lösung
1.Aufgabe: a)
Der Gangunterschied d
spielt für die Maxima bzw.
Minima die entscheidende
Rolle

Für die Maxima gilt:
sin   k 
Für die Minima gilt:
(2 k 1) 
sin  k 

2
b
g
,
tan 
dk
a
für k 1, 2, 3, ...
Klausuren
2. Klausur - Lösung
1. Aufgabe: b)
Solve
Sin Degree alpha
Tan Degree alpha
k
1, a
1.8, xk
k Lambda g,
xk a , Lambda, alpha
2.5 10 ^
3 ,g
0.4 10^
Für die Wellenlänge ergibt sich:  = 555 nm
.
3
Klausuren
2. Klausur - Lösung
Für gelb gilt :
2. Aufgabe: b)
sin  n  n 
Für blau gilt :
gelb
g
sin  n 1  (n  1) 
blau
g
Da die beiden Linien übereinander liegen sollen,
müssen die Winkel und damit auch der jeweilige Sinus
gleich sein.
gelb
sin  n  sin  n 1  n 
n gelb  (n  1) blau
g
blau
 ( n  1) 
g

blau
n
 3,070 3
gelb  blau
Klausuren
2. Klausur - Lösung
2. Aufgabe: c)
Man benutzt die in b) aufgestellten Formeln für n = 3.
Für gelb gilt :
sin  n  n 
gelb
g
Für blau gilt :
sin  n 1  (n  1) 
blau
g
Es ergibt sich für:
n (gelb) = 3,479o
n+1 (blau) = 3,499o
Klausuren
2. Klausur - Lösung
2. Aufgabe: d)
Die Abstände müssen für gelb (n=3) und blau (n=4)
gleich sein. Dieses war bei c) so ausgerechnet worden.
Ein kleiner Unterschied ergibt sich jedoch, wie man
aus der Winkelberechnung getrennt nach gelb und
blau sehen kann.
Für blau gilt :
Für gelb gilt :
sin  k  k 
gelb
g
x
und tan k  k
a
m it k  3
Es ergibt sich für:
x3 (gelb) = 0,1368 m
sin  k  k 
blau
g
und tan k 
m it k  4
x4 (blau) = 0,1376 m
xk
a
Klausuren
2. Klausur - Lösung
3. Aufgabe: a)
Man benötigt die Gleichung für Interferenz am
Einzelspalt. Die Bedingung für destruktive Interferenz
(Minima) lautet:

sin  k  k 
g
Solve k lambda g
k
1, g
0.4 10^
xk a, lambda
3 , xk
.
8.6 2 10^
3 ,a
3.2
Für die Wellenlänge bzw. Frequenz erhält man:
 = 537,5 nm f = 1,861015 Hz
b) Halbiert man die Spaltbreite bei gleicher Wellenlänge, so
verdoppelt sich der Abstand der Minima.
Klausuren
2. Klausur - Lösung
4. Aufgabe: b)

sin   k  ,
g
Solve
Sin Degree alpha
Tan Degree alpha
k
tan 
2., a
1, g
dk
a
k Lambda g,
xk a , xk, alpha
1 100000, Lambda
.
667.8 10^
9
Setzt man die angegebenen
Werte ein, so erhält man:
 = 588,97 nm
c) Für die rote Linie erhält man als Abstand von der
Mitte: xk(rot) = 0,1347 m und xk(violett) = 0,08098 m.
Die Differenz ist dann: d = 0,05378 m