Transcript Beschreibung der Teilchendynamik

Kapitel 8
Bewegung von geladenen
Teilchen im Magnetfeld
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2
Übersicht
Bewegung eines Teilchens im Magnetfeld
Multipolentwickung des Magnetfeldes
Multipolstärken
Exakte Teilchenbahn im Quadrupol
Transformationsgleichungen in Matrizenschreibweise
Differentialgleichung für die Teilchenbewegung I
FODO Zelle [slide]
Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen
2
Koordinatensystem in Bezug auf die
Idealbahn
Nur transversale Komponenten des
Magnetfeldes werden berücksichtigt:

B  (B x ( x, z, s),0, B z ( x, z, s))
Es wird angenommen, dass die
Abweichung der Teilchenbahn klein im
Vergleich zum Radius ist (x,z << R)
R
x
Bewegung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld

B  (B x ( x, z, s),0, B z ( x, z, s))
Bewegung in der horizontalen Ebene :
Lorentzkraft für ein einfach geladenes Teilchen mit : Fx   e 0  v  B z
Zentrifugalkraft :
Ff  m  v 2 / R
Aus dem Gleichgewicht der Kräfte ergibt sich mit p  m  v :
e
1
 0  B z ( x , z, s)
R x ( x , z, s)
p
Bewegung in der vertikalen Ebene :
e
1
  0  B x ( x , z, s)
R z ( x , z, s)
p
4
Multipolentwicklung
Das Magnetfeld wird um die Sollbahn entwickelt :
dB z
d 2B z
d 3B z
2
3
B z ( x)  B z0 
x 

x


x
 ...
2
3
dx
2 !  dx
3 !  dx
e0
und mit
multipliziert.
p
Es ergibt sich damit :
e0
e0
e 0 dB z
e 0 d 2B z
e 0 d3B z
2
3
 B z ( x) 
 B z0  
x  

x



x
 ...
2
3
p
p
p dx
p 2 !  dx
p 3 !  dx

1
R
 k
 x
1
m  x2 
2!
1
 o  x 3  ...
3!
5
Definition der Multipolstärken
Dipolfeld zur Strahlablenkung :
e
1
 0  B z0
R
p
Quadrupolfeld zur Fokussierung : k 
e 0 dB z

p dx
e 0 d 2B z
Sextupol zur Kompensation der Chromatizität : m 

p dx 2
Oktupol zur Korrektur von Feldfehlern, und zur
e 0 d3B z
Unterdrückung von Strahlinstabilitäten : o 

p dx 3
6
Rechteckmodel für einen Quadrupolmagnet
z
Quadrupolmagnet mit k = k0
innerhalb des Magneten,
und k = 0 ausserhalb
s
k(s)
k0
k ( s) 
e 0 d B z ( s)

p
dx
0
s
7
Ableitung der Bewegungsgleichung für die vertikale
Bewegung
Die Bewegungsgleichung in den Beschleunigerkoordinaten für die vertikale Bewegung
ergibt sich aus der Beziehung : Kraft  Masse  Beschleunigung
Mit der relativistischen Masse m  m 0   ergibt sich :
d2 z(t)
m0   
 q  v  B x ( s)
2
dt
mit ds  dt  v ergibt sich :
q  B x ( s)
q  B x ( s)
d2 z
m 0    v  2  q  v  B x (s)  z' ' (s) 
 z' ' (s) 
ds
m0    v
p
2
Im Quadrupolmagnet ist dieStärke des Magnetfelds proportional zur
Teilchenauslenkung :
dB x (s)
 z ( s)
dz
e 0 dB x (s)
mit k (s)  
ergibt sich die Bewegungsgleichung z' ' (s)  k (s)  z(s)  0
p
dz
B x ( s) 
8
Teilchenbewegung im Quadrupol
x' ' (s)  k (s)  x (s)  0 mit k (s) 
e 0 d B z ( s)

p
dx
d2 x(s)
mit x' ' (s) 
ds 2
Defokussierender Quadrupol mit konstantem k
: k  0
Fokussierender Quadrupol mit konstantem k : k  0
x (s)  A  cosh( k  s)  B  sinh( k  s)
Für k  0
Für k  0
x ' (s)  k  A  sinh( k  s)  k  B  cosh( k  s)
x (s)  A  cos( k  s)  B  sin( k  s)
x ' (s)   k  A  sin( k  s)  k  B  cos( k  s)
9
Transformationsgleichungen
Randbedingungen : Für s  0
Defokussierender
Quadrupol
x(0)  A

k>0
x' (0)  k  B
 B 
gilt :
A  x(0)
x' (0)
k
damit :
x (s)  x(0)  cosh( k  s)  x' (0) 
sinh( k  s)
k
x ' (s)  x(0)  k  sinh( k  s)  x' (0)  cosh( k  s)
x' (0)
 sin( k  s)
k
Fokussierender
Quadrupol
x (s)  x(0)  cos( k  s) 
k<0
x ' (s)   x(0)  k  sin( k  s)  x' (0)  cos( k  s)
10
Transformationsgleichungen - Matrixschreibweise
Defokussierender
Quadrupol
k>0
x (s)  x(0)  cosh( k  s)  x' (0) 
sinh( k  s)
k
x ' (s)  x(0)  k  sinh( k  s)  x' (0)  cosh( k  s)
x(s)  m11  x(0)  m12  x' (0)
x' (s)  m21  x(0)  m22  x' (0)
 cosh( k  s)
 m11 m12 
M 
  

 m 21 m 22 
 k  sinh( k  s)
1
 sinh( k  s) 
k

cosh( k  s) 
11
Transformationsmatrizen für Teilchenkoordinaten
1 L
MD  

 0 1
 cosh( k  s)
MQD  

 k  sinh( k  s)
 cos( k  s)
MQF  

  k  sin( k  s)
Driftstrecke der
Länge L
1
 sinh( k  s) 
k

cosh( k  s) 
1
 sin( k  s) 
k

cos( k  s) 
Defokussierender
Quadrupol mit der
Stärke k und der
Länge s
Fokussierender
Quadrupol mit der
Stärke k und der
Länge s
12
Beispiel: Teilchenbahn im defokussierenden Quadrupol
Teilchenbahn im defokussierenden Quadrupol:
Quadrupolstärke:
k : 0.2 
1
m
xs ( s) : xs0  cosh ( k  s) 
xc ( s) : xc0  cosh ( k  s) 
2
xs'0
k
xc'0
k
sinh ( k  s)
sinh ( k  s)
0.002
xs ( s)
0.001
xsn ( s)
xc ( s)
0
xcn ( s)
0.001
0.002
0
0.25
0.5
0.75
1
s
1.25
1.5
1.75
2
13
Beispiel: Teilchenbahn im fokussierenden Quadrupol
Quadrupolstärke:
1
k : 0.1 
m
xs ( s) : xs0  cos ( k  s) 
xs'0
xc ( s) : xc0  cos ( k  s) 
xc'0
k
k
2
sin ( k  s)
sin ( k  s)
0.002
xs ( s) 0.001
xc ( s)
xsn ( s)
xcn ( s)
0
0.001
0.002
0
0.25
0.5
0.75
1
s
1.25
1.5
1.75
2
14
Transformationsmatrizen – Dünne Linsennäherung
 1 s
MQD  

 k  s 1
Defokussierender
Quadrupol mit der
Stärke k und der
Länge s
s
 1
MQF  

  k  s 1
Fokussierender
Quadrupol mit der
Stärke k und der
Länge s
 1
M  
  1/ f
0

1
Fokussierende dünne
Linse
15
Generelle Differentialgleichung für die Teilchenbewegung
x' ' (s)  k(s)  x (s)  0
Differentialgleichung
ohne Ablenkfeld
1 p
 1

x' ' (s)   2
 k (s)  x (s) 

( s ) p
  (s)

Ableitung siehe
K.Wille, S.54-58
(s) ist der Krümmungsr adius des Ablenkfeldes
p
ist die Abweichung des Impulses vom Sollimpuls p
p
k(s) ist die Quadrupolstärke
16
Teilchenbewegung im Ablenkmagneten
x' ' (s)  k (s)  x (s)  0
x' ' (s) 
1
 x ( s)  0
 2 ( s)
1
Es entspricht : - k(s)  2
 (s)
1
 cos( 1  s)


sin(
 s) 




MB  
  1  sin( 1  s) cos( 1  s) 
 





Fokussierender Quadrupol mit der
Stärke k
Ablenkmagnet mit dem
Ablenkradius 
Lösung für Ablenkmagnet ähnelt
Lösung für Quadrupole
Ein Ablenkmagnet bewirkt in der
horizontalen Ebene eine
schwache Fokussierung
17
Teilchentransport durch eine komplexe Struktur:
F0D0 Zelle
QF
Dipol
QD
Dipol
QF
F0D0 Zelle
lq=0.20 m
lD=2.60 m
MQF
lq=0.20 m
lq=0.40 m
MD
lD=2.60 m
MQD
MQD
MD
MQF
18
Teilchentransport durch eine komplexe Struktur:
F0D0 Zelle
QF
Dipol
QD
Dipol
QF
F0D0 Zelle
k(s)
MQF
MD
MQD
MQD
MD
MQF
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Definitionen
Anzahl der F0D0 Zellen in einem Kreisbeschleuniger:
Quadrupolstärken:
horizontal: kf : 1.2m
2
Länge eines Quadrupol:
lq : 0.4m
Länge der Driftstrecke:
ld : 2.6m
vertikal:
Länge einer Zelle: LF0D0 : 2  lq  2  ld
Länge des Beschleunigers mit 8 Zellen: LB : 8  LF0D0
LF0D0  6 m und LB  48 m
NF0D0 : 8
kd : 1.2m
2
 x0 
:
Transformationsmatizen für die horizontalen Teilchenkoordinaten 
 ( xp0) 


mit der Quadrupolstärke k ergibt sich
 f : 0.5  l q 
(
 d : 0.5  l q 
(
kf
)
kd
),
Damit ergeben sich die folgenden Matrizen:
Horizontal fokussierender (halber) Quadrupol


MQF : 

 

( )

2
kf  m 

cos f 

sin f
( )
cos f
( )
2
kf  m   sin f

( )
 0.976 0.198 
MQF  


0.238
0.976


Vertikal defokussierender (halber) Quadrupol


MQD : 

 

Driftstrecke:
( )

2
kd  m 

cosh d 

sinh d
( )
cosh d
( )
2
kd  m   sinh d

l 

1 d 
MD : 
m
0 1 


( )
 1.024 0.202 
MQD  

0.242
1.024


 0.976 0.198 
MQF  

 0.238 0.976 
 1.024 0.202 
MQD  

 0.242 1.024 
 1 2.6 
MD  

0 1 
Es ergibt sich für die Transformationsgleichung einer F0D0 Zelle:
Mzelle : MQF  MD  MQD  MQD  MD  MQF
 0.056 9.966 
Mzelle  


0.1
0.056


Beispiel der Teilchentransformation durch eine Zelle :
 x0 
 :
Annahme: 
 xp0 


1
 
0
 x1 
 x0 
 : M


Daraus ergibt sich : 
zelle xp 
 xp1 


 0
 x1   0.056 

=> 

 xp1   0.1 


Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen
• Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen
• Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen
prinzipiell "relativ" einfach
• Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex
• Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01
mrad abgelenkt wird?
• Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig
aussagen
Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt:
Betatronfunktion und Betatronschwingung
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