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Modelo
m/m/s
Teoría de Colas
SISTEMA MULTIPLE
M/M/s
Teoría Modelo m/m/s
Teoría modelo m/m/s
Sistema de cola M/M/s

Características
- Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una
esperanza l.
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.
- Existen s servidores, cada uno atiende a una tasa de m clientes.
- Existe una población infinita y la posibilidad de infinitas
filas.
Descripción del modelo



Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y s
servidores, La disciplina será FIFO
Las llegadas se producen según un proceso de
Poisson de razón l, donde l es el número medio de
llegadas por unidad de tiempo y 1/l es el tiempo
medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se
distribuirán exponencialmente, Exp(l)
Los tiempos de servicio también se distribuirán
exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es
el número medio de clientes que cada servidor es
capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el
tiempo medio de servicio
Condición de no saturación

Se demuestra que si lsm, el sistema se satura,
es decir, el número de clientes en la cola crece
indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,
la condición de no saturación será:
l
  1, donde  
sm

Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se
saturan, Cuando una cola no se satura, también
se dice que alcanza el estado estacionario,
Probabilidades

Suponiendo que el sistema no se satura, se
deducen las siguientes fórmulas para las
probabilidades pn de que haya n clientes en el
sistema, donde nN:
 c 

s 

p0  

 s!1    n 0 n!
s
s
s 1
n




1
 s n
p0 , si n  0,1,...,s

 n!
pn   s n
 s  p , en otrocaso
0

 s!
Medidas de rendimiento


Número medio de clientes en cola:
s s  s 1 p0
Lq 
2
s!1   
Usamos razonamientos ya vistos para obtener:
W  Wq 
Lq  lWq
1
m
L  lW
Otras medidas de rendimiento

Número medio de servidores ocupados, S, En
el estado estacionario, la razón de las salidas
será igual a la razón de las llegadas:
l
Sm  l  S   S
m

Probabilidad de que un trabajo tenga que
esperar para recibir su servicio (fórmula de
retraso de Erlang):
c s  s p0
q
s!1   
Teoría Modelo m/m/s
M  número de canales abiertos
l  tasa promedio de arribo
m  tasa promedio de servicio en cada canal
Po  Probabilid ad de que existan CERO personas o unidades en el sistema 
Po 
1
 n  M 1 1  l 
 

 n 0 n !  m 
n

1 l
Mm
 

 M !  m  Mm  l
M
para Mm  l
Ls  número promedio de personas o unidades en el sistema :
M
lm  l m 
l


LS 
Po

m
M  1.!.Mm  l 2
Teoría Modelo m/m/s
Ws  Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema,
(en la cola y siendo servida (atendida) ) 
M
m  l m 
1 LS


WS 
Po


2
m
l
M  1! Mm  l 
Lq  Número promedio de personas o unidades en la línea o cola, en espera de servicio 
Lq  LS 
l
 LS  
m
Wq  Tiempo promedio que una persona o unidad se
tar da en la cola esperando por servicio 
Wq  WS 
1
m

Lq
l
Teoría Modelo m/m/s
P0 
1
  sm 


  
s!  sm  l  n 0 n!
s
 lm
Lq 
P
2 0
( s  1)!( sm  l )
s
Ws  Wq 
1
m

Pn  n  s P0 , si n  k
s! s
n
s 1
n
l
Ls  Lq 
m
Wq 

Pn 
P0 , si n  k
n!
n
1 s  sm 
 P0
Pw   
s!  sm  l 
Lq
l
Teoría Modelo m/m/s
Si s  2
Lq 

3
4
Si s  3
Lq 

2
4
(3   )(6  4    )
2

Medidas de performance
1
P0  s 1
n
s
1 l 
1  l   sm
 m   m 






s!
n  0 n!
 sm  l
n
 l 
m

Pn 
P0
n!
for n  s.
n
Pn
 l 
m



s! s
ns
P0
for n > s.




s
 l  m
m
1

W
P
m
s  1!sm l 
2
0
Las medidas del performance L, L , W , pueden ser obtenidas
q porq,las formulas.
s
1l 
Pw  

s!  m 
l

sm
 sm 

 P0
 sm  l 
Modelo M/M/s CASO ESPECIAL
Ejemplos

Ejemplo: Usando L como medida de
rendimiento, comparar estas dos alternativas:
Alternativa 1:
l
Alternativa 2:
m
m/2
l
m/2
Ejemplos

Alternativa 1:
L1 


1 
Alternativa 2:
l
l
2 
 
m m
2
2
 2 

2 

p02  

 2!1    n 0 n!
2
2
2 1
n




1
Ejemplos
1
 4

 4  2  2  4  4
p02  
 1  2    
21   
 21   


2
2
2
1
 2  2 
1 
 
p02  
1 
 21    

1
2l
L2  lW2  l Wq 2  m   lWq 2 
 lWq 2  2
m
2 

4 3 p02
2 3 1   
L2  Lq 2  2 
 2 
 2
2
2
1    1   
21   



1
Ejemplos
2 3
2 3  2  2 3
2
L2 
 2 

1   1   
1   1    1   1   

Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de
cumplirse que L1<L2:

 

2
2


 0  1 
1   1   1    1  
1 

 1   2    1

Como <1 siempre se cumple, tendremos que
la alternativa 1 siempre es mejor, Es decir, no
conviene dividir la capacidad de procesamiento
en dos servidores
Ejemplos

Ejemplo: Usando el número medio de clientes en el
sistema como medida de rendimiento, comparar
estas dos alternativas:
Alternativa 2:
Alternativa 1:
l/2
m/2
m/2
l
l/2
m/2
m/2
Ejemplos

Alternativa 1 (nótese que hay 2 colas):
1
2
l
L1  2

, donde  
1  1 1  
m

Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo
anterior):
l
l
2 
 
m m
2
2
2
L2 
1   1   
Ejemplos

Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de
cumplirse que L1>L2:
 2

2
2
1


 0  1 
1   1   1    1  
1 

 1   1    0

Como >0 siempre se cumple, tendremos que
la alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, no
conviene poner dos colas, sino tener una única
cola global
Ejemplos


Ejemplo: En una copistería se dispone de 3
máquinas fotocopiadoras a disposición del público,
Cada máquina es capaz de servir, por término
medio, 8 trabajos cada hora, A la copistería llegan
como promedio 5 clientes a la hora,
Parámetros del sistema: l = 5 clientes/h, m = 8
clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura
porque <1,
l
5
5



sm 3·8 24
Ejemplos

¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas
estén libres a la vez?
 s 

s 

p0  

 s!1    n 0 n!
s
s
s 1
n

 3 

3 
 

 3!1      n!
n 0


0
1
2
 33  3






3

3

3



 3!1     0!  1!  2! 



1
1
3
3
n
2
5 25 
 125

1 

8 128
 2432
1

1

 


304
 0,5342706
569
¿Cuál es el número medio de clientes en la cola?
33  4 304
s s  s 1 p0
302
569
Lq 


 0,00722643clientes
2
2
41791
s!1    3!1   
Ejemplos

¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?
Wq 

Lq
l
302
52

 0,00144529h
5·41791 35979
¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema?
W  Wq 


1
m

52
1 514
 
 0,126445h
35979 8 4065
¿Cuál es el número medio de clientes en el
sistema?
L  lW  5·
514 514

 0.632226clientes
4065 813
Ejemplo….
OFICINA POSTAL TOWN


La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a:
LaLaoficina
postal Town atiende público los Sábados
– evaluación del nivel de servicio prestado.
entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.
–

El efecto de reducir el personal en un dependiente .
Datos
- En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal
durante este período. La oficina tiene tres dependientes.
- Cada atención dura 1.5 minutos en promedio.
- La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de
los clientes y el proceso de atención de estos respectivamente.
SOLUCION


Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .
Datos de entrada
l  100 clientes por hora.
m  40 clientes por hora (60 / 1.5).
Existe un período estacionario (l < km ?
l  100 < km  3(40) = 120.