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OPERACIONES 2
Teoría de Colas
Profesor: Pablo Diez Bennewitz
Ingeniería Comercial - U.C.V.
SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE
OPERACIONES - EL MODELO
Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert
PLANIFICACION
MODELOS
PLANIFICACION
(DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION:
• ESTRATEGIAS DE OPERACION
• PREDICCION (PRONOSTICOS)
• ALTERNATIVAS
DISEÑO PROCESOS
• CAPACIDAD DE OPERACIONES
• PLANEACION UBICACION INSTALACIONES
• PLANEACION DISTRIBUCION FISICA
M
ORGANIZACION
ORGANIZACION PARA LA CONVERSION
• DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO
• ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES
• MEDICION DEL TRABAJO
• ADMINISTRACION DE PROYECTOS
PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION
• PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA
• PROGRAMACION OPERACIONES
INSUMOS
MODELOS
RESULTADOS
MODELOS
M
• Productos
• Servicios
• Información
PROCESO de CONVERSION
SEGUIMIENTO
CONTROL
PRODUCTOS
CONTROL
• CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION
• CONTROL DE INVENTARIO
• PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES
• ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD
• CONTROL DE CALIDAD
RETROALIMENTACION
M
TEORIA DE COLAS
La formación de líneas de espera es un fenómeno
común cuando la demanda por un servicio excede
momentáneamente la capacidad de proporcionarlo
Esperar un servicio es parte de la vida diaria
Se espera para comer en restaurantes, se hacen
colas en las cajas de los supermercados, en los
hospitales, etc
Y el fenómeno no es exclusivo de los seres
humanos: los trabajos esperan para que los
procese una máquina (cuello de botella), los
automóviles se detienen ante un semáforo, etc
TEORIA DE COLAS
Las colas se producen debido a que, en ocasiones,
la capacidad instalada para proporcionar el
servicio es insuficiente, ya que la demanda por su
servicio es aleatoria, lo que implica que la teoría de
colas trabaje con modelos probabilísticos
El estudio de colas determina las medidas del
funcionamiento de una situación de colas,
incluyendo el tiempo de espera y la longitud de la
cola promedio, entre otras variables de interés.
Esta información sirve después para decidir el
nivel apropiado de servicio para las instalaciones
ESTRUCTURA BASICA DE UN
MODELO DE COLAS
Los clientes que requieren un servicio se generan
a través de una fuente de entrada o población.
Estos clientes entran al sistema de colas y se unen
a la cola
En determinado momento se selecciona un
miembro de la cola, para proporcionarle el
servicio, mediante alguna regla conocida como
disciplina de servicio (orden de llegada, aleatorio,
prioridades)
ESTRUCTURA BASICA DE UN
MODELO DE COLAS
Después, se otorga el servicio requerido por el
cliente mediante el mecanismo de servicio,
caracterizado por el número de canales paraderos
o servidores y por el tiempo de servicio, tiempo
que transcurre desde el inicio del servicio para un
cliente hasta su término. El tiempo de servicio
puede tener una distribución exponencial,
degenerada o gamma
ESTRUCTURA BASICA DE UN
MODELO DE COLAS
Sistema de Colas
Clientes
Fuente de
Cola
Entrada
Clientes
Mecanismo servidos
de Servicio
ALGUNOS MODELOS DE COLAS
1) Modelo simple con un solo servidor
XXXX
Entrada
XXXX
Cola
S
Servidor
XXXX
Salida
2) Sistema de colas en serie (trámites en serie)
XXX
XXX
S
XXX
S
XXX
S
3) Sistema de colas simple multiservidor
XX
S
XX
S
XXXXXX
XXXXXX
S
XX
XXX
ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS
• Fuente de Entrada: Puede ser finita (máquinas en
un servicio de reparación) o
infinita (llamadas telefónicas)
• Tiempo entre Llegadas: Es el arribo de clientes,
puede ser probabilístico
o determinístico
• Tamaño de las Colas: Puede ser finito o infinito
• Tiempo de Servicio: Describe la prestación del
servicio que el servidor le da
al cliente. Puede ser
• Disciplina de Servicio
determinístico o
• Servidor (es)
probabilístico
• Clientes
IMPORTANCIA DE LA TEORIA DE
COLAS EN LAS OPERACIONES
La teoría de colas determina las medidas del
funcionamiento de una situación de colas, es una
técnica útil para diseñar la capacidad del proceso
de operaciones, puesto que provee de información
muy útil para decidir el nivel apropiado de
prestación del servicio para las instalaciones
Para determinar la capacidad del proceso
de operaciones, se evalúan los costos
asociados al servicio que se presta
COSTOS DE LA PRESTACION
DE SERVICIOS
1) Costos Directos del Servicio
 Costos de la cantidad de servidores en paralelo
que suministren el servicio
 Costos de tecnología del servicio, relacionados
con el tiempo del servicio (atención al cliente)
Estos costos tienen
una relación directa
con la capacidad de
prestación del servicio
+ nº servidores
+ costo
+ Tecnología
de servicio
+ costo
COSTOS DE LA PRESTACION
DE SERVICIOS
1) Costos Directos del Servicio
Costos
Directos
Costo de operación de las
instalaciones de servicio
por unidad de tiempo
Capacidad de
prestación del Servicio
COSTOS DE LA PRESTACION
DE SERVICIOS
2) Costos Indirectos del Servicio
 Costo de oportunidad (eventual) por pérdida de
clientes, si los tiempos de espera son muy largos
Costos
Estos costos
Indirectos
tienen una
relación
Costo de espera de los
inversa con la
clientes por unidad de
capacidad de
tiempo
la prestación
Capacidad
del servicio
del Servicio
COSTOS DE LA PRESTACION
DE SERVICIOS
El diseño del proceso de operaciones debe tomar
en cuenta ambos tipos de costos, entonces:
Costos
Totales
=
Costos Directos Costo de Oportunidad
del Servicio + por tiempo de espera
El objetivo del proceso de
operaciones consiste en
minimizar los costos totales
COSTOS DE LA PRESTACION
DE SERVICIOS
Costos
CT: Costos
Totales
C1: Costos
Directos
C2: Costos de
Oportunidad
Nivel Óptimo
del Servicio
Capacidad
del Servicio
COSTOS DE LA PRESTACION
DE SERVICIOS
Es difícil plantear un modelo de costos que
obtenga el nivel óptimo del servicio, ya que es
difícil estimar el costo unitario de espera, en
particular cuando el comportamiento humano
influye en la operación del modelo
Lo que se hace es evaluar diferentes
configuraciones de servicios,
utilizando las fórmulas propias de
cada modelo de colas en particular
COMPORTAMIENTO DEL
SISTEMA DE COLAS
Es diferente en cada una de las etapas del sistema.
Matemáticamente es difícil plantear modelos en los
inicios y términos de atención del sistema, es más
simple plantearlos cuando el sistema alcanza un
estado estable, el que se da si en todos los estados:
Estado
Estable
Entradas
al Sistema
=
Salidas
al Sistema
Si hay a lo menos un estado en el que, las entradas
al sistema no son iguales a las salidas del sistema,
entonces no se ha alcanzado el estado estable
TERMINOLOGIA Y NOTACION
n
Cantidad de clientes: Que están en el sistema
en un momento dado
L
Valor esperado de clientes en el sistema
L
W
=
E (n)
Valor esperado de tiempo de atención de un
W = E (w)
cliente en el sistema
w: tiempo específico que tarda un cliente particular
dentro del sistema. Es una variable aleatoria
TERMINOLOGIA Y NOTACION
Asimismo es posible definir:
Lq
Valor esperado de clientes en la cola
Wq
Valor esperado del tiempo en la cola
Pn
P0 :
P1 :
P2 :
P3 :
Probabilidad de que hayan “n” clientes en el
sistema en un instante determinado
Probabilidad de que el sistema esté vacío
Probabilidad de que el sistema tenga 1 cliente
Probabilidad de que el sistema tenga 2 clientes
Probabilidad de que el sistema tenga 3 clientes
Pn : Probabilidad de que el sistema tenga n clientes
TERMINOLOGIA Y NOTACION
Pn
Probabilidad de que hayan “n” clientes en el
sistema en un instante determinado
Esto tiene dos interpretaciones:
(1) Probabilidad de que en un instante cualquiera
se observe el sistema y esté presente un
estado n. Por ejemplo, P3 = 0,1 indica que la
probabilidad de encontrar 3 clientes en el
sistema es 0,1 o del 10%
(2) Pn es la fracción del tiempo en que
el sistema permanece en el estado n
TERMINOLOGIA Y NOTACION
En consecuencia:
L
Valor esperado de clientes en el sistema
8
L
= E (n)
L
n Pn
= n=0
LAS VARIABLES EN EL TIEMPO
En general la cantidad de clientes es el sistema
depende del instante de tiempo en que se
determinan
n = n (t)
Luego, las variables dependen del momento de
tiempo en que se miden. Por ende, Pn, L, W, etc,
también dependen del tiempo: Pn(t), L(t), W(t), etc
Sin embargo, los modelos de
colas que se estudian, determinan
tales variables cuando el sistema
está en estado estable
n(t) = n
Pn(t) = Pn
L(t) = L
W(t) = W
LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA
La llegada de clientes se asume que tiene una
distribución poisson, con parámetro 
Si A es el número de clientes que llegan en un
intervalo específico de tiempo, entonces:
=

n!
n
A
P(n=A)
e-
n =1,2,3,....
Las llegadas al sistema son aleatorias. Es decir
que la probabilidad de llegada al sistema durante
un instante de tiempo es un valor constante,
independiente del número de arribos previos y de
la duración del tiempo de espera
LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA
Se define:

1

Tasa media de llegada de clientes al sistema
Indica el número promedio de clientes que
ingresa al sistema en un instante específico
de tiempo
Tiempo promedio entre llegadas
es el tiempo promedio que transcurre entre
dos llegadas sucesivas, entre el arribo de
dos clientes consecutivos
SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA
Según los sistemas de colas, puede ser una
distribución exponencial, degenerada o gamma
Pero, para que sea útil, la forma supuesta debe ser
lo suficientemente realista para que el modelo
proporcione predicciones razonables y, también
debe ser lo suficientemente sencilla para que sea
matemáticamente manejable
Para lograr todo lo anterior, se asume que los
tiempos de prestación del servicio tienen una
distribución exponencial, con parámetro 1

SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA
Si B es el tiempo de servicio para un cliente
promedio, la función de distribución acumulada es:
P(B < t)
= 1- e
-t
si t
>0
Obs: Poisson se refiere a unidades de evento
partido por unidades de tiempo fija
Exponencial se refiere a unidad de tiempo
existente entre dos eventos seguidos
Poisson
Exponencial
SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA
Se define:

1

Tasa media de prestación del servicio en el
sistema Indica el número promedio de
clientes que reciben el servicio en el sistema
en un instante específico de tiempo. Es la
tasa media del servicio, implica el concepto
de velocidad de atención del sistema
Tiempo promedio entre prestaciones del
servicio es el tiempo promedio que se
demora en atender a un cliente en el sistema
ESTRUCTURA BASICA DE UN
MODELO DE COLAS
Sistema de Colas
Clientes
Población
Cola
Clientes
Mecanismo servidos
de Servicio
Lq , Wq
 Poisson
(clientes / tiempo)
L,W
1

Exp
(tiempo / clientes)
DIAGRAMA DE
NACIMIENTO Y MUERTE
Muestra el balance de entradas y salidas a cada
estado del sistema de colas
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
......
DIAGRAMA DE
NACIMIENTO Y MUERTE
Para salir del estado 2 hay dos posibilidades:
 Sale un cliente que es atendido y en tal tiempo
no ingresa nadie al sistema ( 2 )
 El cliente que está siendo atendido no termina de
ser atendido e ingresa otro cliente al sistema (  2 )
2
2
pasa del estado 2 al estado 1
pasa del estado 2 al estado 3
ESTADO ESTABLE
Estado
Estable
Entradas
al Sistema
=
Salidas
al Sistema
En estado estable y bajo el supuesto de que puede
ocurrir sólo una llegada o sólo una salida a la vez:
P1 1
Estado 0
Estado 1
P2  2 +
Estado 2
P3  3 +
Estado 3
P4  4 +
=
P0  0 =
P1  1 =
P2  2 =
P0  0
P1  1 + P1 1
P2  2 + P2 2
P3  3 + P3 3
ESTADO ESTABLE
Se forma un sistema de n-ecuaciones y (n +1)
incógnitas. Resolviendo en función del Pn se tiene:
De la primera ecuación (estado 0)
P1
=
De la segunda ecuación (estado 1)
P2 2
P2
=
=
1 ) - P0  0
 1 ) P1 - P0  0
2
P1 (  1 +
( 1 +
P0
0
1
ESTADO ESTABLE
reemplazando P1:
P2
P2
=
=
(1 +
1 ) P0
2
 1 0
( 1
P2
+
0
1 -
P0  0
 0 -  0 ) P0
2
 0 1
= 1 2
P0
ESTADO ESTABLE
En general:
Pn
 0  1  2 3
= 1 2  3 4
 n-1
n
P0
Suponiendo que las tasas son constantes, entonces:
 1 = 2 =  3 =  4 =
0 = 1 = 2 = 3 =
n
Luego
Pn =  P0

= n = 
=  n-1 = 
ESTADO ESTABLE
8
 Pn =
n=1
Si además se considera que:
P0 + P1 + P2 + P3 + ........................
P0 +


P0 +


2
P0 +


1
=1
3
P0 + ...............
Progresión Geométrica
Suma de la
progresión
geométrica
n
ar =

i=1
i
a ( 1 - rn )
(1-r)
=
1
ESTADO ESTABLE
Por lo tanto
P0 1
1


-
Además
Condición de
estado estable


n
=
1
<

1
La tasa de llegada (  ) tiene que ser
menor que la tasa del servicio (  )
ESTADO ESTABLE
Entonces

 <


1
P0 ( 1 - 0 )
1
-


=
- 
P0 =

1
n
0
P0
si n
8
Como
=


1
-
Es la probabilidad de
que hayan 0 clientes
en el sistema
ESTADO ESTABLE
Asimismo, reemplazando:
Pn

= 
n
- 

Es la probabilidad de
que hayan n clientes
en el sistema
Obs: Las fórmulas anteriores son
un caso particular analizado,
no son fórmulas generales,
puesto que incluyen muchos
supuestos en su análisis
SUPUESTOS PARA LA CONDICION
DE ESTADO ESTABLE
•

<
S
El sistema de colas no colapsa, o
1 sea que el sistema oscila entre los
estados razonables, si bien hay
cola, ésta no crece sin fin
• Las entradas y salidas de clientes al sistema
de colas, son de a un cliente cada vez
• La tasa promedio de llegada de clientes y la
tasa promedio del tiempo de prestación del
servicio, son independientes del estado
(cantidad de clientes) en el sistema de colas
FACTOR DE UTILIZACION

= 
Indica la proporción de tiempo
en el que el sistema de colas
está ocupado
Si
>1
El sistema está sobrecopado la
mayor parte del tiempo: la cola
está creciendo permanentemente
Si
<1
El sistema no está copado
Por ejemplo, si
= 0,9 indica
que el 90% del tiempo el sistema
de colas está ocupado y que, el
10% del tiempo no lo está
FACTOR DE UTILIZACION
Las fórmulas anteriores de P0 y de Pn, se pueden
denotar también como:
P0
Pn
=
=
n
1
-
(1
-
)
VALOR ESPERADO DE CLIENTES
EN EL SISTEMA
 n Pn
= n=0
8
L
=
E (n)
L
=
E (n)
=
0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + ...................
0(1- ) + 1 (1- ) + 2
2
(1- ) + 3
3
(1- ) + ........
Factorizando:
2
3
4
L = (1- )
+ 2 + 3 + 4 + ........................
= (1L = (1L
)
)
1+2
(
+3
+
2
2
+
+4
3
+
3
4
+ ......................
+ ......................
VALOR ESPERADO DE CLIENTES
EN EL SISTEMA
donde (
2
+
+
Suma de la
progresión
geométrica
Por lo tanto
como
4
+
5
+
n
es progresión
+ .......... ) geométrica
a =
i
i=1
L
= (1-
a ( 1 - a n)
1-a
(1- n )
)
1-
1 (condición de estado estable)
1
n
0
si n
8
<
<
3
VALOR ESPERADO DE CLIENTES
EN EL SISTEMA
En consecuencia
L
= (1-
derivando:
L
L
=
(1- )
= (1-
)
)
1-
(1- )
(1- )
reemplazando

=
(-1)
(1- )2
1
2
-
L
= 1
L =
- 
PROPIEDADES
También se pueden demostrar:
W
= - 
L
= W
Lq
=  Wq
Wq

= (  )
Lq

=  ( - )

-
1
2
Si se dispone de los valores de  y  , entonces es
posible conocer a cada una de las variables
principales de los modelos de colas: L, W, Lq, Wq
RELACION ENTRE W y Wq
Se define
Ws Tiempo medio de la prestación del servicio
W = Wq + Ws
que es un valor a priori
desconocido
Ws = W - Wq

Ws =
- 
 ( -  )
- 
1
Ws =
=

(
)
 - 
1
W
1
= Wq + 
VALOR ESPERADO DEL TIEMPO
DE ATENCION DE UN CLIENTE
Se puede demostrar de acuerdo a las fórmulas
planteadas en las propiedades anteriores
1
1
W =
W = Wq + Ws
W = Wq +

-

Pero también se puede obtener mediante W = E(w)
determinando la distribución de probabilidades de w
Recuerdo: w es el tiempo específico que tarda un
cliente en el sistema. Es una variable
aleatoria
VALOR ESPERADO DEL TIEMPO
DE ATENCION DE UN CLIENTE
Consideremos la probabilidad de que un cliente
tarde más de un tiempo T en salir del sistema
Sea
Sn+1 = T1 + T2 + T3 + .............. + Tn + Tn+1
Sn+1 es la suma de los tiempos de atención de los
“n” clientes que ya estaban en el sistema, más el
tiempo de atención del “n+1” cliente, que acaba de
ingresar al sistema
donde T1, T2, T3, ........... son variables aleatorias
independientes que tienen
una distribución exponencial
PROPIEDAD REPRODUCTIVA
Por una propiedad reproductiva, la suma de las
variables aleatorias con distribución exponencial,
tiene una distribución de probabilidades gamma
Sn+1 tiene una distribución gamma
8
Entonces
P (w > t)
 Pn P(Sn+1 > t)
= n=0
P (w >t) considera dos supuestos
• Al ingresar el cliente al sistema, éste está ocupado
• El tiempo de espera en la cola más el tiempo de
atención del cliente sea mayor que t
VALOR ESPERADO DEL TIEMPO
DE ATENCION DE UN CLIENTE
Reemplazando las fórmulas de Pn y P(Sn+1 > t), y
después de mucho trabajo algebraico se llega a:
P (w >t)
=


1-  t
e
,si t > 0
¡¡¡ w también tiene una distribución exponencial !!!
E(w) =
1
- 1-


W
1
= E(w) =  - 
UNIDADES DIMENSIONALES
• W
(tiempo)
• L
(clientes)
•
•


1
• 
1
• 
(clientes / tiempo)
(clientes / tiempo)
(tiempo / clientes)
(tiempo / clientes)
NOMENCLATURA
Un modelo de colas se caracteriza
por los siguientes símbolos:
Tiempo entre
llegadas, que
se asocia a una
distribución
exponencial (la
tasa de llegada
es poisson)
M
/
M
/
S
/
K
/
N
Cantidad en la
población potencial
(población finita)
Cantidad de Cantidad admisible
Tiempo de servicio, servidores
en el sistema
que es exponencial en paralelo (capacidad finita)
MODELOS DE COLAS
Según se combinen las diferentes características
(población finita o infinita, uno o más servidores,
capacidad admisible finita o infinita), se da origen
a una combinación de distintos modelos de colas:
• Modelo M / M / 1
• Modelo M / M / S
• Modelo M / M / 1 / K
• Modelo M / M / S / K
• Modelo M / M / 1 / N
• Modelo M / M / S / N
MODELOS DE COLAS
Si el modelo de colas tiene capacidad admisible
finita, entonces el modelo se denota con la letra K
Si el modelo de colas atiende a una población
finita, entonces el modelo se denota con la letra N
Cuando el modelo de colas tiene tanto población
finita como capacidad admisible finita, entonces el
modelo se denota con letra N (si hay población
finita, se asume capacidad admisible finita)
S SERVIDORES EN PARALELO
Si existen S servidores, pero se forma una sola
cola para requerir el servicio, que es suministrado
por el servidor que se desocupe primero,
entonces estamos en el caso de servidores en
paralelo
Ejemplos de esto son algunos bancos, algunos
locales de pago de ciertos servicios públicos,
algunas fiambrerías de los supermercados, etc
Este caso corresponde al modelo M / M / S
S SERVIDORES EN PARALELO
Si los servidores tienen todos la misma tasa de
servicio constante  , entonces hay un aumento
proporcional en la tasa de prestación del servicio
de las sucursales a:
n  , si n < S
S  , si n > S

0

1


2
2

.....
3
S

S+1
S

S+2
S
....
S
MODELO
M/M/S
Según el balance de entradas y salidas a cada
estado del sistema, en flujo estable:
Pn
 n-1 n-2
= n n-1
En este caso:
0 = 1 = 2 = 3 =
Pero:  n = n  , si n < S
 s = S  , si n > S
Condición de estado estable
 2 1  0
 3 2 1
P0
=  n-1 = 
 1
<

S
MODELO
M/M/S

Se obtiene:
n
Pn
P
0 ; si n > S
(n-s)
n S ! S
n P0
n n !
; si n < S
Para determinar P0 : P0 + P1 + P2 + P3 + ......... = 1
2
3



P0 +
P0 +
P0 +
P0 + 2
3
 1!
 2!
 3!
S+1
S+2
S



+
P0 + S+1 1
P0 + S+2 2
P0 +
S
 S!
 S S!
 S S!
=1
MODELO
M/M/S
Factorizando:
P0
1
n!


n=s S 
8
Además:
n
+
1
S!
n-s


 S
 n=s
S
8

 
n=0
S-1
n-s
=
1
Es una progresión geométrica
cuyo resultado es:
8


n=s S 
n-s
=
1

1S
MODELO
M/M/S
Finalmente, se obtiene P0
P0
=
1


n=0 
S-1
n
1
n!
+
1
S!


S
1

1S
MODELO
M/M/S
Asimismo, con los valores de P0, P1, P2, ........., Pn
es posible obtener el valor de L
L = 0P0 + 1P1 + 2P2 + ...........
L
=


(S - 1) !
S+1
P0

S
2

+ 
cumpliéndose:
L
Lq
=
Lq

+ 
MODELO
M/M/S
Usando las fórmulas tradicionales, es posible
obtener las demás variables de interés
Wq
=
Lq

W
=
Wq
+
1



t S - 1 - 
P0
- t
 1- e
P (w > t) = e
1+


S- 1S ! 1

S
SISTEMA DE COLAS CON
CAPACIDAD FINITA
Con capacidad admisible finita significa que el
sistema puede contener como máximo K
clientes, por lo tanto se asume que:
n =
0
si n > K
Existen dos modelos de colas con capacidad finita:
• Modelo M / M / 1 / K : Caso de un solo servidor
• Modelo M / M / S / K : Con S servidores en paralelo
MODELO
M/M/1/K
Un solo servidor y capacidad admisible finita

0
1

•
•
•


S = 1
n = 
n = 
2


.....

0
K

Ejemplos de modelos M/M/1/K son
un médico que atiende con una
consulta particular independiente o
el taxi colectivo en hora vespertina
MODELO
Pn


M/M/1/K
n
0
P0

1
=
K+1

1
P0
; si n
<K
; si n
>K
Se obtiene
por suma de
progresión
geométrica
MODELO
M/M/1/K


=

1

( K+1 )

K+1

1 
L
Como S = 1
K+1
-
Lq = L - ( 1
- P0 )
MODELO
M/M/1/K
En un modelo de cola con capacidad finita sucede:
n

0
<K
si n > K
si n
Por lo tanto, corresponde:
8
donde
W
 =   n Pn
=
L

Wq
=
Lq

n=0
K-1
K-1
 =   Pn
n=0
con
 Pn =
n=0
( 1 - Pk )
MODELO
Luego:
= 
M/M/1/K
donde
( 1 - Pk )
Finalmente:
W
=

Pk =

L
( 1
-


K
P0 )
K
P0
MODELO
M/M/S/K
El sistema de S servidores en paralelo con
capacidad finita no permite más de K clientes, por
lo que K es el número máximo de servidores que
pueden necesitarse. Suponiendo S < K, hay varios
servidores (S) y un límite en la capacidad del
sistema (K)
Un ejemplo de esto es la sala de emergencia de un
hospital: el sistema tendría una capacidad
admisible finita, si solo hay K camillas para los
pacientes y, si la política del hospital es derivar a
los pacientes que llegan hacia otro hospital
cuando no hay lugares disponibles
MODELO

0

1


2
2
M/M/S/K

.....
3


S
S+1
S  S
S
Ejemplos de modelos M/M/S/K son
las secciones de maternidad y
urgencia en un hospital o algunos
centros integrales de belleza

....
S
0
K
MODELO

n n !
M/M/S/K
n
Pn
P0

; si
n
<S
; si
S
< n <K
n
n S ! S
0
P0
(n-s)
; si n
>K
MODELO
M/M/S/K
Para obtener P0 , se utiliza un método
bastante similar al del modelo M / M / S
P0
=
1


n=0 
S
n
1
n!
+
1
S!
    n =S+1 S 
S K
n S
MODELO
M/M/S/K
Adaptando la derivación de Lq del modelo M / M / S
al caso actual de M / M / S / K se llega a:
 s+1 P0
(k-s)
(k-s)




(K-S)
11+
Lq =
2
S
S
S

(S-1)! S 
S-1
L
=
n Pn

n=0
S-1
+
Lq
+
S 1
- Pn
n=0
MODELO
M/M/S/K
Como modelo de cola con capacidad finita, ocurre:
n

0
<K
si n > K
si n
Por lo tanto, corresponde:
8
donde
W
 =   n Pn
=
L

Wq
=
Lq

n=0
K-1
K-1
 =   Pn
n=0
con
 Pn =
n=0
( 1 - Pk )
MODELO
Luego:
= 
M/M/S/K
donde
( 1 - Pk )
Finalmente:
W
=

Pk =

L
( 1
-


K
P0 )
K
P0
SISTEMA DE COLAS CON
POBLACION FINITA
La fuente de entrada o población potencial es finita
Se define el tamaño límite de la población como N
Cuando el número de clientes en el sistema de colas
es n (n = 0, 1, 2, ......, N) existen sólo (N - n) clientes
potenciales restantes en la fuente de entrada
Población
Potencial
n
clientes en el sistema
N
(N - n) clientes potenciales
afuera
SISTEMA DE COLAS CON
POBLACION FINITA
Este problema tiene múltiples aplicaciones en el
flujo de recursos materiales de la cadena logística
Una de sus aplicaciones más importante es el
problema de reparación de máquinas o
mantención de computadores, donde se asigna a
uno o más mecánicos la responsabilidad de la
mantención de N computadores, dando servicio a
cada uno de los que se descomponen
SISTEMA DE COLAS CON
POBLACION FINITA
Los computadores constituyen la población
potencial Cada uno es un cliente en el sistema de
colas cuando está descompuesto en espera de
ser reparado, mientras que cuando está en
operación normal está afuera del sistema, pues
no está en reparación
Cada técnico asistente o cuadrilla de
técnicos es un servidor, que trabaja la
mantención en una solo computador a la vez
MODELO
M/M/1/N
Un solo servidor y población finita
N
0
(N-1) 
1

•
•
S = 1
n = 
(N-2) 
2

(N-3)
3

•
n

(N - n) 
0
.....

N

,si n < N
,si n > N
MODELO
M/M/1/N
Esquema suponiendo población finita N = 5
5
0
4
1

3
2

2
3


4

5

Otros ejemplos de modelos M/M/1/N son el médico
que atiende enfermos de patologías escasas o el
alumno ICA con sus exámenes de final de semestre
MODELO
M/M/1/N
Para el esquema con N = 5, y usando las ecuaciones
de balance de estado estable en cada estado:
P1 
....
Estado 1
Estado 5
P2  +
=
5 P0  =
5 P0 
4 P1  + P1
....
....
....
Estado 0
P4 
=
P5 
De acuerdo a una situación general, con un total
de N estados (población finita) se obtienen P0 y Pn
MODELO
P0
M/M/1/N
1
=


n=0 
S-1
N

n
N!
Pn
=
N!
(N - n) !


n
P0
(N - n) !
Como
Lq = (n - 1) Pn
Lq = L - (1 - P0)
n=1

L = N(1 - P0)

MODELO
M/M/1/N
En un modelo de cola con población finita sucede:
n
(N - n) 
si n
0
si n
<N
>N
Por lo tanto, corresponde:
8
donde
 =   n Pn
W
=
L

Wq
=
Lq

n=0
K-1
 =  (N - n)  Pn
n=0
 =  ( N- L )
MODELO
M/M/S/N
Varios servidores (S > 1) y población finita (N)
Se asume S < N
N

0
 (N-2) (N-S+2) (N-S+1) (N-S) 2
(N-1)
1

2
2
.....
3
S-1
(S-1)  S 
• S > 1
•
n
n  ,si n < S
S  ,si n > S
•
n
S
.....
S
N-1
S

N
S
(N - n) ,si n < N
0
,si n > N
MODELO
M/M/S/N
Con las ecuaciones de balance de estado estable:
 P0

n
N!
 P0
(N - n) ! S ! S (n-s) 
N!
(N - n) ! n !
Pn
0
n
; si n
<S
; si S
< n <N
; si n
>N
Es la misma fórmula del modelo M / M / S / K, solo que
ahora se multiplica por la combinatoria del número
de clientes (n) sobre la población potencial (N)
MODELO
M/M/S/N
Además:
P0
1
=


n=0 
S-1
n
N!
(N - n) !
S-1
N
Lq
= (n - S) Pn
n=S

+ 
n=S
N
L
=
n
N!
(N - n) ! S ! S (n-s)
S-1
n Pn + Lq + S 1 - Pn

n=0
n=0
Después se pueden obtener W y Wq con las
mismas ecuaciones que en el caso de un servidor
FORMULARIO DE
TEORIA DE COLAS
Tanto en la prueba de ayudantía como en la prueba
de cátedra, se autoriza el uso del formulario de
teoría de colas, disponible en
www.profesores.ucv.cl/pablodiez
Por lo tanto, no es necesario
aprenderse de memoria las
fórmulas de cada modelo