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TRÁFICO 2012
1
DEFINICIÓN DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO


Aplicación de la teoría de probabilidad a la solución de
problemas concernientes a la planificación, evaluación
del desempeño, operación y mantenimiento de los
sistemas de telecomunicación.
Herramientas matemáticas: procesos estocásticos ,
teoría de colas y simulación numérica
2
OBJETO DE LA TEORÍA DE TELETRÁFICO



El objetivo de la teoría de teletráfico es el desarrollo de modelos
matemáticos que permitan derivar la relación entre capacidad y
grado de servicio. El conocimiento proporcionado por la
modelización de los sistemas será la base en la toma de
decisiones operacionales y económicas.
Hacer el tráfico mesurable en unidades bien definidas a través de
modelos matemáticos y derivar relaciones entre grado de servicio
y capacidad del sistema, de manera que la teoría se convierta en
una herramienta de planificación de inversiones. (Iversen).
Diseñar sistemas que se adapten a la carga de trabajo, con un
desempeño mesurable y con una optimización de los costes.
3
GRADO DE SERVICIO

Definición




Número de variables de ingeniería de tráfico que proveen una
medida del desempeño de un grupo de recursos bajo unas
condiciones específicas.
Los valores de referencia asignados a las variables de tráfico
constituyen los estándares del Grado de Servicio
Los valores obtenidos para los parámetros especificados
constituyen los resultados del Grado de Servicio
¿Qué mide el Grado de Servicio?


Mide el desempeño medio de una red , o parte de una red.
Es el punto de vista del Operador del servicio
4
Calidad de servicio. QoS. SLA



El Grado de Servicio mide el desempeño de la red, es el punto de
vista del Operador. Parte de unos objetivos y dimensiona la red
para
su
cumplimiento.
Las
medidas,
usualmente
de
comportamiento medio comprueban la bondad de las hipótesis y
el comportamiento de la red.
La calidad de servicio – QoS - representa el punto de vista del
usuario y está expresada en términos adecuados a sus
expectativas. La red puede tener un bloqueo del 1%, pero un
usuario en particular experimentar un 3%.
El SLA o ANS (Acuerdo de Nivel de Servicio) es un contrato entre
Operador y Usuario en el que se definen los términos
(disponibilidad, proceso provisión, mantenimiento ...) y las
penalizaciones por incumplimiento.
5
TAREAS EN LA INGENIERÍA DE TRÁFICO
Caracterización
de la demanda
Modelos
tráfico
Objetivos de
grado de servicio
Requisitos
QoS
Medidas
tráfico
Objetivos
GoS
Previsión
tráfico
Elementos
Red
Control
Tráfico
Dimensionado
Monitorización
6
MODELOS



Las redes de telecomunicaciones se diseñan para
atender demandas de usuarios adscritos a un
determinado servicio.
El comportamiento de los usuarios, de las fuentes ,
será en general aleatorio y ello nos impulsa a intentar
modelarlo mediante la teoría de procesos estocásticos.
Construiremos modelos que confrontaremos a la
medidas en la red, si no concuerdan deberemos
construir nuevos modelos en un proceso iterativo.
Parece natural separar la descripción de las
propiedades del tráfico en dos procesos diferentes:


Aparición de eventos (peticiones de servicio)
Tiempos de servicio
7
Terminología en procesos tráfico
Tiempo entre eventos
Tiempo servicio
Tiempo llegada
Tiempo libre
Tiempo salida
Busy , Idle, Interarrival time, Holding time
8
Redes telefónicas

Comportamiento usuario

Control y camino de voz. Señalización y media.

Comentario estructura de la red telefónica




Topología
Arquitectura
Ejemplo VSAT
Concepto conmutación circuitos
9
Redes de datos

Principio conmutación paquetes

Almacenamiento y retransmisión

Caso LAN
10
Redes móviles

Diferencias respecto redes fijas

Control de presencia

Handover
11
Redes de nueva generación

Complejidad

Tráfico de agregación

Tasas de crecimiento

Modelos matemáticos
12
HISTORIA
13
HISTORIA

Molina desarrolla trabajos anteriores de Rorty en los
Bell Labs para ATT

Hipótesis
Las llamadas se producen aleatoriamente
Todas las llamadas permanecerán en el sistema durante
un tiempo igual al tiempo medio de permanencia tanto si se
atienden como si no.
El bloqueo ocurre cuando el número de llamadas es mayor
que el número de recursos durante un tiempo igual al
tiempo medio.
En 1920 alguien comentó que esos resultados provenían de
investigaciones de Poisson (1781-1840), Molina le cedió los
honores.




14
HISTORIA
SIMEON D. POISSON
15
HISTORIA

Agner Krarup Erlang
desarrolla sus modelos en
1909
Hipótesis
Las llamadas que llegan
con todas los servidores
ocupados se pierden (se
enrutan por otro sitio)
Las llamadas que llegan
con todos los servidores
ocupados esperan en cola
hasta ser atendidas.



16
HISTORIA

Tore Olaus Engset en 1918
propone un refinamiento de
las fórmulas de Erlang
Erlang supone que el número
de fuentes “productoras “ de
eventos es infinito. Si el
número es finito Erlang está
sobreestimando el
dimensionado

17
HISTORIA

Después de la WWII, Roger Wilkinson desarrolla un
modelo para el tráfico de “desbordamiento”



Hipótesis. El tráfico que no puede ser cursado por una ruta, no
tiene características poissonianas. Usualmente la varianza es
mayor que la media. A su relación se la conoce como
coeficiente de variación.
Wilkinson desarrollo un método para dimensionar los
recursos que deberán cursar este tipo de tráfico. Neal en 1970
refinó el modelo y publicó unas tablas de dimensionado , las
tablas de Neal-Wilkinson
En 1982 Henry Jacobsen de ATT publica las tablas EART y
EARC para el diseño de enlaces en PBX con rutas de
desbordamiento basándose en los modelos de Neal-Wilkinson
18
HISTORIA

A mediados de los 50 , Roger Wilkinson estudia el
modelo de reintentos. Bretschneider hace lo mismo en
Alemania.


Los intentos de llamada, en el mundo real, se repiten si no
consiguen servicio. Wikinson desarrolla los modelos teóricos.
En 1980 Jacobsen publica las “Retrial Tables” basándose en
los trabajos de Wilkinson.
19
HISTORIA



En 1951
Kendall introduce una notación para
especificar los distintos escenarios de un sistema de
colas.
En los 60 y 70 se producen grandes avances teóricos
en USA y Alemania.
Kleinrock publica en 1970 su primer volumen y
“evangeliza” sobre el uso de los computadores en
teoría de colas.
20
CONCEPTOS BÁSICOS Y
MEDIDAS
21
CONCEPTOS TEORÍA TELETRÁFICO

Intensidad de tráfico
Intensidad de tráfico. Número
de recursos ocupados en un
sistema en un instante de
tiempo dado.

1
Y (T ) 
T

T
0
n(t )dt
Dónde n(t) es el número de recursos
ocupados en el tiempo t
C : Número de recursos ocupados en función de t
D: Intensidad media en un tiempo T
La curva de la figura representa el tráfico cursado por un conjunto de recursos
22
Conceptos (cont)

Tráfico ofrecido



Si el número de recursos no es infinito, pueden producirse
peticiones de servicio con todos los recursos ocupados.
El tráfico ofrecido no puede medirse, puede estimarse.
Se trabaja con dos parámetros
 : número de eventos (peticiones de servicio) por unidad
de tiempo.
Tiempo medio de servicio tm



A=·tm
23
INTENSIDAD DE TRÁFICO
24
VARIACIÓN DIARIA
25
VARIACIÓN DEL TIEMPO MEDIO DE LLAMADA
26
VARIACIONES INTENSIDAD TRÁFICO. MODEM POOL INTERNET
27
CONCEPTO DE BLOQUEO. Loss systems

Congestión de tiempo


Congestión de llamadas


Fracción de tiempo en la que todos los servidores están
ocupados.
Fracción de todas las llamadas que encuentran todos los
servidores ocupados.
Congestión de tráfico

Fracción de todo el tráfico ofrecido que no es cursado.
28
EVENTOS – INTERVALOS DE TIEMPO
llamadas
Server 3
Server 2
Server 1
¿Cuál es la congestión de tiempo, tráfico, llamadas?
29
Tráfico en Erlang
A    tm
1 N
A   ti
T i 1
t i : duración de la ocupacióni
N : número totalocupaciones
1 N
A   i  ti
T i 0
i : númerosimultáneode ocupaciones
t i : tiempocon exactamente i ocupaciones
N : númerode recursos
30
ELEMENTOS TEORÍA DE
PROBABILIDAD
31
PROBABILIDAD
Trataremos con intervalos de tiempo no negativos
Funciones de distribución
Un intervalo de tiempo puede ser descrito por una variable estocástica X
caracterizada por
t
F (t )   dF (u )
0t
F (t )  0
t 0
0
p(X  t)  F(t)
F c (t )  1  F (t )
Incluye posibles
discontinuidades en cero
si F(t)es diferenciable
dF (t )  f (t )  pt  X  t  dt
32
PROBABILIDAD.
  m  
E X
i
i

0

t f (t )dt   i  t i 11  F (t )dt
i
0


0
0
m1   t f (t )dt  


0
1  F (t )dt  m

t f (t )dt   2  t1  F (t )dt

2

0

E  X  m    (t  m) f (t )dt
i
0
Identidad de Palm
i

 2  m2  m 2  E  X  m 2

Coeficiente variaciónCV (peakedness) 

m
m2
 
Fact orde P alm o fact or  2  1     1
m
m
2
33
PROBABILIDAD



Estas relaciones son independientes de la escala de
tiempos
Cuando mayor sea el factor de forma más irregular es
la distribución temporal, eso llevará por ejemplo a que
el tiempo de espera medio, en los sistemas de colas ,
sea mayor.
Para
estimar
una
distribución
a
partir
de
observaciones, a menudo se está satisfecho al conocer
los dos primeros momentos.
34
Distribución exponencial negativa



Se utiliza para caracterizar los
tiempos de vida (no negativos)
de manera sencilla.
Es un caso especial de la
distribución Gamma
Tiene un solo parámetro
F (t )  1  e
 t
  0, t  0
f (t )   e   t
m1 
m2 
1

2

2
 
2
1
2
 2
recordemosla funciónGamma

n  1   t n e t dt  n!
0
reemplazando t por  t se obtienenlos moment os
35
Tiempo de vida residual
PX  t  x 1  F (t  x)
pX  t  x / X  x 

pX  x
1  F ( x)
F (t  x)  F ( x)
F (t  x / x)  pX  t  x / X  x 
1  F ( x)
el valormedio del tiempode vida residual será

1

mr 
1  F (t  x)dt

1  F ( x) 0
x0
36
Tiempo de vida residual para la exponencial
 


1
   x t 
m1,r 
1

1

e
dt
  x 0
1  (1  e )
1     x t 
1
m1,r    x  e
dt 
0
e

La vida residual es igual a la vida media.
Esto no es cierto siempre.
Para distribuciones con  < 2 la vida residual es menor, para  >2 la vida
residual es mayor
37
Carga de los tiempos de servicio menores que uno dado

m   t  f (t )dt
0
x
x
t  f (t )dt


0
m
El 75% de los trabajos contribuye con el 30% del valor de la media
38
Combinación de variables estocásticas

Serie


La función de distribución es la convolución de las funciones de
distribución de las respectivas variables. La media es la suma
de las medias y la varianza la suma de varianzas
Paralelo

Cada variable estocástica se pondera. La función de distribución
es la suma ponderada de las funciones de distribución
individuales. La media y varianza son:
l
m   pi m1,i
i 1
l
con  pi  1
i 1
l
   pi  ( i2  m12,i )  m 2
2
i 1
39
Ejemplo: Ensayo de Bernouilli y binomial
En una prueba la probabilidad de éxitoes p y la de fracasoq  1 - p
1  p i  0
pi (i )  
i 1
p
Si se efectuanS pruebas
S i
pS i     p (1  p ) S i
i
se obtieneasí la distribución binomial
40
Combinación de distribuciones exponenciales


Con combinaciones de distribuciones exponenciales se puede
aproximar cualquier distribución
Combinando en serie se obtienen las llamadas distribuciones
hipoexponenciales, que tienen <2. Si todos los parámetros son
iguales se llaman distribuciones de Erlang
1
2
3
4
41
Erlang-k

 t
f (t ) 
k 1
e
 t
(k  1)!

F(t)  
 t 
j k
m
k

m1,r ( x)  m,
j!
j
e
 t
  0, t  0, k  1,2,...
,
k 1
 1 
j 0
 
2
k

2
 t 
j!
j
 e t
1
  1
k
x 0
42
Gráfica Erlangiana
Se ha normalizado la media a un
valor 1, por ejemplo reemplazando
por k.
El caso k=1 corresponde a la
exponencial
43
PROBABILIDAD. PROCESOS DE LLEGADA


Se consideran procesos puntuales simples en los que se excluyen
llegadas múltiples. En las telecomunicaciones se puede hacer
considerando intervalos de tiempo lo suficientemente pequeños.
Consideremos los instantes de aparición de eventos a partir de un tiempo
inicial
0  T0  T1  T2  ...  Ti  Ti 1  ...


El numero de llamadas en un intervalo abierto [0,t [ se representa por Nt.
En la que t es un parámetro continuo pero tiene un espacio muestral
discreto
La distancia entre dos llegadas sucesivas, se llama tiempo entre llegadas
X i  Ti  Ti 1
i  1,2,...
44
Identidad de Feller - Jensen

Tenemos dos variables aleatorias que representan dos procesos
Representación “Número”. El intervalo de tiempo t se mantiene
constante y se observa el número de llegadas en ese tiempo Nt
Representación “Intervalo”. Se mantiene el número de llamadas
constante y se observa la variable Ti
Existe la siguiente relación



N t  n si y solo si
n
Tn   X i  t , n  1,2,..
i 1
Identidad de Feller-Jensen
pN t  n   p Tn  t n  1,2...
45
Procesos puntuales

Características de los procesos puntuales
Estacionareidad
Independencia
La evolución del proceso (su futuro) depende solo del estado
actual (propiedad de Markov)




Para los procesos puntuales simples
La probabilidad de que haya más de un evento en un intervalo
suficientemente pequeño tiende a cero

pNt t  Nt  2  o(t )
El proceso de Poisson es un proceso puntual simple
46
Poisson

PPT ESPECÍFICO
47
Poisson

Proceso de Poisson
pNt  t  Nt  2  o(t )
pNt  t  Nt  1   (t )

t i  t
pi, t  
e
i!
m  t
n 1

j 0
 2  t
t  j  e  t 
j!


x t
 x n1    e  x dx
(n  1)!
por la identidadde Feller - Jensen
relaciónentrela distribución acumulada de P oisson y la de Erlang
48
Teoerema de Palm

La superposición de procesos puntuales independientes
tiende a un proceso que localmente es de Poisson. El término
localmente significa que el intervalo del tiempo es lo
suficientemente corto como para que cada proceso individual
contribuya a lo sumo con un evento y no “domine”.
49
Teorema de Raikov

Una descomposición aleatoria de un proceso puntual
en subprocesos, produce subprocesos que convergen
a procesos de Poisson, cuando la probabilidad de que
un evento pertenezca a un subproceso tiende a cero.
50
Teorema de Little




Válido para cualquier
estacionareidad)
cola
(solo
se
requiere
El proceso de llegada es estocástico
Las llegadas “esperan” hasta que son servidas y
después abandonan el sistema.
Se considera un tiempo de observación T
51
Teorema de Little. Definiciones

N(T) : Número de llegadas en el tiempo T

A(T) : Tiempo total de servicio en el tiempo T. Tráfico cursado.

(T)=N(T)/T Tasa media de llamadas en el tiempo T

W(T)=A(T)/N(T) Tiempo medio de servicio en el tiempo T

L(T)=A(T)/T número medio de “llamadas” simultáneas en el tiempo T
A(T ) W (T ) N (T )
L(T ) 

  (T )W (T )
T
T
Si   lim  (T ) y W  lim W (T )
T 
T 
L  W
52
Teorema de Little
Número medio de peticionesen cola  Tasa de peticionesx tiempo medio en cola
t total  tiempo de servicio tiempo en cola
N : número de peticionesen el sistema   t total  A  L
A : tráfico ofrecido  número medio de peticionesservidas
N  número medio de peticionesservidas número medio en cola
53
Teorema de Little. Gráfica
54
SIMULACIÓN DE VARIABLES
ALEATORIAS
55
Simulación variables aleatorias


Queremos generar números , x , aleatorios en un determinado dominio
de manera que su probabilidad de ocurrencia, o densidad de
probabilidad dependa de x de una manera prescrita f(x).
Técnica de transformación inversa
Generar U(0,1) uniforme entre 0 y 1
Obtener X=F-1(U). Recordar que la función de distribución tiene un rango
entre 0 y 1
Ej Weibull



F ( x)  1  e
U  F(X )
 b
 x
c
X  b  ln1  U 
1
c
56
Simulación Gaussiana
x2
 2
1
f ( x) 
e 2
2  
-  x  
x
F(x)   f ( y )dy pero esta integralno se puede expresarmediante

funcioneselementales
Utilizandola relaciónque existeentrela distribución
de Rayleigh y la Gaussiana
R0
 0 2
R
F ( R)  
 2
1  e 2
R0
que está relacionada con un par de gaussianas
C  R cos
D  R sen 
con F ( x)  U
Las gaussianas son de media
cero , para otro valor solo
hará falta añadirlo a cada
número generado
 1 
2 2 ln 

1U 
  2U
R
57
Simulación

Otros métodos
Composición. Es una extensión del método de inversión, se utiliza cuando la
fdp se puede escribir como combinación lineal de funciones más simples en
las que pueda aplicarse el método de inversión. Ejemplo : distribución de
Laplace
Convolución. Las combinaciones algebraicas de variables aleatorias y para
el caso de que las variables sean independientes pueden ayudar a su
simulación. Por ejemplo si una determinada función de densidad se puede
obtener por convolución de funciones elementales (caso de suma de
variables) se puede generar cada variable individual y sumar los resultados.
Ejemplo distribución de Erlang. Se pueden obtener también así variables
generados por multiplicación y división de otras variables con fdp
elementales o invertibles.
Aceptación- Rechazo. No es tan eficiente como los métodos anteriores pero
siempre funciona, incluso cuando no hay formas explícitas de la fdp, La idea
es generar puntos aleatoriamente en un plano y aceptar o rechazar cada
uno de ellos. Si x<f(x) se acepta, si no se rechaza.
Muestreo de datos. Interpolación estocástica
Monte Carlo





58
MODELOS
59
Naturaleza de la Teoría de Teletráfico

Modelo



Proceso de entrada
Mecanismo de servicio
Disciplina de la disposición en cola
60
Naturaleza de la Teoría de Teletráfico

Proceso de entrada



Mecanismo de servicio


Describe la secuencia de peticiones de servicio
A veces se especifica en términos de la distribución de las
duraciones entre los instantes de llegada de peticiones de
servicio.
Incluye el número de servidores y la duración del servicio
(ocupación del servidor)
Disciplina de cola

Especifica las acciones de las peticiones que encuentran
todos los servidores ocupados
61
Modelos de nacimiento - muerte

Hipótesis de trabajo




llamadas independientes
tasa de llegadas en el estado i representada por i
tasa de salidas en el estado i representada por i
en cualquier instante de tiempo solo puede ocurrir un suceso
62
Diagrama de estados
1
0
0
1
1
2
2
2
j-1
3
3
j
j
j
n-1
N-1
j+1
N
n
N puede ser 
63
Algunas definiciones




 : nº promedio de peticiones de servicio por unidad de
tiempo
1/  : tiempo promedio entre peticiones de servicio
Ej : estado del sistema en el que el número de
“clientes” es j
Pj. Proporción del tiempo en el estado j (en el que haya
j servidores ocupados)

Ej  Ej+1 transiciones del estado j a j+1

Pj : número de transiciones por unidad de tiempo

tm : tiempo medio de duración de un servicio, tiempo
medio de ocupación de un servidor
64
Algunas definiciones

 : tasa de finalización de servicio por unidad de tiempo
igual a 1/ tm.

(j+1)/ tasa de finalización con j+1 servidores ocupados

Ej+1  Ej transiciones del estado j+1 a j
65
Ecuaciones de estado
d i t
 i  i i t  i 1i  1t  i 1i  1t
dt
d i t
equilibrio estadístic o
0
dt
i 1i  1t  i i t
66
Modelo de Erlang
Tasa de llamada constante, número de fuentes mucho mayor
que el número de servidores.


0
1
1
j 
2
2
j


3
3
j
j


N-1
j+1
N
n
N: número servidores
tm
67
Erlang
Número de fuentes  ... o mucho mayor que número de servidores N
AN / N!
N   EN ( A)  i  N i
A

i 0 i!
B  N 
AEN 1 ( A)
EN ( A) 
N  AEN 1 ( A)
68
69
Utilización
1.0
0.5
0.2
0.1
0.8
0.05
0.02
0.01
0.6
0.001
0.0001
0.4
0.2
0.0
Número de canales
70
Tablas Erlang-1
Cálculo de la probabilidad de pérdida:
Datos n y A
Ej n=15 A =7
71
Tablas Erlang-2
Cálculo de la probabilidad del número de
servidores:
Datos B y A
Ej B=0.005 A =7
72
Tablas Erlang-3
Cálculo del tráfico
ofrecido máximo
Datos n y B
Ej n=15 B =0.005
73
Reintentos


Se considera una situación real, al no obtener servicio
se reintenta obtenerlo.
¿Cuál es el efecto de este comportamiento?


Incremento en la tasa de llamadas del sistema
Si consideramos que los reintentos se producen
transcurridos algunos tiempos medios de llamada
podemos seguir considerando equilibrio estadístico
con la nueva tasa de llamada
74
Extended Erlang B (EEB)



Se utiliza cuando se permiten reintentos. Un tanto por
ciento de los llamantes reintenta cuando se encuentra
todos los servidores ocupados.
Algoritmo clásico con reintentos hasta obtener servicio
Algoritmo (Jewitt–Shrago). Permite considerar
abandonos en los reintentos
75
Erlang con reintentos, Algoritmo clásico
 '    B  B 2  B3  

'
1 B
pero B depende de la tasa de llamada,
se requiere un proceso de iteración.
76
Algoritmo

El proceso es el mismo para  o para A. Se desarrollará
para A.





Con el tráfico ofrecido de primer intento A se calcula B
Con el valor de B obtenido se calcula A’
Con el valor de A’ se obtiene un nuevo B
Con B se obtiene un nuevo valor de A’
Se comparan los valores de A’ obtenidos y se itera el proceso
hasta que la diferencia entre dentro del rango de precisión
establecido. La serie de valores obtenidos debe ser
convergente, lo cual será cierto excepto que el tráfico ofrecido
sea mayor que el número de servidores.
77
Algoritmo
A inicial B1
A
A 
1  B1
'
1
A1'

B2
A
A2' 
1  B2
¿?
A' 2  A1'  
A2'

No se itera con A’1
B3
A
A 
1  B3
'
3
78
Algoritmo de Jewitt & Schrago

Permite considerar abandonos en los reintentos







Partiendo del tráfico ofrecido en primera instancia se calcula
B
Con B se calcula el tráfico rechazado
Se calcula el tráfico cursado
Sobre el tráfico rechazado se aplica la tasa de abandono o
de reintento (son complementarias)
Se calcula el tráfico cursado más el tráfico que abandona
Si cursado más abandono no se acerca suficientemente a
tráfico ofrecido se calcula un nuevo tráfico ofrecido como el
original más el de reintento.
Se repite le proceso hasta que tráfico cursado más
abandono sea igual (suficientemente cercano) a tráfico
ofrecido
79
Engset
Engset S>N
1
0
0
1
2
2
j-1
3
1
j 
j 
2
S  j 
tm
3
j
j
j
n-1
N-1
j+1
N
n
S = número de fuentes
 = tráfico ofrecido por fuente libre
j
tm
80
Engset

N: número de servidores

S : número de fuentes

: tasa de llamada por fuente libre

i: tasa de llamada en el estado i, i servidores
ocupados.

tm : tiempo medio de servicio.

i= tasa de terminación en el estado i.

El comportamiento de cada fuente se modela de la
siguiente manera. Cuando la fuente está libre su tasa
de llamada es constante y de valor , cuando la fuente
está ocupada el valor de su tasa de llamada es cero.
81
Engset.
i 1 i  1   i i 
1  0 0  
1
 j  S  j  
S
0   S 0  definiendo    t m , tráficopor fuentelibre
1
tm
1  0
1
S ( S  1)  2
2   1 
0  
0 
2
 2 1
2
S ( S  1)(S  2)  3
3  
0 
3!

 j   
S
 
 j
j
0 

N   
S N
  0 
N
82
Engset
0  
1

S
S
S
S
S
S
  0  
 
 
 
 
           2     3       j       N
 0
1
 2
 3
 j
N
0   N 1
S i
  

i 0  i 
S N
  
N

N   N
S i
  

i 0  i 
que es la expresión para la congestión de tiempo,
probabilidad de tener todos los servidores ocupados.
83
Engset
B
 N N 
0 0  1 1  2 2     N N 
i 
( S  i )
tm
 ( S  N ) 

N 
tm


B
S
0  ( S  1) 1  ( S  2) 2   ( S  N ) N 
tm
tm
tm
tm
se eliminan y t m . Expresando las probabilidades de estadoen función de 0
S N
S  N   0
N
S 
S
S
S 0  S  1  0  S  2   2 0   S  N   N 0
1
2
N
eliminando0 y dividiendopor S numerador y denominador
 S - 1 N


N

B  N
 E ( S  1, N ,  )
 S - 1 i


i

i 0 

84
Engset. Cálculo del tráfico por fuente libre
Consideraciones sobre el cálculo de  , j
a
actividad de la fuente

1  a (1  B )
tiempo libre
A

S  A(1  B )
pero B es función de  .

Se requiere pues un proceso de iteración que puede ser
obviado para valores pequeños de B.
85
Engset. Tráfico por fuente libre
A
A
S


S  A 1  B  1  A 1  B 
S
Pero B depende de α, por lo que hay
que montar un proceso iterativo
S
A
1   1  B 
Tráfico ofrecido dividido por el número
medio de fuentes libres
86
Algoritmo Engset
1. Partimos de una
considerando B=0
primera
aproximación
de
,
2. Con el valor de  se obtiene un primer valor de B
3. Se sustituyen los valores de  y B en la fórmula de A y
se compara la estimación de A así obtenida con el
dato Tráfico Ofrecido, si la diferencia está por encima
de la precisión necesaria en nuestro cálculo 
4. Se calcula una nueva  con el valor de B obtenido en
el punto 2
5. Se calcula un nuevo B con el valor de  del punto 4
6. Se realiza una nueva estimación de A como en el
punto 3, si la diferencia está por encima de la
precisión necesaria se repite desde el punto 4.
87
Engset. Fórmula recursiva
B es función de N,S y 
S  N  B N  1, S ,  
B( N , S ,  ) 
N  S  N  BN  1, S ,  
B0, S ,    1
La probabilidad de pérdida con 0 servidores es 1
88
TABLAS DE ENGSET

Grupos nuevos


Se conoce A, S y el nivel de pérdida deseado. Se busca N
Procedimiento



Se busca la columna del nivel de pérdida
En la columna se busca A para el número de fuentes S
Se obtiene N
89
TABLAS DE ENGSET

Grupos existentes:



Se conoce A, N (número servidores) y S (número de fuentes)
Se establece el nivel de bloqueo (pérdida )deseado
Procedimiento




Buscar en la tabla la fila que corresponda a N y S
Buscar en la fila el valor más cercano a A
La columna corresponde al valor de pérdida (interpolar en su
caso)
Si no es el deseado, buscar la columna de la pérdida deseada
y en la misma encontrar A para el número de fuentes S , una
vez encontrado S para ese A se obtiene N.
90
COLAS
91
Colas. Notación de Kendall

D.G. Kendall estableció en 1953 la siguiente notación:







A/B/c/k/s/Z
A: Proceso de llegada
B: Proceso de servicio
c: número de canales o servidores
k: capacidad del sistema
s: número de fuentes
Z: disciplina de la cola
92
Kendall
A/B/c/k/s/Z

Proceso de llegada





M: Markoviano, random,
exponencial
E: Erlangiano
H: Hiperexponencial
h: Hipoexponencial
G: General

Proceso de servicio
M: Markoviano, random,
exponencial
E: Erlangiano
H: Hiperexponencial
h: Hipoexponencial
G: General





93
Kendall

Número de canales


1,2,3, … ∞
Disciplina de la cola
FCFS. Primero entra, primero
sale
LCFS. Último entra, primero
sale
SIRO. Servicio aleatorio
GD. General
RR. Round Robin



Capacidad del sistema
Servidores +posiciones
cola

de




Número de fuentes

1,2,3, … ∞
94
Cola M/M/N. Probabilidades de estado
i   i 1 i  1 
i
A
i
tm
i  1
tm
i 
i
tm
i  númerode servidoresocupados
t m  tiempomedio de servicio
A partir del estado N, no puede aumentar la tasa de
salida, es decir para los estados N, N+1, N+2, .... la
tasa de salida es constante
1   A0 
A2
2   0 
2
N 
N
tm
AN
0 
... N  
N!
N
A
 A A
N  1  N     0
N
 N  N!
2
N
 A A
N  2   
0 
N
N
!
 
...
j
N
 A A
N  j    
0 
N
N
!
 
...
95
Cola M/M/N. Probabilidades de estado
0  
1
2
j
N
A2 A 3
AN  A  AN  A  AN
 A A
1 A 

  
 
 
    
 
2!
3!
N!  N  N!  N  N!
 N  N!
1
0   N 1

i 0
Ai A N   A 

 

i!
N ! j 0  N 
j
el segundo término del denominado r contiene la suma de una serie de razón menor a la unidad
0   N 1

i 0
1
Ai A N N

i!
N! N  A

AN

N   N 1 i NN !
A
A
N


i
!
N! N  A
i 0
96
Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola

Será la probabilidad de que las peticiones entren con
todos los servidores ocupados

Se dará en los estados N, N+1, N+2 ….
 N    N  1   N  2  
p( 0) 
 0   1   2  
Eliminando  y poniendo todas las probabilidades
de estado en función de la probabilidad [0]
2
AN
AN  A 
AN  A 
0   0    0  
N!
N!  N 
N!  N 
p( 0) 
A2
A3
AN
0  A0  0  0    0  
2!
3!
N!
97
Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola

Eliminando [0] y reordenando
2

A N   A   A 
1        

N !   N   N 

AN N
N! N  A
p( 0) 

N 1
A2
AN
Ai A N N
1 A 

 

2!
N!
N! N  A
i  0 i!
Que se puede simplificar
Sumar y restar en el denominador el término
con lo que el denominador quedaría
AN
N!
Ai A N  N



1



N!  N  A 
i 0 N !
N
98
Cola M/M/N. Cálculo probabilidad de entrar en cola
Ai

i  0 i!
N
dividiendo ahora numerador y denominador por
e identificando que
AN
N!  B
N
Ai

i 0 i!
es decir la probabilidad de pérdida de un sistema de tipo Erlang-B con un tráfico
ofrecido A y N servidores.
N
N
B
NB
NA
NA 
p( 0) 

 N

 A  N  A  AB
1 B 
 1 1  B 

N

A
N

A




B
p( 0) 
NB
N  A 1 B 
A esta fórmula se la conoce como Erlang-C o segunda fórmula de Erlang EN,2(A)
99
M/M/N. Longitud media de la cola

Lq   j N  j 
j 0

AN
Lq   j
N!
j 0
j

AN
 A
0 j  A 
  0 
N!
N
j 0  N 
j
Utilizando que


j 0
jr j 
r
1  r 2

j 0
con r  1
A
AN
N
0
Lq 
N!
1 A
N

j
j
r
 

2
AN
0 A

N!
N
 N 


N

A


2
r
1  r 
2
con r  1
dr j
 jr j 1
dr

d  j
1
r
j
jr

r
r

r




dr
1  r 2 1  r 2
j 0
j 0
100
M/M/N. Longitud media de la cola
Recordando que
2

A N   A   A 
1        

N !   N   N 

AN N
N! N  A
p( 0) 

N 1
A2
AN
Ai A N N
1 A 

 

2!
N!
i
!
N! N  A
i 0
AN N
0
p (  0) 
N! N  A
A
L q  p (  0)
NA
101
M/M/N.Tiempo medio en la cola

Hay dos posibles preguntas a las que responder:

¿Cuál es el tiempo medio en la cola considerando todas las
peticiones de servicio? ¿Cuál es el tiempo medio de espera
para las peticiones de servicio que entran en cola?
El teorema de Little establece que
Lq   t w
por lo tanto
 tm
tm
A
1
tw 
 p( 0)
 p( 0)
 p( 0)
 
NA 
N   tm
NA
Lq
t wq 
1
tm
NA
102
M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola >t


Se trata de responder a la pregunta: ¿Cuál es la
probabilidad de permanecer en cola más de un
determinado tiempo t?
Para responder a esa pregunta hay que establecer la
disciplina de la cola. Si la disciplina es Primero entra –
Primero sale (FIFO) que es la que nos encontramos
cotidianamente, si nos encontramos en la posición j de
la cola, para ser atendidos tienen que producirse j
terminaciones de servicio. Las terminaciones se
producen con una fdp exponencial cuyo parámetro es
el tiempo medio en la cola para las llamadas que entran
en cola
103
M/M/N. Probabilidad de permanencia en cola >t
p c ( t )  e
( N  A)
t
tm
Si queremos calcular la probabilidad de que una petición de servicio
cualquiera permanezca en cola más de t
p( t )  1  p( 0)   0  p( 0)  e
p( t )  p( 0)  e
( N  A)
( N  A)
t
tm
t
tm
104
M/M/N/N+L



En este nuevo escenario las llamadas que lleguen con todos los
servidores ocupados y todas las posiciones de cola ocupadas se
“pierden”.
Calcularemos expresiones para los parámetros significativos del
escenario
Cálculo de las probabilidades de estado
Aj
 j   0
j!
para (0  j  N )
j
N
 A A
N  j    
0 para (0  j  L)
 N  N!
1
0  N 1 i L
k
N
 A
 A  A 
  


i
!
N
N
!
 i  0


k 0 
105
M/M/N/N+L
0 
1
 
L 1
A
N 1
A
A 1 N


N! 1  A
i 1 i!
N
i
N
Probabilidad de pérdida
L
B  N  L  
L
N
 A A
 
 N  N!
L
 N 1 A
 A  A 
    

 i 0 i! k 0  N  N ! 
i
k
N

N
 A A
 
 N  N!
L 1

 A 
 
 N 1 i
N 1 
 A A
N 




A
i
!
N
!
 i 0

1
N 

106
M/M/N/N+L
Probabilidad de entrar en cola
 N    N  1     N  L  1
p( 0) 
 0   1     N  L
 
L


A
1



  A  A


 A 
N
p( 0)  N 1              N  

A

N 
 1 N 
 N N



1  A L 
AN

N!
N 
p( 0) 


L 1
A
  1
i
N 1  A
N 1
N 
A
A 

N




A
N!  1 
i  0 i!
N 

2
 
L 1
 
107
M/M/N/N+L
Longitud media de la cola
L
Lq   i  N  i 
i 1
En general, y aunque se puede llegar a una expresión cerrada por manipulación
de la fórmula anterior, es más fácil sumar los términos de la serie.
Tiempo medio en la cola
Lq   c  W
c   (1  B)   1  N  L
108
Colas con abandono


Se considera que la petición de servicio tiene una paciencia limitada
y abandona , es el proceso natural cuando en una cola consideramos
que el tiempo de espera es mayor que el que podemos aceptar.
Como hipótesis para modelar el abandono aceptaremos que la tasa
de abandono aumentará con la longitud de la cola, en la posición i de
la cola, la tasa de abandono será:
i 
 (i  N )
tm , no tiene significación física, se
Utiliza para simplificar la expresión
tm
Tasa de terminación de llamadas en el estado i
N  i  N 
N   i  
tm
tm
109
Colas con abandono
A2
AN
1  A0 2  0  N  
0
2
N!

AN
A AN
N  1  N 
0 
0
N
!
N


N
!

tm tm
A
A AN
N  2 
0
N  2 N   N !

N  j  
Aj
AN
0
N!
j
 N  k 
k 1

0 
1
N

i 0
Ai
AN

i!
N!


j 1
Aj
j
 N  k 
k 1
110
Cola M/G/1


Muchas veces la hipótesis de tiempos de servicio
exponenciales no se ajusta a la realidad. Trataremos
con tiempos de servicio con una distribución general .
Pero con tiempos de servicio independientes.
Trataremos de obtener el tiempo medio de espera en la
cola y la longitud media de la cola.
W  Lqtm   tres
Tiempo medio en la cola = longitud media de la cola
por el tiempo medio de servicio +
probabilidad de ocupación del servidor por el tiempo residual
111
Obtención de parámetros de la M/G/1


Una petición de trabajo que llega al sistema debe
esperar al tiempo residual de servicio (si el servidor
está ocupado) y a los tiempos de servicio de los
trabajos que le preceden en la cola (si existen)
Por la propiedad PASTA conocemos que la
probabilidad de que un servidor esté ocupado es de ρ

    tm  A


Y que el tiempo medio de espera es
W  Lqtm   tres
112
Cálculos

Por el teorema de Little
Lq   W

Combinando las dos ecuaciones se obtiene la fórmula
de Pollacek – Khinchin

W  W tm   tres  W   tres
 tres
W
1 
113
Tiempo residual

La media del tiempo residual es de


2
E t servicio
E tresidual  
2E t servicio 

Podemos también a partir de estas fórmulas calcular el
tiempo total en el sistema


Tiempo en cola +tiempo de servicio
Y número medio de peticiones en el sistema

Longitud media de la cola + ocupación media del servidor
(que es igual al tráfico ofrecido)
114
Cálculo del tiempo residual

Supongamos que una petición llega cuando se está
atendiendo otra petición, y que el tiempo total del
trabajo en curso es X (que será una variable aleatoria),
y que tendrá una f.d.p. fX(x), Para buscar esa f.d.p.
observamos que la probabilidad de que llegue un trabjo
estando otro en curso será mayor si la duración del
trabajo en curso es larga. Así la probabilidad de que X
sera de longitud x deberá ser proporcional a la longitud
x y a la frecuencia con la que se produzca esa longitud
115
Cálculo tiempo de vida residual
P ( x  X  x  dx)  f X ( x)dx  Cxft .serv ( x)dx
C es una const ant epara normalizarla función de densidad


0
Cxft .serv ( x)dx  1
C
C

0
xft .serv ( x)dx  CE t servicio   1
1
E t servicio 
f X x  
xft serv x 
E t serv 
E( X )  

0
 
2

E t serv
1
2
xf X x  dx 
x f t serv x  dx 

0
E t serv 
E t serv 
116

Como la llegada del nuevo trabajo puede ocurrir en
cualquier momento de la vida del trabajo en curso con
igual probabilidad, tendrá su media en la mitad de X
 
2
E X  E tserv
Etresidual  

2
2Etserv 
117