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Modelo
M|M|1
Teoria de Colas
SISTEMA SIMPLE
M/M/1
Modelo M/M/1

Tiempo de llegadas aleatorias (Markoviano),
independientes entre si.

Tiempo de servicio Markoviano, es decir no
depende de cuando ocurre sino de la longitud
del intervalo
POISSON

1 servidor
EXP
Descripción del modelo



Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un
solo servidor, La disciplina será FIFO
Las llegadas se producen según un proceso de
Poisson de razón , donde  es el número medio de
llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo
medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se
distribuirán exponencialmente, Exp()
Los tiempos entre servicios también se distribuirán
exponencialmente, Exp(), de tal manera que  es
el número medio de clientes que el servidor es
capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ es el
tiempo medio de servicio
Condición de no saturación

Se demuestra que si , el sistema se satura,
es decir, el número de clientes en la cola crece
indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,
la condición de no saturación será:
  1,

donde
 


Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se
saturan, Cuando una cola no se satura, también
se dice que alcanza el estado estacionario,
Probabilidades


El parámetro  se llama carga, flujo o
intensidad de tráfico del sistema, puesto que
mide la relación entre la cantidad de trabajos
que llegan y la capacidad de procesarlos
Suponiendo que el sistema no se satura, se
deduce la siguiente fórmula para las
probabilidades pn de que haya n clientes en
el sistema, donde nN:
pn  
n
1   
Medidas de rendimiento

El número medio de clientes en el sistema, L, se
calcula así:

L 


j pj 
j0


j 
j
j0
1     1   
j0
Sumamos la serie aritmético-geométrica:
S    2   3   4   ...
2
 S 
1   S
3
4
   2   3   ...
2
3
4
         ... 
2
 L  1   
3

4

1   
2

1 

1 
j 
j
Medidas de rendimiento

La utilización del dependiente, notada U, es la fracción
de tiempo (en tanto por uno) que el dependiente
permanece ocupado, Para hallarla, nos valemos de
que cuando no hay saturación, el número medio de
clientes que entran en el sistema debe ser igual al
número medio de clientes que salen de él:
  U  U 



 
Como para deducir la anterior fórmula no hemos
usado ninguna característica especial del modelo de
entrada ni del de salida, dicha fórmula es válida para
colas G | G | 1
Medidas de rendimiento

El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que
un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que
un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que
hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio
que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo
medio de servicio, Por lo tanto:

W 
1
  j  1 
j0
Tiempo que se pasa
en el sistema si
hay j por delante
al llegar

pj 

j0
j
1


pj 

j0
1

pj 
L

Probabilidad de que
haya j por delante
al llegar

1

Medidas de rendimiento

Podemos simplificar algo más:
W 

L


1


 
El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallará
restando a W el tiempo que tarda en ser servido el
trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola):
Wq  W 

1
1

En el caso particular de una cola M | M | 1, obtenemos:
Wq 

 
FÓRMULAS M/M/1
  Número promedio de arribos por período de tiempo
  Número promedio de gente o cosas servidos por período de tiempo
n  número de unidades en el sistema
L S  Número promedio de unidades (clientes)
  Factor de utilizació n del sistema 
en el sistema
 
 

(tiempo de espera  tiempo de servicio)
1


W S  Tiempo promedio que una unidad permanece
WS 
LS 
en el sistema 
FÓRMULAS PARA M/M/1
L q  Número promedio de unidades
en la cola 

2
    
W q  Tiempo promedio que una unidad espera en la cola 
   LS

    
  WS
Pn  Probabilid ad de que " n " clientes estén en el sistema 
n

   
n
     1     
Pn   1 
 

Po  Probabilid ad de cero unidades
Po  1 


en el sistema (la unidad de servicio está vacía) 
 1   
Pn  k  Probabilid ad de que más de " k" unidades
Pn  k
 
  
 
k 1
estén en el sistema 
Formulario Modelo M/M/1
Ls 
Ws 

Lq 

1
Wq 
 
Pn  (1   ) 
P (W s  t )  e
n
  (1   ) t

2
 (   )

 (   )
P ( Ls  n )  
n 1
P (W q  t )   e
t  0,   1
  (1   ) t
Ejemplo


Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora
a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las
da un dependiente pagado con 5 €/hora y que tarda
como media 5 min en servir, Cada hora que tiene
que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta
al taller 10 €, Queremos saber si merece la pena
contratar a un ayudante de dependiente, pagado
con 4€/hora, de forma que el tiempo medio de
servicio se reduzca a 4 min
Nota: Al resolver un problema de colas, tener
siempre muy presente la coherencia de unidades
Ejemplo

Tenemos dos opciones:




Sin ayudante: 1/1 = 5 min = 1/12 h
Con ayudante: 1/2 = 4 min = 1/15 h
En ambos casos,  = 10 clientes/h
Opción 1 (sin ayudante):
10
1 
10
12
;
L1 
1
1  1

12  5
10
1
12
mecánicos
Por tanto, perdemos 5·(10€/h) = 50€/h
Ejemplo

Opción 2 (con ayudante):
10
2 
10
15
;
L1 
1
1  1

15  2
10
1
15
mecánicos
Por tanto, perdemos 2·(10€/h) = 20€/h debido a la
espera de los mecánicos, Pero también
perdemos 4€/h debido al sueldo del ayudante,
Por tanto, las pérdidas totales son 24€/h
 En la opción 1 perdemos 50€/h y en la opción 2
perdemos 24€/h, con lo cual la más ventajosa es
la opción 2,
Más medidas de rendimiento

El número medio de trabajos en la cola Lq, se
calcula restándole a L el número medio de trabajos
que están siendo servidos:
L q  L  1  p 0   L   

1 
 

2
1 
Probabilidad de que un cliente que llega pase más
de t unidades de tiempo en el sistema:
W t   e


t /W
Probabilidad de que un cliente que llega pase más
de t unidades de tiempo en la cola:
W q t    e
t /W
Ejemplos

Ejemplo: Un canal de comunicación se usa para
enviar datos desde unos ordenadores fuente a uno
central, Cada fuente envía paquetes de datos según
un proceso de Poisson de razón 2 paquetes/seg,
Además cada fuente envía independientemente de
las otras, Todos los paquetes son idénticos,
esperan en una cola común y después se
transmiten de uno en uno, Los tiempos de
transmisión se distribuyen exponencialmente, con
media 25 mseg, Determinar el número máximo de
fuentes que se pueden conectar al canal de tal
manera que:
Ejemplos

1º El canal no se sature


Si tenemos k fuentes, llegarán a la cola 2k
paquetes/seg, Por otro lado, 1/ = 0,025 seg  
= 40 paquetes/seg
El canal no se satura cuando <1:
 



2k
40

k
20
 1  k  20 fuentes
Ejemplos

2º En media los paquetes no pasen en el
sistema más de 100 mseg


Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán
a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos  = 40
paquetes/seg
Nos exigen W0,1 seg:
W 
1
 

1
40  2 k
 0 ,1  k  15 fuentes
Ejemplos

3º En el estado estacionario se garantice que al
menos el 95% de los paquetes tenga un tiempo de
respuesta que no exceda de 100 mseg


Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a la
cola 2k paquetes/seg, y tendremos  = 40 paquetes/seg
Nos exigen que la probabilidad de que un paquete pase
más de 100 mseg en el sistema sea inferior al 5%, es
decir, W(100 mseg)0,05:
W 0 ,1  0 , 05  e
k 
4  ln 0 , 05
0,2
 0 ,1  40  2 k 
 0 , 05  0 , 2 k  4  ln 0 , 05 
 k  5 , 021  k  5 fuentes (ya que k  N )
Ejemplos

Ejemplo: Supongamos que una cola M|M|1 con parámetros 
y  se sustituye por n colas M|M|1 independientes de
parámetros /n y /n, Es decir, dividimos la carga de trabajo y
la capacidad de proceso en n partes iguales, Evaluar el
efecto del cambio usando como medidas de rendimiento el
tiempo medio de respuesta y el número medio de trabajos en
el sistema
/n
/n

…

/n
/n
Ejemplos

Alternativa 1 (una sola cola), 1=, 1=  :
L1 
W1 

1

1  1
1
 1  1


 
1
 
Alternativa 2 (n colas independientes), 2=/n,
2=/n :


n
n
L2 
2
 1 
i 1
n
2
2
1 2
n

n
1

n

n

n
1 
n


 
 nL 1
Ejemplos
W2 


1
 2  2

1

n

n

n
1
 
 nW 1
Como la alternativa 1 tiene menores valores
para ambas medidas de rendimiento,
concluimos que la dicha alternativa es mejor
Esto nos indica que lo mejor es no dividir la
capacidad de procesamiento, es decir, tener un
único servidor que atienda a todos los clientes
Modelo M/M/1: ejemplo
Un carwash puede atender un auto cada
5 minutos y la tasa media de llegadas es
de 9 autos por hora
 Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/M/1
 Además la probabilidad de tener 0
clientes en el sistema, la probabilidad de
tener una cola de más de 3 clientes y la
probabilidad de esperar más de 30 min.
en la cola y en el sistema

http://www.auladeeconomia.com
Modelo M/M/1: ejemplo
  9 ,   12 ,  
9
 0 . 75
12
Ls 
Ws 
Wq 


1
 
 3 clientes
Lq 

2
 (   )
 2 . 25 clientes
 0 . 33 hrs  20 min

 (   )
 0 . 25 hrs  15 min
P0  (1   )   0 . 25
P ( L s  3)  
0
P (W s  30 / 60 )  e
  (1   ) t
P (W q  30 / 60 )   e
 0 . 22
  (1   ) t
 0 . 17
3 1
 0 . 32
Modelo M/M/1: ejercicio




A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre sus
5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos
Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/M/1
Además la probabilidad de tener 2 clientes
en el sistema, la probabilidad de tener una
cola de más de 4 clientes y la probabilidad de
esperar más de 10 min. en la cola
Ejemplo

Debido a un reciente incremento en el
negocio una secretaria de una cierta
empresa tiene que mecanografiar 20 cartas
por día en promedio (asuma una distribución
de Poisson).

A ella le toma aproximadamente 10 minutos
mecanografiar cada carta (asuma una
distribución exponencial). Suponiendo que la
secretaria trabaja 8 horas diarias.
solución



λ = 20 /8 = 2.5 cartas / hora
μ = (1/20 min)(60 min/1 hora) = 3 cartas / hora
Tasa de uso de la secretaria.


Tiempo antes de mecanografiar una carta:


Wq = λ/(μ*(μ- λ)) = 1.67
Número promedio de cartas en espera:


ρ = λ/ μ = 2.5 /3 = 0.84
Lq = λ2/(μ*(μ- λ)) = 4.17
Probabilidad de que la secretaria tenga k cartas que mecanografiar
0
0.167
3
0.518
6
0.721
9
0.838
12
0.907
15
0.946
1
0.306
4
0.598
7
0.767
10
0.865
13
0.922
16
0.955
2
0.421
5
0.665
8
0.806
11
0.888
14
0.935
17
0.962
Ejercicio 2

Las llamadas llegan al conmutador de una
oficina a una tasa de dos por minuto, el
tiempo promedio para manejar cada llamada
es de 20 segundos. Actualmente sólo hay un
operador del conmutador.

Calcular:



La probabilidad de que el operador esté ocupado.
El número de llamadas que esperan ser contestadas.
El tiempo promedio que espera una llamada antes de
ser atendida.
Zapatería Mary’s

Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en
promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución
Poisson.

El tiempo de atención se distribuye
exponencialmente con un promedio de 8 minutos por
cliente.

La gerencia esta interesada en determinar las
medidas de performance para este servicio.
SOLUCION
– Datos de entrada
 = 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora.
 = 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora.
– Calculo del performance
P = 1- ( / ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
0
P = [1 - ( / )] (/ ) = (0.3333)(0.6667)n
n
L =  / ( - ) = 2
L = 2/ [( - )] = 1.3333
q
W = 1 / ( - ) = 0.4 horas = 24 minutos
W =  / [( - )] = 0.26667 horas = 16 minutos
q
P =  /   0.6667
w
 =  /   0.6667


Datos de entrada para WINQSB
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
Teorema de Little

Sea un sistema de colas con cualquier
distribución de llegadas y servicios y cualquier
estructura, Sean L el número de trabajos
presentes en el sistema en el estado
estacionario, W es tiempo medio de respuesta
en el estado estacionario y  la razón de
llegadas al sistema, Entonces:
L  W
Teorema de Little
Explicación intuitiva: Supongamos que cobramos
1€ a cada trabajo por cada unidad de tiempo que
pasa en el sistema, Habría dos maneras
equivalentes de medir las ganancias:



Colocando un recaudador a la entrada del sistema,
le cobrará como media W a cada uno de los 
trabajos que vea pasar por unidad de tiempo
Cada vez que transcurre una unidad de tiempo,
cobro 1 € a cada uno de los L trabajos que como
media hay en ese instante en el sistema
Teorema de Little

Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera
del sistema al servidor, obtengo el siguiente
resultado, también muy útil:
Lq   W q

Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para
ayudarnos a obtener los valores de las
medidas de rendimiento, aunque
necesitaremos otras ecuaciones para poder
conseguir resultados explícitos