Transcript 大型國際評比(數學)
國際大型測驗評析 國立臺南大學 測驗統計研究所 林素微 [email protected] NAEP http://nces.ed.gov/nationsreportcard/ NAEP數學內容領域與數學能力 簡介 資料來源 http://www.nagb.org/publications/fra meworks/math-framework09.pdf 數學內容領域 數感、數的性質、以及運算 • 這個內容領域的焦點在於學生對於數( 整數、分數、小數、負整、實數、及負 數等)的理解、運算、估測、以及數在 真實世界的應用。學生要能展示對於數 的關係(如比率、比例、以及百分比等) 的理解，同時也要展現出對於數的特質 之理解、可以運算、以及進行有關數的 組型之類推，同時確認結果。 NHLUE Dept. of Mathematics Su-Wei Lin 數學內容領域 測量 • 這個內容著重在測量歷程的理解以 及如何使用數和測量來描述以及比 較數學和真實世界的物件。學生需 要界定屬性、選擇適當的單位及工 具、應用測量概念，並且溝通測量 相關的觀念。 數學內容領域 幾何及空間感 • 此內容領域主要從低階的幾何形狀 確認延伸到這些形狀的變換和組合 。幾何和空間感包含形式及非形式 情境下推理的展現。相似圖形的比 例思維以及非正式的測量是這個領 域重要的連結。 數學內容領域 資料分析、統計、及機率 • 這個內容領域強調資料蒐集、組織、閱讀( 報讀)、表徵以及詮釋(解讀)的技巧。這些技 巧的評量是在多元的脈絡下處理訊息時反映 出這些技巧運用。學生被期待能夠運用統計 以及統計的相關概念來分析資料並且進行溝 通。同時，學生也被期待能夠理解基本統計 概念的意義，並且在問題解決以及決策訂 定的情境下應用這些概念。 數學內容領域 代數及函數 • 這個內容領域範圍從簡單組型、基本代數 概念的運作到複雜的分析。學生被期待能 夠運用代數的表示以及在有意義的脈絡下 進行思考，同時也表現出對於函數運用的 理解以及做為一種表徵的工具。其他的主 題包含運用開放的算式以及方程式作為一 表徵的工具，同時運用等量公理來來轉移 並且解決算式和方程式。 數學能力(舊) 概念理解 學生數學上的概念理解： • 可以辨識(recognize)、命名(label)、並且舉出概念的例子 ； • 運用相關的模式、圖示、操弄物、以及各種概念的表徵； • 確認並運用原則； • 知道並且應用事實及定義； • 比較、對照、以及整合相關的概念及原則； • 辨識、詮釋以及應用符號及相關的術語來表徵概念。 概念理解反映出學生在情境中推理的能力，包含 謹慎應用概念的定義、 關係、或者表徵。 程序執行 數學能力 • 正確的選擇及應用適當的程序； • 運用具體的模式或者符號的方法確認或調整程 序的正確性； • 或者在問題情境中因應相關條件延伸或修正程 序處理。 • 程序執行包含閱讀以及製作圖或表(統計圖表)； • 執行幾何構念，並且表現出四捨五入及排序等 非計算性的技巧。 程序執行通常反映在特定問題情境下連結 代數歷程的學生能力，例如正確的運用代 數、以及溝通問題情境脈絡下的結果。 數學能力 問題解決 • • • • • • 辨識以及形成問題； 決定資料的ㄧ致性； 運用策略、資料、模式； 、 產生、延伸、以及修定程序； 在新情境中運用推理； 判斷解法的合理性及正確性。 問題解決情境需要學生連結所有的數學概念知識、 程序、推理以及溝通技巧來解決問題。 試題的數學複雜度 MATHEMATICAL COMPLEXITY OF ITEMS 低複雜度 中複雜度 高複雜度 http://nces.ed.gov/natio nsreportcard/itmrlsx/de tail.aspx?subject=mathe matics 試題圖 http://nces.ed.gov/nationsreportcard/itmrlsx/defau lt.aspx 四年級 八年級 難度的描述 • NAEP四年級學生數學表現水準描述 • NAEP八年級學生數學表現水準描述 NAEP四年級表現水準 • 基礎水準之四年級學生對五個NAEP 內容領域展現概念性與程序性理解。 下列 4 顆大小相等但不同圖樣的皮球被放置在一 個箱子內，小剛從箱子中選取一顆球，但看不見 皮球的圖樣，那麼任一圖樣的皮球被選取的機率 為何？ (2003) ＊(1) 1/4 (2) 1/2 (3) 1/3 (4) 3/4 正確答對的 機率 基礎 63% 精熟 85% 進階 96% • 精熟水準之四年級學生能一致地應用 整合的概念性理解和程序性知識於五 個NAEP內容領域中的問題解決。 安安有 3 個小魚圖案的盤子，每一盤子畫有 4 株小草和 5 條小魚，小魚總共有幾條？ (2003) (1) 3+5 (2) 3×4 ＊(3) 3×5 (4) 3+5+4 正確答對的 機率 基礎 52% 精熟 88% 進階 99% • 進階水準之四年級學生能一致地應用整合 的概念性理解和程序性知識於五個NAEP 內容領域中複雜與非例行性的問題解決。 下列那一些整數能讓 8 – □> 3 之不等式成 立？ (1)0,1,2,3,4,5 ＊(2)0,1,2,3,4 (3)0,1,2 (4)5 (2003) 正確答對的 機率 基礎 19% 精熟 30% 進階 65% NAEP八年級表現水準 • 基礎水準之八年級學生對五個NAEP內 容領域展現概念性與程序性理解。該表 現水準學生能理解整數、小數、分數和 百分位數等的運算（包含估算）。 50 顆金牌蕃茄的平均重量是 2.36 磅，這 50 顆蕃 茄的總重是多少磅？ (1990) (1) 0.0472 (2) 11.8 (3) 52.36 (4) 59 ＊(5) 118 正確答對的 機率 基礎 69% 精熟 90% 進階 98% • 精熟水準之八年級學生能一致地應 用數學概念和程序解決五個NAEP 內容領域的複雜問題。 凱特買了 1 本$14.95 的書，1 個$5.85 的唱 片，和 1 個$9.70 的卡帶，若這些物品的商 業稅是百分之 6，且三個物品都要扣稅，這 三個物品含稅的總價是多少？ (1990) ＊(1) $32.33 (2) $32.06 (3) $30.56 (4) $30.50 (5) $ 1.83 正確答對的 機率 基礎 44% 精熟 74% 進階 93% • 進階水準之八年級學生對NAEP五 個內容領域的數學規則不僅展現 超辨識與應用的能力，他們還能 歸納和統整不同的概念與原則。 下圖中，在點 P 如何改變可產生 45 度的角 度？ (1992) (1) (2) (3) (4) ＊(5) 平分∠APB 正確答對的 在點 P 畫一個圓 機率 畫一條垂直線 基礎 23% 在點 P 畫圓並作垂直線 精熟 46% 畫一條垂直線並作角平 進階 78% 分 TIMSS數學的評量設計與 台灣學生的表現 TIMSS • 國際教育學習成就調查委員會（The International Association for the Evaluation of Education Achievement, IEA）， • 國際數學與科學教育成就調查研究的主 要目的在於了解各國學生數學及科學學 習成就及其與各國文化背景、教育環境 等影響因子之相關性，並進一步作國際 間之比較分析。 FIMSS • 第一次國際數學與科學教育成就調查於 1970年舉行，共有19個國家參與。 • The First International Mathematics and Science Study. (FIMSS) SIMSS • 經十年後，1980年進行第二次國際數學與 科學教育成就調查，有24個國家參與。 • The Second International Mathematics and Science Study.(SIMSS) • 我國曾於1987年5月經IEA總部同意，引用第二次國際 數學與科學教育成就調查工具，在我國進行測驗(但不是 正式參加)，由國立台灣師範大學科學教育中心負責執行 ，以了解我國國小、國中及高中學生數學及科學成就在 國際上所佔的地位。 TIMSS • IEA自1990年開始推動進行「第三次國 際數學與科學教育成就研究（The Third International Mathematics and Science Study, TIMSS）」，1995年 有45國參加。 TIMSS-R • 第三次國際數學與科學教育成就研究後 續調查（稱為TIMSS REPEAT， TIMSS-R）於1999年舉辦，調查對象 為國二學生(13歲群)，共有38個國家參 加(含臺灣)。 • 為了解我國學子數學與科學教育學習成 就，並與世界主要國家相互觀摩溝通， 國科會委託師大科教中心辦理我國參加 TIMSS-R的相關工作，並已順利完成。 此為我國首次正式參與大規模國際性學 生學習成就調查。 TIMSS-R • TIMSS-R的成績分析統計結果已經得知 ，我國學童表現優異，在科學方面的總 成績位居所有參加國之第一名，數學方 面居第三名，但與第一、二名之成績無 顯著差異。 TIMSS 正式確定 • 鑒於世界各國對國際數學與科學教育成 就研究的熱烈反應，IEA計劃往後每四 年辦理國際數學與科學教育成就研究一 次，並改名為國際數學與科學教育成就 趨勢調查(Trends in International Mathematics and Science Study , 簡 稱TIMSS )。 TIMSS 1999 • TIMSS 1999的調查對象為國中二年級 學生 ，共38國 國二總排名：3(新加坡、韓國、臺灣、香港、日本) 代數 測量 幾何 分數與數 資料呈現 感 與分析、 機率 1 3 4 4 3 TIMSS 2003 • TIMSS 2003的調查對象包括國小四年 級(26國)及國中二年級學生(48國)： 小四總排名：4(新加坡、香港、日本) 數 測量 幾何 數型和關 資料呈現 係 與分析 3 3 4 4 3 • 韓國四年級未參加 TIMSS 2007 • TIMSS 2007的調查對象包括國小四年 級(37國)及國中二年級學生(50國)： 小四總排名：3(香港、新加坡、臺灣、日本) 數 幾何圖形與測量 資料呈現與分析 3 4 4 • 韓國四年級未參加 TIMSS 2007 試題評量架構 • TIMSS 2007包含了三種架構— 數學、 科學及背景問卷。 • TIMSS 2007 的內容架構是依賴 TIMSS 2003 的架構，並予以大規模的 更新。 • 數學內容領域--– 四年級：數、幾何圖形與測量、資料呈現 – 八年級：數、代數、幾何、資料與機率 • 數學認知領域---認知、應用與推論。 TIMSS 2011 內容領域 – 四年級：數、幾何圖形與測量、資料呈現 – 八年級：數、代數、幾何、資料與機率 TIMSS 2011 認知領域 內容領域 數 • Whole number 整數 • Fractions and decimals 分數和小數 • Number sentences with whole numbers 整數算式 • Patterns and relationships組型與關係 整數 1. 具備位值的知識，包含運用文字、圖形 、或者是符號，辨識和寫出數。 2. 整數的比較和排序。 3.能以 +, −, ×, ÷ 進行整數的計算，並能進 行估算。 4.辨識因、倍數 。 5.解決真實生活脈絡中涉及測量、金錢、 以及簡單比例的問題。 分、小數 1.呈現出分數的理解：藉由連續整體的部 分、一個集合的部分、數線的位置來辨 識分數，並且透過以文字、數或模式來 表徵分數 2.找出簡單的等值分數，比較並且排序簡 單分數。 3. 簡單分數的加、減。 分、小數 4. 呈現對於小數位值的理解，包含運用文 字、數、或模式表徵小數 5. 小數的加、減。 6.解決包含簡單分數或小數的問題 。 整數算式 1.在算式中找出遺漏的數或者進行計算 (例 如 17 + ■ = 29)。 2. 以含未知數的算式呈現簡單的問題情境 組型和關係 1.在定義良好的組型中延展或者找出缺漏 項，描述相鄰項目(物件)的關係以及次 序。 2.針對某些整數配對關係寫出或者選定規 則，並能滿足其關係，並且能根據給定 的規則產生後續的配對 (例如，第一數 乘以3再加2，來得到第二數)。 幾何圖形和測量 兩個主題: •Points, Lines, and Angles點、線、和角 •Two- and Three- dimensional Shapes 二維與三維圖形 點、線、和角 1. 長度的測量以及估測。 2. 找出或者畫出平行線和垂直線。 3.比較角的大小和畫角 (例如，直角、比 直角大或小的角)。 4.運用非正規的座標系統來標示出平面中 的位置 。 二維與三維圖形 1.找出、分類以及比較常見幾何形體 (例如 分類或者比較形狀、大小或者屬性)。 2.回想、描述、並且運用幾何形體的基本 特質，包含線對稱、點對稱。 3. 找出三維形體間的關係，以及其二維表 徵 4. 計算正方形以及長方形的面積和周長； 決定和估測幾何形體的面積和體積 (例 如，透過特定形狀的覆蓋或者以立方體 積木來填充空間)。 資料呈現 • Reading and interpreting報讀與解讀 • Organizing and representing組織與表 徵 報讀與解讀 1. 從統計表、統計圖(象形圖、長條圖、圓 形圖)中報讀刻度和資料。 2. 從相關的資料集合中比較資訊(例如， 在四個或多個班級中調查最喜歡的冰淇 淋口味，根據給定的數據或者資料表徵 中，找出巧克力是最受歡迎的口味)。 3. 從資料呈現中運用資訊來回答無法直接 透過報讀的問題，(例如，結合數據資料 、進行資料的計算、推論、下結論)。 組織與表徵 1. 相同資料不同表徵的比較和配對。 2. 運用表格、象形圖、以及長條圖來組織 和呈現資料。 認知領域 認知領域：認知、應用與推理 KNOWING認知 1 2 3 Recall 再憶 Recognize 辨識 Compute 計算 定義、術語、數的特性、幾何特性、以及 符號(例如a × b = ab, a + a + a = 3a)。 辨識數學物件，例如形狀、數、運算式、 以及數量。 辨識數學等價性的數學實體(例如等值分 數、小數和百分數；簡單幾何形體的不同 方向)。 執行 +, −, ×, ÷的運算程序，或者整數、 分、小數的四則運算。 以近似值進行約估。 執行例行的代數運算程序。 4 5 6 Retrieve 提取 Measure 測量 從統計圖、統計表或其他資源中提取相關 資訊。報讀簡單的刻度。 運用測量工具；選擇適當的測量單位。 Classify分類 針對共同特性來分類/組合物件、形狀、 /Order排序 數以及算式; 針對以分類的關係作出正確 的決定，並且透過屬性進行數或物件的排 序。 APPLYING 應用 1 2 3 在已知的程序、算則或者解題方法中，選 擇問題解決中有效／適切的運算、方法或 策略。 Represent 在統計圖、表中呈現數學的資訊及和資料， 並能針對特定的數學實體或關係產生等價 表徵 的多種表徵。 Model 產生一個適切的模式，例如，方程式、幾 建模 何形體、或者透過畫圖來解決例行性的問 題。 Select 選擇 4 Implement 執行 5 Solve Routine Problems 解決例行問題 執行一組數學工具（例如，根據 規範畫幾何形狀及圖示） 解決和類似課程碰過的標準化問 題。 REASONING 推理 1 Analysis 分析 決定、描述、或者運用數學情境中的變項 或物件之間的關係，並能已知訊息中做出 有效的推論。 2 Generalize/ 延伸數學思考以及問題解決的結果範疇， Specialize 藉由以更一般化或者較廣泛的用語來重述 一般化／ 結果。 特殊化 3 Integrate/ 將不同知識成分進行連結，並且關連到多 Synthesize 種表徵，將相關的數學概念進行聯繫。結 統整／ 合數學事實、以及程序來建立結果、以及 綜合 組合，來構成未來結果的程序。 ４ Justify 正當化 ５ Solve Non-routine Problems 解決非例行性 問題 藉由對照已知的數學結果或特性來提供 正當理由。 解決數學或真實生活脈絡中的問題，學 生不大可能遭遇到非常類似的問題，學 生需在不熟悉或者複雜的脈絡中應用數 學事實、概念、以及程序。 TIMSS試題簡介 TIMSS 2003四年級試題 TIMSS 2007四年級試題 TIMSS 2007八年級試題 PISA數學素養的評量設計 與 台灣學生的表現 PISA • The Programme for International Student Assessment (PISA) is a triennial world-wide test of 15-yearold schoolchildren's scholastic performance, the implementation of which is coordinated by the Organisation for Economic Cooperation and Development (OECD). PISA was first mooted in 1997. What is the OECD? • 具有 30 個會員國，旨在推動民主和 市場經濟的國際組織。 • 提供資料的比較、分析和展望 • 以便政府能夠： - 比較政策經驗 對一般問題尋求解答 識別好的政策 調整政策 別稱「富國俱樂部」 廣布全球的國際組織 OECD Member Countries Comparison with TIMSS and PIRLS • Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) • Progress in International Reading Literacy Study ( PIRLS ) PISA之目的與特性 目的：評量國際間15歲學生在閱讀、 數學與科學領域的素養與表現；並進 行持續、定期的國際性比較研究。 特性：強調評量學生在各領域面對成 人生活的準備程度，而非對學校課程 的精熟程度。 PISA的規模 第ㄧ次調查2000年有43個國家、第二次調查 2003年有41國、第三次調查2006年有56國家、 第四次PISA 2009共有65個地區參加，第五次 PISA 2012將有68個地區參加。 每個國家預試施測的參與學生約在800~1,200 之間 每個國家正式施測的參與學生約在 4,500~10,000之間 PISA 2012 評量規模 OECD 國家 88 夥伴國或經濟體 PISA評量週期 此評量每三年調查一次，自2000年開始至 2015年 每一週期針對主要領域進行深度了解 2000 (閱讀) 、2003 (數學) 、2006 (科學) 、2009 又回到閱讀、2012回到數學 一.PISA對於數學素養之定義 •每個國家的國民都會碰到無數的有關數量 、空間、機率或者其他數學概念的相關課 題。例如，媒體（報紙、雜誌、電視、以 及網際網路）都充滿了統計圖表或者圖示 的資訊，例如氣象、經濟、醫藥和運動。 •現在國民都會碰到全球暖化與溫室效應、 人口成長、浮油與海洋、或者逐漸削減的 農村議題的相關資訊。最後但同樣重要的 是，國民都必須閱讀各種表格，解讀公車 以及火車的時刻表、成功的處理包含金錢 的買賣、以及決定賣場中的最佳買法等等 。 二.PISA數學素養的理論基礎 •數學化(mathematising)有五個重要的特徵： 1.數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題。 2.解題者嘗試去找出相關的數學，並且依據重要 的數學概念重新組織問題。 3.逐漸調整現實(trimming away the reality) ，轉化成數學語言 4.進行問題解決 5.針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵。 • M537：心跳 • 為了健康的理由，人們應該控制他們的活動量，例如 運動時，才不會超出特定的心跳頻率範圍。 • 數年來，個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議 使用以下的公式： • 最大心跳速率 = 220 - 年齡 • 最近研究顯示這個公式應略為修正。新的公式如下： • 最大心跳速率 = 208 - ( 0.7 × 年齡 ) 三.數學領域的組織 情境(Situations) 脈絡(CONTEXT) 問題形式 (Problem format) 數學概念(Overarching ideas) 內容(CONTENT) 問題(PROBLEM) 與 解決(SOLUTION) 歷程(Process) 能力群組 (COMPETENCY CLUSTER) 能力(Competencies) 四.情境和脈絡 •情境是作業內容中學生世界的部分，它 應該和學生有一定的距離。 •對PISA而言，最接近的情境為的學生的 個人生活；接著是學校生活，工作以及 休閒；然後日常生活中所會碰到社區及 社會；最後是科學情境。針對這四個情 境所界定和使用的問題為：個人、教育 ／職業、公共、以及科學問題。 五.數學內容-四個概念(overarching ideas) •OECD/PISA使用的概念如下： 1.數量 2.空間與形狀 3.改變與關係 4.不確定性 •這四個數學內容形成的領域廣泛，確保試 題可散布於課程之中，但同時可避免太過 明確而違反真實情境問題解決的憂慮。 • 這是一個有許多正立方體所堆疊起來的 物體。 • 從側面看、和前面看的兩個圖形。 • 有許多正立方體被用來組合成這個物體 ？ 校外教學 • 有個班級要租一輛遊覽車進行校外教學。有三 家公司來競標。 • A公司一開始就收費375元，遊覽車每行駛一 公里就再加0.5元。B公司一開始就收費250元 ，遊覽車每行駛一公里就再加0.75元。C公司 在車子行走200公里以內都收取350元，超過 200公里後每走一公里就再加1.02元。 • 問題1 如果校外教學的距離介於400到600之間，這個 班級應該選擇哪一家公司？ 高斯 • Karl Friedrich Gauss(1777-1855)的老 師要求全班學生將1到100的所有整數都 加起來。假設這位老師的目的是想要讓 學生都花一些時間在這些數字的計算上 。但是Gauss是一個很優秀的數量推理 者，他很快的就找出解題的捷徑，他的 理由如下： 高斯 • 你可以把這些數字加兩次，一個由小到大，另 一個由大到小： • 1+2+3+……….+98+99+100 • 100+99+98+………+3+2+1 • 將這兩列加起來，一個對一個，可以得出 • 101+101+….+101+101 • 那就會有100個101，所以這樣總合為101×100 • 但這樣的積數是原來答案的兩倍，如果你取一 半，答案就是：5050 百分比 • Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50 元的夾克。在Zedland國家是需要外加5%的稅 。店員先將夾克的定價加5%的稅後再打八折 。Carl認為不應該如此。他要店員先打八折， 然後再算5%的稅。 • 請問這兩種做法有何差異？ 平均年齡 • 如果有一個國家40%的人口最少都在60 歲以上，有沒有可能這個國家的平均年 齡是30歲？ 上升的犯罪率 • 下圖是Zedland新聞周刊中的一個統計圖 • 它呈現出每100 000居民中的犯罪量，一開始是 五年為間隔，然後間隔改變為一年。 上升的犯罪率 • 問題1 • 根據報導，1960年時，每100 000人中 的犯罪量是多少？ 上升的犯罪率 • 有一家警報系統的工廠運用了同樣的數 據畫出以下的統計圖： 上升的犯罪率 • 問題2 請問設計者是如何畫的？理由為何？ 六.數學歷程 • (ㄧ)數學化（mathematisation） •圖 數學化的循環 真實世界(Real world) 數學世界(Mathematical world) 真實解法 Real solutions 5 5 真實世界問題 Real-world problem 數學解法 Mathematical solutions 4 1,2,3 數學問題 Mathematical problem 七.能力群組(competency clusters) 1.複製(reproduction)、 2.連結(connection)、 3.反思(reflection)。 (1)複製群組reproduction cluster • 此能力群組基本上包含習過知識的複製 。一般而言，他們包含標準化評量以及 課室評量中最常測量的能力 。 • 如事實、一般問題表徵的知識，等值的 辨識，熟悉數學物件以及特性的再蒐集 ，例行程序的比現，標準算則及技術性 技巧的應用，在標準的型態中操弄概念 完備的符號，以及計算的進行。 • 解方程式7x-3=13x+15 • 7,12,8,14,15,9的平均數是多少？ • 1000元存進銀行，年利率是4%，一年 後全部領回多少錢？ • M432: 反應時間 • 在一個短跑競賽的事件裡，「反應時間 」是指鳴槍後 • 到運動員開始起跑的時間，「最後時間 」包含了反應時間 • 和起跑後到終點的跑步時間。 下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間： 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒） 1 0.147 10.09 2 0.136 9.99 3 0.197 9.87 4 0.180 沒跑完 5 0.210 10.17 6 0.216 10.04 7 0.174 10.08 8 0.193 10.13 問題 1: 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌、銀牌、銅牌。並依照金、銀、 銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表。 獎牌 金牌 銀牌 銅牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒） (2)連結群組connection cluster •連結群組的能力是建立在複製能力群組 之上，在此問題解決不是例行的，但仍 然包含了熟悉和半熟悉的情境 • 問題示例： • 以下是某個國家日報上的兩則廣告，幣制是以 zeds為單位 A大樓 B大樓 辦公室出租 辦公室出租 58-95平方公尺 35-260平方公尺 每個月475zeds 每年每平方公尺 90zeds 100-120平方公尺 每個月800zeds • 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公 尺的辦公室，要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜？請 呈現你的想法。 (3)反思群組reflection cluster •此能力群組包含包含學生對於問題解決 必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)，這些反思性能力和學 生計畫解題策略以及在問題情境中實施 這些策略有關，相對於連結群組，反思 群組的情境包含較多元素或者可能是更 為「原始」(或者非熟悉)。 M479：學生身高 ______________________________________________________________ 問題 1：學生身高 某一天的數學課上，所有學生都測量了身高。男生平均身高 160 公分，女生平均身高 150 公 分。艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分。丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130 公分。 那天上課有兩位學生缺席，但隔天他們都有在課堂上。再測量他們的身高，並重新計算平均 身高。令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變。 從這些訊息可以獲得下列何種推論？ 每一個推論後面圈出 “是”或“否”。 推論 是否可獲得這個推論 兩位學生都是女生。 是/否 一個學生是男生，另一個是女生。 是/否 兩個學生有相同的身高。 是/否 所以學生的平均高度沒有改變。 是/否 丹尼克仍是最矮的。 是/否 名次 國家 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2006 M(SD) 臺灣 芬蘭 香港 韓國 荷蘭 瑞士 加拿大 列支敦斯登 澳門 日本 澳大利亞 紐西蘭 比利時 愛沙尼亞 丹麥 捷克共和國 冰島 OECD平均 549(103) 548(81) 547(93) 547(93) 531(89) 530(97) 527(86) 525(84) 525(93) 523(91) 522(88) 522(93) 520(106) 515(80) 513(85) 510(103) 506(88) 498(92) 數學 國家 上海 新加坡 香港 韓國 臺灣 芬蘭 列支敦斯登 瑞士 日本 加拿大 荷蘭 澳門 紐西蘭 比利時 澳洲 德國 愛沙尼亞 2009 M(SD) 600(103) 562(104) 555(95) 546(89) 543(105) 541(82) 536(88) 534(99) 529(94) 527(88) 526(89) 525(85) 519(96) 515(104) 514(94) 513(98) 512(81) 496(92) 臺灣學生數學素養表現 • 2009東亞國家學生數學素養表現優異。 • 數學量尺以 2003為基準，臺灣 2006(平均549 分)，與芬蘭、香港、韓國等三個國家並列世界第 一。 • 2009參與國由56增至68，臺灣(平均543分)相較 2006退步6分，排名第五。 – 與第四名的韓國的差異未達統計顯著，在兩次 PISA數學表現優秀的國家中，臺灣學生的個別 差異都是最大（103）。 不同數學素養水準人數比例對照 100% 90% 80% 25.5 28.5 21.6 20.9 30.7 70% 17.1 12.7 水準5 35.6 50.4 60% 水準6 水準4 50% 水準3 40% 30% 水準2 20% 10% 12.8 0% 臺 灣 22 4.8 8.1 7.8 8.8 9.8 12.5 11 上 海 韓 國 芬 蘭 香 港 新 加 坡 日 本 澳 門 註：數字顯示為未達水準2和水準5以上 臺灣數學低分群（水準1及未達水準1)： 學生比例是最高。 水準1 O E C D 未達水 準1 123 • Car Drive Item Difficulty─PISA examples A very easy item Used in 2003 main survey then released Note: • Reading load ─ moderate? • Mathematical appearance • Simplified (unrealistic?) model • Simple graph interpretation (look for maximum) • Constructed response, but strong guidance provided regarding form of answer ‘Car driving’ ratings Description Reasoning＆argumentation (0) Direct inference－locate the maximum from graph Communication (0) Link text and graphic Modelling (1) Interpret max speed from graphic model provided Problem Solving (0) Obvious strategy, direct action (read the maximum) Representation (1) Link text and graphic Symbols＆formalism (1) Time, speed, graph conventions • Student Heights Item difficulty — PISA examples A very difficult item Used in 2003 field trial, not selected for 2003 main survey, released Note: • Reading load-high • Complex multiple choice format • 〝All or nothing 〞scoring rule used • Reasoning about statistical date ‘Student heights’ ratings Description Reasoning＆argumentation (2) Analyse info, connect variables Communication (3) Interpret complex relations, connections Modelling (2) Modify model for changed conditions, interred relationships Problem Solving (3) Construct elaborated strategy that supports a comprehensive analysis Representation (1) Interpret textual representation of a situation Symbols＆formalism (3) Flexible analysis of mean and how it is affected PISA 2012 評量核心 數學 問題解決 閱讀 128 科學 NAEP、TIMSS、PISA題庫資訊的應用 建議 • 針對評量內涵或形式成功的創意，進行仿作和 轉化。 • 熟讀學生成就水準、試題複雜度水準和量尺化 試題圖中的評量內涵敘述，以利本土化能力指 標依據評量內涵描述的國際接軌。 • 研讀並內化試題的統計參數，以利難度水準和 來源的掌握。