PISA 數學領域命題研習
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Transcript PISA 數學領域命題研習
新北市立國民中學 PISA 種子教
師培訓計畫 ─ 數學領域
臺灣PISA國家研究中心
博士後研究員 吳正新
1
內容大綱
PISA 數學領域
命題研習
• PISA 簡介
– PISA 評量&各領域簡介
– PISA 2006 & 2009 評量結果
• PISA 試題設計與運用(一)
– PISA 數學試題介紹
– PISA 評分需知
– PISA 數學試題暨評分練習
• PISA 試題設計與運用(二)
– PISA 數學試題命題需知
– PISA 命題程序
• PISA 評量設計分組實作
– 臺灣數學素養試題發展
– 命題練習&分享
2
PISA 數學領域
命題研習
特色招生的考科將分為
閱讀理解素養和數學素養 (題型類似PISA)
3
考試領導教學 ?
PISA 數學領域
命題研習
• 日本學生參與二○○○、二○○三年PISA的成績不佳。二
○○六年起，日本政府每年投入一百億日圓改善課程，主
要從三方面著手：
• 一、提升學生回答開放性問題的能力；
• 二、編寫PISA應試科目的教科書；
• 三、改變教學方式。
「考試領導教學」？
• 教育政策研究所教授有元秀文：「這次改革重點看起來是
要提升日本學生參加PISA的應試能力，但真正理由是日本
文化缺乏批判思考（critical thinking）。」
4
What’s PISA ?
PISA 數學領域
命題研習
rogramme
P I S A?
nternationl
tudent
ssessment
國際學生能力評量計畫
How education system perform
internationally ?
Organisation for Economic
Co-operation and Development
經濟合作暨發展組織
Greatest value of PISA
1. Help students to learn better,
2. Help teachers to teacher better,
3. Help school system to become
more effective
5
OECD & PISA
OECD：34會員國
PISA 數學領域
命題研習
參與國家／地區的數量
PISA 2000 43
PISA 2003 41
PISA 2006 57
PISA 2009 65
PISA 2012 67
6
PISA 數學領域
命題研習
Skill for the
world of tomorrow
使用「工具」溝通互動
與世界接合
Using “tools” interactively
to engage with the world
例如：
使用語言、符號和文字
與資訊互動
在多元社群中進行互動
自主行動
Interacting 利用科技的潛能
in
diverse groups
例如：
與人相處融洽
與人合作、團隊合作、
管理與決解衝突
Acting autonomously
例如：
掌握學習方向
學習策略
負責任
7
PISA 評量的焦點
PISA 數學領域
命題研習
年輕人在未來參與社會時，是否具備
所需的基礎知識和技能
?
面對真實生活問題挑戰的能力
?
在真實情境中應用習得知能的程度
PISA 稱之為「素養 (Literacy) 」
評量對象：十五歲學生
完成義務教育
8
週期：三年
PISA 數學領域
命題研習
核心領域：閱讀素養、數學素養和科學素養
每次以一個核心領域為主軸，深入調查
2000 - 閱讀
2009 - 閱讀
新增電腦化閱讀評量
（臺灣未參加）
2003 - 數學
（問題解決）
2012 - 數學
（問題解決）
除了電腦化閱讀
新增電腦化數學、
電腦化問題解決
2006 - 科學
臺灣第一次參加
2015 – 科學
預計 全面電腦化
新增合作式問題解決
9
PISA 2009 學生問卷調查：
「閱讀習慣」與「學習策略」
PISA 數學領域
命題研習
10
PISA2009 學校問卷調查：
「學校特徵」
PISA 數學領域
命題研習
11
PISA 評量的目的&回饋
PISA 數學領域
命題研習
閱讀樂趣
學習時間
學習策略
1.
2.
3.
4.
5.
摘要&控制
教育經費高
教師薪資高
班級規模小
學校自治權高
教育系統水平差異低
（教育類型少、首次
實施分流年齡高）、
垂直差異低（重讀率
低、轉學率低）
PISA 2012 評量組成
1.
PISA 數學領域
命題研習
紙筆式評量：
–
測驗題本（含數學、科學、閱讀試題）
評量時間：2小時
–
學生問卷
填答時間：30分
2.
電腦化評量：
–
測驗題本（含數學、 閱讀、問題解決）
評量時間：40分
3.
學校線上問卷
13
臺灣參與 PISA 2012 的概況
國中
高中
高職
五專
PISA 數學領域
命題研習
學校：164 所
各校抽取40人參加紙筆式評量
其中20人再參加電腦化評量
預計：
紙筆式評量 6,560人
電腦化評量 3,280人
14
PISA 數學領域
命題研習
PISA
數學、科學、閱讀與問題解決
素養評量介紹
15
數學素養的定義
PISA 數學領域
命題研習
個體在不同情境脈絡中，運用形成(formulate)、應
用(employ)以及詮釋(interpret)數學的能力，其包
含數學推理、數學概念、程序、事實以及工具的使
用，來描述、解釋和預測數學現象。數學素養輔助
個體辨識數學在世界中所扮演的角色，並且能做出
具建設性、投入性及反思能力公民所需具備的周延
根據的判斷和決策。
情境脈絡
數學歷程
內容領域
PISA 數學領域
命題研習
數學模式
真實
世界
情境脈絡
問題
形成
驗證結果
情境脈絡
結果
數學
世界
數學問題
應用
詮釋
數學結果
17
情境脈絡
PISA 數學領域
命題研習
與自我、家庭或同儕團體相關的議題。例如：食物準備、
個人 購物、遊戲、個人健康、個人交通、運動、旅遊、個人行
程安排和個人理財
職場相關的議題。例如：建築物的測量、成本和材料訂購，
職業 工資/會計、質量控制、調度/庫存、設計/架構、以及與
工作相關的決策
社會
與社群相關的議題。例如：投票制度、公共交通、政府、
公眾政策、人口統計、廣告
有關數學如何應用在科學、科技或自然界的議題。例如：
科學 天氣或氣候、生態、醫學、太空科學、遺傳學和測量等領
域
★必須是15歲學生會接觸到的範圍
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「社會」情境的範例
PISA 數學領域
命題研習
存款帳戶
小明將 1000 zed 存在某間銀行的帳戶裡。銀行計息的方式
有二種：一種是每年計息一次，年利率為4%；另一程是每
年計息一次，年利率為3%，存滿一年可額外獲得10 zed 紅
利。
如果只存款一年，小明要選擇哪一計息方式；如果存款二年
要選擇哪一種方式？
19
附註
PISA 數學領域
命題研習
• 「真實生活情境」並非指所有數學試題都與真實的
事件或生活相關，仍有部份試題的情境是虛構的
• PISA數學強調的是「使用數學來解決生活周遭的
問題」，而不是用來作為練習數學的工具
• 使用虛構的國名、貨幣、城市名稱
– 國家：zedland (西德蘭國)
– 貨幣：zed (西德蘭幣)
– 城市名稱：zed city, zed town (西德蘭市、西德蘭鎮)
20
PISA 數學領域
命題研習
數學歷程
真實
世界
情境脈絡
問題
形成
應用
驗證結果
情境脈絡
結果
數學問題
數學
世界
數學結果
詮釋
1. 「應用」數學概念、事實、程序、推理與工具
1. 界定應用或使用數學的機會
1. 「詮釋」、應用以及評鑑數學結果。對數學的解法及結
2. 執行計算，操弄代數式、方程式或其他數學模式，分析統
2. 將問題從現實世界中轉換到數學領域
果進行反思與詮釋。
計圖表的訊息，發展數學的描述與解釋，以及使用數學工
3. 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理、提
2. 評估與問題情境有關的數學解法或推理，並決定這些結
具來解決問題
供數學結構與表徵，以及確認變項與簡化假設，
果在此情境下是否合理且具有意義
3. 依據問題情境的模式來執行、調整、建立規律、找出連結，
以解決問題
3. 解釋論證，同時反思其建模歷程與結果
21
並產生數學論證
了解PISA數學素養
「數學歷程」的範例
PISA 數學領域
命題研習
心跳 M537
為了健康的理由，人們應該限制他們的活動量，例如運
動時，要預防心跳次數超出特定的範圍。一直以來，個
人最大心跳率和個人年齡之間關係的公式如下：
建議的最大心跳率 = 220 - 年齡
最近的研究發現這個公式應略為修正。新的公式如下：
建議的最大心跳率 = 208 -（0.7 × 年齡）
22
PISA 數學領域
命題研習
問題 1
某家報紙報導：「使用新公式推算的結果建議，年輕人的每
分鐘最大心跳數要略為減少，而老年人略為增加」。
使用新公式推算的結果建議，從哪一個年齡開始的最大心跳
率要增加。寫出你的計算過程。
23
解題所需的能力
PISA 數學領域
命題研習
• 數學化（形成）：從真實世界到數學問題
– 真實情境的問題
• 與個人健康相關
– 根據問題確認所需的數學觀念
• 了解二個方程式的作用&意義
– 進入數學世界
• 轉換成方程式 y=220-x & y=208-0.7x
• 呈現方程式的圖形
24
PISA 數學領域
命題研習
• 解數學問題（應用）
– 解方程式
– 求圖形的交點 (40,180)
• 解釋所得的數學答案 （詮釋）
– 從哪一個年齡開始的最大心跳率要增加 ?
25
內容領域
改變與關係
PISA 數學領域
命題研習
對自然現象的改變和運作建立數學模式、進行解釋或以圖形或符號來
呈現之間的關係。例如生物的成長、四季循環、潮汐變化、天氣改變
瞭解現實生活中物體的特色、位置或方向、表徵，以及影象資訊解碼、
導行、與模型或圖像進行動態的互動，例如：三維物體的二維表徵、
空間與形狀
陰影的形成與意涵、視角的確認和運作、城市的原貌和其地圖或照片
間的差異、GPS的使用
數量
不確定性
瞭解真實世界物體的量化特徵、關係，各種數量的表徵，數量的解釋
和推論。例如：測量、計數、指標、相對大小、數值的趨勢和組型、
估計、心算
主要包含數據的變異的解釋、測量的不準度與機率。例如：選舉結果、
天氣預報的不準確性、資料蒐集、資料分析與呈現、機率與統計推論
等
26
PISA vs 九年一貫課程
PISA 數學領域
命題研習
PISA 內容領域
九年一貫課程數學內容
改變與關係
代數
空間與形狀
幾何
數量
數與量
不確定性
統計與機率
連結（察覺、轉化、解
題、溝通、評析）
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「改變與關係」的範例
PISA 數學領域
命題研習
校外教學
有個班級要租一輛遊覽車進行校外教學。有三家公司來競標
，其收費方式如下：
A公司一開始就收費375元，遊覽車每行駛一公里就再加
0.5元。
B公司一開始就收費250元，遊覽車每行駛一公里就再加
0.75元。
C公司在車子行走200公里以內都收取350元，超過200公
里後每走一公里就再加1.02元。
問題1
如果校外教學的距離介於400到600之間，這個班級應該選
擇哪一家公司？
虛構的情境，但可有能會發生或遇到的真實問題
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食物鏈
PISA 數學領域
命題研習
下圖呈現的是兩種生物(草履蟲和酵母菌)的生長狀況
PISA 數學領域
命題研習
問題1
這二種生物中，其中一種 （掠食者 predator）會
吃掉另一種（被補食者 prey）。從圖中，你能判斷
出哪一種生物是掠食者，哪一種是被補食者的嗎？
問題2
掠食者與被補食者的關係可以描述如下：
「掠食者的成長速率與被補食者的數量成比例」。
請問這個特質在上圖中可以看出來嗎？
「空間與形狀」的範例
PISA 數學領域
命題研習
• 這是一個由許多正立方體所堆疊起來的物體從
側面和正面觀看的兩個圖形。
要堆疊出此物體，總共要用多少正立方體？
Maximum number of cubes is 20;
Minimum is 6
31
PISA 數學領域
命題研習
• 當一個平面切過一個正立方體時，可能產生哪些
形狀？
• 這些形狀有多少面？多少邊？或者頂點？
「數量」的範例
PISA 數學領域
命題研習
Carl 到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾
克。在Zedland國家是需要外加5%的稅。店員先將夾
克的定價加5%的稅後再打八折。Carl 認為不應該如此
。他要店員先打八折，然後再算5%的稅。
請問這兩種做法有何差異？
高斯
PISA 數學領域
命題研習
高斯（K. F. Gauss, 1777-1855）的老師要求全班學生將1到
100的所有整數都加起來。假設這位老師的目的是想要讓學
生花一些時間來練習數字的計算。但是高斯是一個很優秀的
數量推理者，他很快的就找出解題的捷徑，他的理由如下：
• 你可以把這些數字加兩次，一個由小到大，另一個由大到小：
1+ 2+ 3+…+98+99+100
100+99+98+…+ 3+ 2+ 1
• 將這兩列一個對一個加起來，可以得出 101+101+….+101+101
• 這樣就會有100個101，所以這樣總合為101×100
• 但此答案是原來的兩倍，所以要除以2，答案就是：5050
PISA 數學領域
命題研習
「高斯」的問題可進一步連結到幾何問題
1. 梯形面積
2. 三角形數(Triangular number)
Tn=n(n+1)/2
「不確定性」的範例
總統的支持度 M702
PISA 數學領域
命題研習
在Zedland國家，為了要瞭解這次選舉的總統支持度，進行了一些民意調查。
有四家報社各自進行全國性的民調。這四家報社的民調結果如下：
報社1：36.5%（在1月6日進行民調，隨機選取500個具有投票權的國民作為樣本）
報社2：41.0%（在1月20日進行民調，隨機選取500個具有投票權的國民作為樣本）
報社3：39.0%（在1月20日進行民調，隨機選取1,000個具有投票權的國民作為樣本）
報社4：44.5%（在1月20日進行民調，選取1,000個進行電話投票的讀者）
假如選舉是在1月25日，哪一家報社的民調結果最能夠預測總統的支持度？
請提出兩個理由來說明你的答案。
36
上升的犯罪率
右圖是Zedland新聞周刊中
的一個統計圖。它呈現出每
100 000居民中的犯罪量，
一開始是五年為間隔，然後
間隔改變為一年。
問題1
根據報導，1960年時，每
100 000人中的犯罪量是多
少？
PISA 數學領域
命題研習
上升的犯罪率
有一家警報系統的工廠運用了同樣
的數據繪出下面的統計圖：
問題2
請問設計者是如何畫的？理由為何？
PISA 數學領域
命題研習
適合15歲學生數學素養
之內容主題
函數
代數式
方程式與不等式
座標系統
幾何測量
平面與立體幾何圖
形的關係
PISA 數學領域
命題研習
數與單位
算術運算
百分比、比和比例
估計
資料蒐集、表徵與解釋
資料的變動與描述
樣本與抽樣
機會與機率
39
基本數學能力
溝通
數學化
表徵
推理與論證
制定解題策略
PISA 數學領域
命題研習
讀取或了解問題中有意義的陳述、問題、任務、對象、圖像或
形成
動畫
將現實世界的問題轉化為數學形式
以方程式、公式、圖形、表格或文字描述情境的數學特徵
七項
運用邏輯思維過程來使情境意義化。解釋、辯護或提供證明所
驗證
選用的表徵
數學能力
應用
選擇或制定策略解決問題
運用符號、形式化、
使用合適的變項、符號、圖表與模式
數學術語和運算
使用數學工具
詮釋
使用測量工具、計算機、試算表、圖形顯示器或電腦
40
7項基本數學能力 × 3項歷程
歷程
能力
形成數學情境
PISA 數學領域
命題研習
應用數學概念、事 詮釋、應用與評估
實、程序與推理
… 當 個 體需 要直 … 將 現 實 世 界 的
接將情境轉化為 問 題 轉 化 為 數 學
數學時就需要數 形式
學化的能力
…解釋與問題情
數學化 … 辨 識 情境 是 清 境 有 關 的 數 學 解
楚、明確的，或 法或數學模式
是有假設、變項、
間的關係與限
制…
數學結果
…將數學模式和解
法與原問題做聯
結
…詮釋並評估數學
結果可能涉及的
影響
…根據情境判斷或
決定數學結果如
何被調整或應用41
PISA 數學領域
PISA 2000~2009
命題研習
能力群組(competency clusters)
1.複製(reproduction)
已學習過的知識的複製。一般而言，他們包含標準化評量
以及課室評量中最常測量的能力 。
2.連結(connection)
連結群組的能力是建立在複製能力群組之上，在此問題解
決不是例行的，但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境
3.反思(reflection)
相對於連結群組，反思群組的情境包含較多元素或者可能
是更為「原始」(或者非熟悉)。學生需運用反思性能力和
解題策略解決問題情境中的問題
42
歷次 PISA 數學調查結果
PISA 2000
數
學
排
名
暨
平
均
分
數
PISA 2003
PISA 2006
PISA 數學領域
命題研習
PISA 2009
1.日本 (557)
1.香港 (550)
1.臺灣 (549)
1.上海(600)
2.韓國 (547)
2.芬蘭 (544))
2.芬蘭 (548)
2.新加坡(562)
3.紐西蘭 (537)
3.韓國 (542)
3.香港 (547)
3.香港(555)
4.芬蘭 (536)
4.荷蘭 (538)
3.韓國 (547)
4.韓國(546)
5.澳大利亞 (533)
5.列支敦士登 (536)
5.荷蘭 (531)
5.臺灣(543)
5.加拿大 (533)
6.日本 (534)
6.瑞士 (530)
6.芬蘭(541)
7.瑞士 (529)
7.加拿大 (533)
7.加拿大 (527)
7.列支敦士登(536)
7.英國 (529)
8.比利時 (529)
8.澳門 (525)
8.瑞士(534)
9.比利時 (520)
9.澳門 (527)
8.列支敦士登 (525)
9.日本(529)
10.法國 (517)
9.瑞士 (527)
10日本 (523)
10.加拿大(527)
43
PISA 數學領域
命題研習
科學素養評量
評量學生在日常生活運用科學知識的能力。
運用科學知識辨認問題、獲得新知、解釋科學現象，
並針對科學議題使用證據進行推論。
情境
生活相關的
科學與技學
健康
能力
辨識科學議題
個人 社會
全球scientific issues)
(Identifying
自然資源
－ 解釋科學現象
－
－
－ (Explaining
－
－scientific phenomena)
環境
－ 運用科學證據
－
－
災害
－
前瞻科技
－
(Using
evidence)
－ scientific
－
－
－
知識
科學知識
科學本質
態度
對科學議題
的反應
與自然世界有關
的知識，物理、
化學、生物、地
球科學
與科學有關的知
識，科學實驗、
假說、定律
興趣
支持
責任
44
歷次 PISA 科學調查結果
PISA 2000
PISA 2003
PISA 2006
PISA 數學領域
命題研習
PISA 2009
1.韓國 (552)
1.芬蘭 (548)
1.芬蘭 (563)
1.上海(575)
2.日本 (550)
1.日本 (548)
2.香港 (542)
2.芬蘭(554)
科
學
3.芬蘭 (538)
3.香港 (540)
3.加拿大 (534)
3.香港(549)
4.英國 (532)
4.韓國 (538)
4.臺灣 (532)
4.新加坡(542)
排
名
暨
平
均
分
數
5.加拿大 (529)
5.列支敦士登 (525) 5.愛沙尼亞 (531)
5. 日本(539)
6.紐西蘭 (528)
5.澳大利亞 (525)
5.日本 (531)
6.韓國(538)
6.澳大利亞 (528) 5.澳門 (525)
7.紐西蘭 (530)
7.紐西蘭(532)
8.奧地利 (519)
8.荷蘭 (524)
8.澳大利亞 (527)
8.加拿大(529)
9.愛爾蘭 (513)
9.捷克 (523)
9.荷蘭 (525)
9.愛沙尼亞(528)
10.瑞典 (512)
10.紐西蘭 (521)
10.列支敦士登/韓國
(522)
10.澳大利亞(527)
12.臺灣(520)
45
PISA 數學領域
命題研習
閱讀素養評量
評量學生對文本的理解、應用、省思及投入能力。
擷取與檢索
• 從文本中尋找、選
情境
擇或收集資訊
個人 小說、書信
統整與解釋
公共 官方文件
• 了解文本各部分關
職業 手冊、報告
係，加以推論
教育 教科書
• 將知識與文本做聯結
省思與評鑑
• 利用文本內容或客觀
知識進行評斷
46
歷次 PISA 閱讀調查結果
PISA 2000
PISA 2003
PISA 2006
PISA 數學領域
命題研習
PISA 2009
1.芬蘭 (546)
1.芬蘭 (544)
1.韓國 (556)
1.上海(556)
2.加拿大 (534)
2.韓國 (534)
2.芬蘭 (547)
2.韓國(539)
3.加拿大 (528)
3.香港 (536)
3.芬蘭(536)
4.澳大利亞 (525)
4.加拿大 (527)
4.香港(533)
4.列支敦士登 (525)
5.紐西蘭 (521)
5.新加坡 (526)
6.紐西蘭 (522)
6.愛爾蘭 (517)
6.加拿大 (524)
7.愛爾蘭 (516)
7.澳大利亞 (513)
7.紐西蘭 (521)
8.瑞典 (514)
8.列支敦士登 (510) 8.日本(520)
9.荷蘭 (513)
9.波蘭 (508)
9.澳洲(515)
10.香港 (510)
10.瑞典 (507)
10.荷蘭(508)
閱 3.紐西蘭 (529)
讀
4.澳大利亞 (528)
排
5.愛爾蘭 (527)
名
暨 6.韓國 (525)
平
6.英國 (523)
均
分 8.日本 (522)
數
9.瑞典 (516)
10.奧地利/比利時/
冰島 (507)
16.臺灣 (496)
23. 臺灣(495)
47
全面電腦化的 PISA 2015
PISA 數學領域
命題研習
• 核心領域的試題以及連結試題(link item)都將以電
腦化評量的樣式呈現。
– 閱讀&數學：舊有的紙筆式試題將以電腦重新撰寫，試
題內容維持不變
– 科學：舊有的紙筆式試題將以電腦重新撰寫，試題內容
維持不變；PISA 2015新發展的試題將以電腦化試題為
主。
– 合作式問題解決：新發展的試題將以電腦化試題為主
48
Why Computerize?
PISA 數學領域
命題研習
• 數學素養的能力水準應包含電腦的使用
– 電腦在世界各地都與個人生活密不可分，無論是在參
與個人的、社會的、職業的或是科學的活動
• 電腦化提供了設計新型測驗試題的機會
– 拖曳式(drag-and-drop)試題
– 展示大量且具交互關係的資料數據
– 使用色彩與圖形
49
數學領域電腦化測驗的
特徵範籌
PISA 數學領域
命題研習
• 數學能力：包括數學知識與技能
• 資訊科技能力：基本硬體的知識以及基本操作
– 如移動游標，或是按特定的按鈕以執行命令
• 數學資訊科技的能力：需要配合電腦協助的數學知識
– 例如：繪製圖表、對大量資料進行統計分析、將訊息分類並規劃
有效的策略、使用對話框或滑鼠進行圖形的旋轉、翻轉或平移
50
電腦化評量所需的基本技能
PISA 數學領域
命題研習
ICT 能力
• 鍵盤輸入文字
• 使用滑鼠
• 拖曳物件
• 點選按鈕
• 使用網頁捲軸、下拉式選單及超連結
51
PISA 數學領域
命題研習
PISA2102 電腦化評量─
問題解決、數學、閱讀
52
電腦化問題解決
PISA 數學領域
命題研習
– 評量學生解決生活中不熟悉的問題或是跨課程領域
的認知技巧
演繹、歸納、量化、相關、類推、（排列）組合、多重推理
了解學生是否能理解問題、主動探索問題、與問題互動
找出解法
問題情境
科技
個人
社會
科技
－
－
非科技
－
－
與電子儀器的使用或操作有關，
如行動電話、遙控器、售票機的使用
非科技 非科技性，
如購物、行程安排
個人
與本身、家庭或同儕有關的
社會
與公眾或社會相關的
53
PISA 數學領域
命題研習
動
問 態
題
本 靜
質 態
與問題互動，可經嘗試錯誤完成目標，例如：售票機的使用
定義明確
(Well-defined)
邏輯問題─例如：河內塔 (Tower of Hanoi) ，
水杯量水(water jars problems)
定義不明確
(Ill-defined)
實際問題─必須考慮不同的限制，找出能達成目標的
最佳方法，例如：地圖中尋找最佳路徑
換商務車廂
改時間
去程查無合適車次資料
54
問題解決歷程
監控&
反思
探索&
理解
問題解決
歷程
計劃&
執行
PISA 數學領域
命題研習
探索問題情境，並
從觀察、互動、尋
利用圖、表、符號
找資訊、找出問題
重新呈現問題
的限制或難處
為目標進行策劃，
確認問題中變項間
監控目標完成前的
理解已知的資訊，
包括釐清目標、設
的關聯、建立模式
每個程序、以及程
並從問題的互動中
定子目標、擬定完
並審慎評估資訊
序檢測與除錯
察覺的資訊
成目標的策略
呈現& 執行擬定的計劃
反思不同觀點所得
建模 的結果、檢查假設
是否符合、評估其
他可行的方法
55
Released Item ─ CP043 MP3播放器
PISA 數學領域
命題研習
問題情境：個人、科技
問題本質：動態(互動)
歷程
：計劃&執行
56
電腦化數學評量
PISA 數學領域
命題研習
– 豐富問題表徵與作答反應的方式
• 如動態呈現問題、與問題情境的互動
– 利用視覺化效果，降低文字比重，彰顯數學的本質
57
Released Item ─ CM012 圍欄
PISA 數學領域
命題研習
情境脈絡：職業
內容領域：空間與形狀
數學歷程：形成
58
PISA 數學領域
命題研習
電腦化閱讀評量
評量學生網頁瀏覽以及與他人溝通的能力
了解學生是否能統整資訊、判斷資訊來源正確性
問題情境：職業
文本
：連續
閱讀歷程：擷取與檢索
59
PISA 2009
電腦化閱讀評量表現
PISA 數學領域
命題研習
60
影響電腦化閱讀表現的因素
PISA 數學領域
命題研習
學校平均的 ESCS 指標
在家使用電腦
男學生
線上社群活動指標
線上資訊搜尋活動指標
摘要指標
理解與回憶指標
學生的 ESCS 指標
閱讀樂趣指標
在校使用電腦
61
PISA2015
合作式問題解決
PISA 數學領域
命題研習
• 橫跨教育與職場工作必要且關鍵的技能
• 「合作」是指整個團隊藉由分享對問題的理解、
協調行動、進展反思，進而解決問題
• 定義
– 個人有效地參與解決問題過程的能力。此處的問題解
決特指兩個或兩個以上的代理人(agents)，透過分享
解決問題所需的理解與努力共同解決問題。
電腦
學生
電腦
62
PISA 數學領域
命題研習
63
PISA 數學領域
命題研習
趨勢分析
PISA 2006 vs 2009
領域
閱讀
數學
科學
PISA 2006
平均分數(排名)
496 (16)
549 (1)
532 (4)
PISA 2009
平均分數(排名)
495 (23)
543 (5)
520 (12)
PISA 數學領域
命題研習
數學素養水準
人數比例變化趨勢
PISA 數學領域
命題研習
科學素養水準
人數比例變化趨勢
PISA 數學領域
命題研習
閱讀素養水準
人數比例變化趨勢
註：PISA 2009 新增未達水準1b及水準6
PISA 數學領域
命題研習
臺灣男女學生素養差異改變趨勢
2006 2009
數學
2006 2009
科學
PISA 2009 評量後的
反省&推廣
PISA 數學領域
命題研習
PISA 數學領域
命題研習
領域
數學
科學
閱讀
PISA 2006
PISA 2009
平均分數 (排名) 平均分數 (排名)
549 (1)
543 (5)
532 (4)
520 (12)
496 (16)
495 (23)
PISA 數學領域
命題研習
教育部 ─ 2011年
PISA 數學領域
命題研習
PISA PISA
評分規準
應試指南
上海、香港國際
PISA 命題研討
研習 (3/25)
研習 (8/19)
交流參訪
(取消)
• 數學領域
國立臺灣師範大學 林福來教授
• 讓教師瞭解素養取向
• 提供教師PISA評量
• 科學領域
•
教學經驗交流
的試題 資訊、協助學生準
國立彰化師範大學 張惠博校長
• 教育改革國立臺灣師範大學
交流
• 改變學生的學習方向
林陳涌教授
備PISA 評量
• 協助 PISA 2012 預
試閱卷
72
PISA 數學領域
命題研習
各縣PISA評量的推廣 ─ 2011
•
•
•
•
•
台南市
高雄市
新北市
台中市
彰化縣
PISA-LIKE
國際閱讀趨勢與校園閱讀規劃
100學年度國中教師閱讀發展計畫
PISA研習
國小閱讀教學師資培訓
73
練習
PISA 數學領域
命題研習
– PISA公佈的樣本試題
– 國立臺灣師範大學 林福來教授 主編
《臺灣2011數學素養評量樣本試題（上、下）》
– 國立彰化師範大學 張惠博校長&林陳涌教授 主編
《科學素養評量》
http://pisa.nutn.edu.tw/ 樣本試題
74
臺灣參與 PISA 的效益
PISA 數學領域
命題研習
• 提供跨國間教育政策與學生表現的比較
• 了解臺灣教育成效的趨勢
• 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊
• 學校與學生方面：
提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識
了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項
北北基特色招生考題
75
如果沒有數學素養 ?
PISA 數學領域
命題研習
76
PISA 數學領域
命題研習
77
PISA 數學領域
命題研習
PISA 數學試題介紹
78
PISA 2012 試題
紙筆評量13式題本
題本
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
B12
B13
PM5
PS3
PR3
PM6A
PM7A
PM1
PM2
PS2
PR2
PM3
PM4
PS1
PR1
群組
PS3
PM6A
PR3
PM7A
PM6A
PS1
PM7A
PR1
PS1
PM1
PM2
PR2
PS2
PM3
PR2
PM4
PM3
PM5
PM4
PS3
PM5
PR3
PR1
PM2
PM1
PS2
PS2
PR2
PM3
PM4
PM5
PM6A
PM7A
PS1
PR1
PM1
PM2
PS3
PR3
註：1. PM 紙本數學試題群組；PS 紙本科學試題群組；
PR 紙本閱讀試題群組
2. PM6A、 PM7A 標準版
PISA 數學領域
命題研習
題本
Booklet
群組
Cluster
單元
Unit
79
PISA 數學領域
命題研習
電腦評量24式題本
題本
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
CP1
CR1
CM3
CP3
CR2
CM1
CR2
CM2
CP3
CM4
CP1
CR1
群組
CP2
CR2
CM4
CR1
CM2
CP4
CR1
CM1
CP4
CR2
CM3
CP2
題本
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
CM1
CP4
CR1
CP2
CR2
CM2
CP2
CM4
CR2
CM3
CR1
CP4
群組
CM3
CP1
CR2
CM4
CP3
CR1
CP3
CM2
CR1
CP1
CM1
CR2
註：CM 電腦化數學試題群組；CP 電腦化問題解決試題群組；
CR 電腦化閱讀
80
PISA 試題
PISA 數學領域
命題研習
• PISA 素養評量是由數種不同類型的試題單元所組
成，包括
– 選擇題
– 多重是非題
– 封閉式建構反應題（簡答題）
• 填充題
• 通常會先要求學生從「是」或「否」兩個正反面的立場中圈選
出合理的答案，再要求學生提供理由說明所選擇的立場
– 開放式建構反應題（問答題）
• 要求學生提出自己的觀點以及支持理由和證據。學生需依據題
目的資訊進行推理、論證或計算，並提出批判或說明
81
「選擇題」範例
賽車速度 M159
PISA 數學領域
命題研習
右圖顯示一輛賽
車在跑第二圈時
，沿著一段3km
長的平坦跑道之
速度變化。
問題 1
從起始線到最長一段直線跑道的開始處，距離大約為何？
A 0.5 km
B 1.5 km
C 2.3 km
D 2.6 km
82
「封閉式建構反應題」範例
農場 M037
在這你所看到的是一張具有
金字塔形屋頂的農舍照片。
PISA 數學領域
命題研習
下面是一個學生依據對這個農舍的
屋頂做進一步測量結果所得出的數
學模型。
83
PISA 數學領域
命題研習
模型中的閣樓地板ABCD是一個正方形。支撐屋頂的橫樑是
四角柱EFGHNKLM的邊。E是AT線段的中點，F是TB線段的
中點，G是AC線段的中點，且H是TD線段的中點。金字塔形
模型中的所有邊長都是12公尺。
計算閣樓地板ABCD的面積=________m²
84
「多重是非題」範例
木匠 M266
PISA 數學領域
命題研習
木匠有32公尺的木材，他想要在 花圃的設計是否可以用長度
花圃周圍做圍欄。他考慮將花圃 32公尺的木板來圍成，在下
表中的每一種設計，圈選是
設計成以下的造型。
或否。
花圃
設計
是否能用長度32公
尺的木板圍成?
A設計
是／否
B設計
是／否
C設計
是／否
D設計
是／否
「開放式建構反應題」範例
M179：搶劫
PISA 數學領域
命題研習
電視主播呈現了下圖並報導：
「根據圖表顯示，從1998年到1999年搶劫案數量有巨幅的上
升」。
1999 年
每年搶劫案
數量
1998 年
你認為這位主播對於上圖的解釋是否合理？
請寫出一個理由來支持你的答案。
86
PISA 數學領域
命題研習
試題比例
情境脈絡
數學歷程
內容領域
個人
職業
社會
科學
合計
25%
25%
25%
25%
100%
形成
應用
詮釋
合計
25%
50%
25%
100%
改變與
關係
空間與
形狀
數量
不確定性
合計
25%
25%
25%
25%
100%
87
PISA 試題介紹
成長
PISA 數學領域
命題研習
標題
問
題
題
幹
88
PISA 數學領域
命題研習
（B2-10, B8-46）
題
組
（B2-11, B8-47）
（B2-12, B8-48）
89
標題
題本編號＆
問題題號
試題識別碼：
M150Q1
（B2-10, B8-46）
問
題
PISA 數學領域
命題研習
可使用的代碼：
0 1 9
作答區
成長--問題1計分
XXX--問題X計分
滿分 代碼 1：168.3公分
零分 代碼 0：其他答案
代碼 9：沒有作答
滿分
代碼 2
部分分數 代碼 1
零分
代碼 0
代碼 9
二元計分
多點計分
90
（B2-11, B8-47）
PISA 數學領域
命題研習
雙位數代碼
水準
解題方法
• 成長--問題2計分
滿分
代碼 21：使用日常生活用語，…
• xxxxx
範例
• ooooo
代碼 22：使用數學術語，…
• xxxxx
• ooooo
部分分數
代碼 11： ……[ ]
補充
零分
代碼 00：其他答案
說明
代碼 99：沒有作答
91
雙位數代碼的優點
PISA 數學領域
命題研習
• 以一種較有結構的方式呈現代碼，使得評分更有
系統，同時能清楚地顯示代碼群組的階層水準。
• 可以收集到更多有關學生的迷思概念、常犯的錯
誤，以及了解學生不同解題方法的訊息。
92
階層水準的記分優點
PISA 數學領域
命題研習
• 採用「滿分」、「部分分數」或「零分」取
代「正確」或「錯誤」
– 有些問題根本沒有所謂「正確」答案；更確切
地說，應以學生對問題的理解程度作為評分標
準。
– 「滿分」的答案並不一定只包括完全正確或完
美的答案。
93
PISA 2012 新試題
PISA 數學領域
命題研習
標題
題幹
問題 3~5個
題旨
題目描述、內容領域、情境脈絡、數學歷程
（能力群組PISA2000~2009）
評分規準
滿分、部分分數、
零分的說明及範例
命題時，除了題目要符合PISA
規定外，撰寫完整&詳細的計
分方式也是很重要的哦~
94
PISA 數學領域
命題研習
PISA試題（含計分方式）
測驗分數 M513
A組和B組各有
12名學生。
•A組的平均分
數是62.0分。
•B組的平均分
數是64.5分。
•當學生得分為
50分或以上時
他們便通過這
個測驗。
95
PISA 數學領域
命題研習
問題1
根據上圖，老師認為B組學生比A組學生的表現較佳
。但A組學生不同意老師的看法。他們試著說服老師
B組並不一定比較好。
請依據上圖寫出一個A組學生可能使用的數學論點。
96
PISA 數學領域
命題研習
極端值
造成的
影響
通過人數
最高分的
人數
『只需列出一個恰當的
論點即可獲得滿分』
老師以平均數做比較，認為B組
學生表現比較佳
（ B組 64.5 > A組 62.0 ）
97
評分規準
PISA 數學領域
命題研習
滿分
代號 1︰ 列出一個恰當的論點。恰當的論點須提
及合格人數、極端值造成的影響、或最高分的學
生人數。
A組學生的合格人數較B組多。
如果你忽略A組成績最差的學生，A組學生比B組學生
做得較好。
A組取得80分或以上的學生人數較B組多。
98
PISA 數學領域
命題研習
零分
代號 0︰ 其他答案，包括沒有列出數學上的原因
，或列出錯誤的數學原因、或只簡述成績的差別
，但卻沒有恰當的論點指出B 組的學生不一定做
得較好。
在科學的表現上，A組的學生通常比B組的學生好。這
次測驗的結果只是巧合。
因為B組學生最高分和最低分的差異較A組學生小。
A組學生在80-89分的範圍及50-59分的範圍取得較好
的成績。
A組的四分位差較B組大。
99
牛刀小試─評分練習
PISA 數學領域
命題研習
學生作答反應
1
50分以上通過測驗，那50分以下不算，A組有11人，通過測驗，則B組
只有10人，故A組的論點
2
因為A組的不及格都介於0~9分，所以他們的總平均會被拉下來
3
A組成績集中在50~89分 B組集中在40~89分，因此A組比較好
4
A組50-59分者有3人，比B組多2人；A組60-69分者有4人，比B組只少
1人
5
因為A,B兩組的學生中位數一樣
代碼
100
計分&素養水準的描述
1. 作答反應→學生能力
2. 學生能力→素養分數
(平均為500，標準差為100)
3. 素養分數→六個水準
PISA 數學領域
命題研習
數學素養 ─ 水準六
(669分以上)
… 在此水準的學生
能夠進行高階的數
學思考和推理，他
們能藉由符號、數
學運算、關係的洞
察和理解，也能在
陌生情境發展出解
決問題的新方法和
策略。…
101
評量的比較
PISA
• 十五歲
• 在真實情
TIMSS
• 四年級、
八年級
PIRLS
PISA 數學領域
命題研習
基測
• 四年級
• 九年級
• 研究世界
• 入學測驗，
境中應用
• 改善數學
各國四年
評量國中
習得知能
和科學的
級兒童的
畢業生的
的程度
教與學
閱讀力
基本學習
能力
102
試題的比較
PISA
TIMSS
PISA 數學領域
命題研習
基測
• 選擇題 33%
• 選擇題 66%
• 選擇題 100%
• 建構反應題67%
• 建構反應題34%
• 建構反應題0%
• 平均字數56 字(s.d. 32)
• 平均字數22字 (s.d. 13)
• 平均字數 40字
• 41%為獨立試題；其餘
• 85%為獨立試題；其餘
• 100%為獨立試題
為題組題型
• 認知歷程：形成、應用、
詮釋
• 數學內容：數量、改變
與關係、空間與形狀、
不確定性
• 平均解題時間2分鐘
為題組題型
• 認知歷程：理解、應用、
推理
• 數學內容：數、代數、
幾何、資料與機率
• 平均解題時間1分鐘
• 認知歷程：概念理解、
程序執行、解題思考
• 數學內容：量與數、代
數、幾何、統計和機率
• 平均解題時間2分鐘
(35題/ 70分)
(90題/ 90分)
(60題/ 120分)
103
PISA 應試指南研習 數學領域
教學建議
PISA 數學領域
命題研習
1. 指導學生讀題，透過錯誤類型的評析，進行批判
與反思，給予學生思考的時間，不要太快提供策
略或標準答案。
2. 嘗試加入不同試題類型於段考或平時考中，或增
加開放性試題及非例行性試題，提升學生數學思
維與溝通能力的訓練。
3. 運用前述的作答建議來鼓勵學生進行嘗試，老師
可從旁協助學生修正其用語的正確性，提升精確
和嚴謹表達與說理的能力。
104
PISA 數學領域
命題研習
4. 提供時事的刺激與批判的實作，嘗試運用數學的
觀點進行詮釋。
5. 加強學生對全球化議題的敏銳度，例如全球暖化
、貨幣兌換、時差換算等。
6. 增加測量工具（如計算機、圓規與直尺等）使用
與操作的機會。
7. 透過PISA試題的仿作與練習，提升學生的解題
經驗與老師對學生的瞭解，進而調整教與學的策
略。
8. 加強數學與學生生活的連結，例如運用估測活動
強化學生的空間感與量感。
105
PISA 數學領域
命題研習
評分須知
• 一般原則
• 常見問題
106
評分的一般原則
PISA 數學領域
命題研習
1. 錯別字和文法錯誤
閱卷者不必理會答案中出現的錯別字或文法錯誤
（除非該錯誤嚴重影響答案的意思）。
PISA 問題解決評量並非書寫表達能力的測驗。抄
寫數字時出現的小錯誤也不必理會，除非在個別
試題的評分指引中有特別規範。
PISA 數學領域
命題研習
2. 做出判斷
評分（編碼）手冊內所陳述的各種說明與舉例，目的在盡
量減低閱卷者的主觀性。但在決定把答案歸入哪個代碼，
以及釐定代碼所涵括的答案範圍時，閱卷者必須要自己做
出判斷。
一般來說，判斷應基於閱卷者對於學生是否回答該問題的
最佳評估。閱卷時，閱卷者不應採取瑕疵模式（即凡答案
不夠完美，便扣分）。
PISA 數學領域
命題研習
3. 何時提出諮詢
假如閱卷員未能決定某答案應給予哪個代碼，或學生所提
供的答案雖然清楚顯示對該文本和問題的理解，但卻未能
適用任何一個反應類別，那麼，閱卷者便需要諮詢評分指
導員，他會做出評斷，或者將問題向國家計劃主持人反應。
假如國家中心亦未能有所定論，便須透過電子郵件把問題
轉給PISA。
常見問題
PISA 數學領域
命題研習
1. 作答反應包含超出問題所要求的內容；或只是部
分「正確」，但有其他額外作答
– 若部分答案是符合滿分或部分分數，但與另一部份答
案前、後相互矛盾時，則選擇代碼0。
例1：若答案要求提供一個數字，但學生提供兩個不同
數字的作答反應自相矛盾。
– 假如作答反應中額外的元素或成分是無關的，但非相
互矛盾，則不必理會無關的內容，只需將反應中相關
的部分進行評分。
110
PISA 數學領域
命題研習
2. 作答反應並非問題所要求的方式
– 編碼員需考慮學生是否了解問題的本質以及是否展現回
答問題的能力。
例1：問題要求學生圈出「是」或「否」 ，但學生用文
字寫出「是」或「否」。
此作答方法應視作與題目中要求的圈答方法一樣
例2：作答區設有有編號的作答線，要求學生依序寫下
答案，但學生卻寫在同一條線上（答案是正確的）
編碼員應忽視學生對資訊的安排。作答反應中的每
個部分應加以分開看待，不管其在作答線的排置方
式。
111
PISA 數學領域
命題研習
3. 計算過程
某些問題會要求學生「寫出你的計算過程」，只要學生
寫出答案就值得獲得分數，縱使沒有列出計算過程。
112
PISA 數學領域
命題研習
評分（編碼）規準&評分程序
• 目的：確保評分一致性及跨國比較的可靠性
• 流程：
1.
2.
3.
4.
5.
試題練習
評分規準講解
國際學生作答反應評分練習&討論
本國學生反應評分測試
答對率85%始可正式開始評分
• 重點：
– 熟悉試題、依據評分規準評分、避免主觀的判斷
– 必要時尋求諮詢
113
評分方式
PISA 數學領域
命題研習
• 單人編碼
– 所有學生的作答反應平均分配給4位編碼員
• 多重編碼
– 有100個學生的作答反應，4位編碼員皆需編碼
– 其餘作答反應的平均分配給4位編碼員
– 檢查編碼一致性
114
評分一致性
PISA 數學領域
命題研習
• Coder-Item Disagreement
其中
是第 k 位評分員對第 j 位學生的第 i 題
評分。
National Item Reliability:
Coder Item Reliability :
115
Coder 201~204 對 Item A~E 評分後的 CID, NIR & CRI
Coder
Item A Item B Item C Item D Item E
PISA 數學領域
命題研習
CRI
201
0.00
15.00
10.00
9.88
11.82
9.34
202
0.00
5.00
10.00
4.45
10.91
6.07
203
0.00
5.00
10.00
5.14
10.45
6.12
204
0.00
5.00
10.00
5.14
10.45
6.12
NIR
0.00
7.50
10.00
6.15
10.91
*假設滿分為 1,零分為 0；
Item A：四位評分員的評分結果都一致
Item B：Coder 201 有20%的評分結果
和其三位不同，其餘的評分結
果四位皆相同
Item C：二位評分員有20%評分結果和
另二位不同，其餘的評分結果
四位皆相同
Item D & Item E ：真實的範例
如果 NIR 太高，此題需重新進行訓練、重新閱卷
116
評分者的嚴苛（寛鬆）程度
PISA 數學領域
命題研習
控制文稿 (Control scripts)
• 一組（具正確編碼）的學生作答反應
• 混雜在學生作答反應中，讓編碼員編碼
檢核編碼者的評分嚴苛（寛鬆）程度
117
PISA 2012 線上電腦閱卷
PISA 數學領域
命題研習
• 優點
– 評分方便，同時簡化多重評分工作
– 閱卷後，可立即計算閱卷者一致性指標（若閱卷者的
不一致指標比國際高，該試題即需重新閱卷）
• 人工閱卷：
– 紙筆試題：數學48題、閱讀24題、科學19題
– 電腦化試題：數學4題、閱讀5題、問題解決6題
• 每題閱卷數量
– 紙筆試題：每題約有1750至1850學生作答反應
– 電腦數學和閱讀：每題約有400學生的作答反應
– 電腦化問題解決：則約有900學生的作答反應
118
PISA 2012 閱卷人員
PISA 數學領域
命題研習
• 中央輔導團成員
• 各縣市輔導團成員
• 曾參加過教育部舉辦的種子教師研習的現職教師
數學
閱讀
科學
人數
24
20
8
每人天數
5
5
8
註: 問題解決由數學閱卷人員擔任
119
PISA 數學領域
數學領域
命題研習
正式施測閱卷組長和閱卷人員名單
任職學校
組長
組員
閱卷人員
任職學校
閱卷人員
高雄市立英明國民中學
顏錦偉
高雄市立大仁國民中學
廖惠儀
苗栗縣立興華高級中學
蘇柏奇
新北市立五峰國民中學
鄧家駿
臺北市立興雅國民中學
林壽福
臺北市立南門國民中學
曾明德
臺北市立北投國民中學
林柏嘉
臺南市立永康國民中學
林柏寬
臺南市立麻豆國民中學
王儀雅
新北市立錦和高級中學
陳萩紋
臺南市立後甲國民中學
張靖宜
臺南市立大內國民中學
顏瑞文
新北市立樹林高級中學
張琇如
臺南市立善化國民中學
姜宗毅
臺南市立中山國民中學
許騰峰
高雄市立陽明國民中學
歐士福
臺北市立至善國民中學
張美玲
臺南市立建興國民中學
陳俐俐
宜蘭縣立羅東國民中學
陳俊志
高雄市立仁武高級中學
李勝彥
120
PISA 數學領域
命題研習
北北基特色招生的評分工作
大家加油~
121
PISA 數學領域
命題研習
PISA 樣本試題
&
評分練習
122
蘋果 M136
PISA 數學領域
命題研習
農夫將蘋果樹種在正方形的果園。為了保護蘋果樹不受風吹
，他在蘋果樹的周圍種植針葉樹。
下圖你可以看到當農夫種植不同列數（n）的蘋果樹時，蘋
果樹及針葉樹數量的變化：
123
• 問題 1：蘋果
n
蘋果樹數量
針葉樹數量
完成右表的空格
1
1
8
2
4
PISA 數學領域
命題研習
3
4
• 問題 2：
5
你可以用下列2個公式來計算上述提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的變化 ：
蘋果樹的數量 = n2，
針葉樹的數量 = 8n，其中 n代表蘋果樹的列數。
當n為某一個數值時，蘋果樹數量會等於針葉樹數量。找出n值，並寫出你的
計算過程。
• 問題 3：
若農夫想用很多列的樹做一個更大的果園，當農夫將果園擴大時，那一種樹
會增加得比較快？是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量？請解釋你如何得到你
的答案。
124
大陸面積 M148
PISA 數學領域
命題研習
• 利用地圖上的比例尺估計南極大陸的面積。
南極洲
南極
孟席斯山
公里
125
搶劫 M197
PISA 數學領域
命題研習
電視主播呈現了右圖並報導：
「圖形顯示，從1998年到
1999年搶劫案數量有巨幅的
上升」。
你認為這位主播對於上圖的解
釋是否合理？請寫出一個理由
來支持你的答案。
126
廢棄物 M505
PISA 數學領域
命題研習
為了做有關環境的回家作業，學生收集了幾種廢棄物所需分
解時間的資料：
廢棄物種類
香蕉皮
橘子皮
瓦楞紙箱
口香糖
報紙
塑膠杯
分解時間
1－3年
1－3年
0.5年
20－25年
幾天
超過100年
有一位學生想用長條圖來呈現這個調查結果。
寫出一個理由解釋，為何長條圖不適合用來呈現這個結果。
127
答對率比較
PISA 2000
國際答對率
M136 蘋果
PISA 數學領域
命題研習
PISA 2003
國際答對率
種子教師研習
學生答對率
Q01
0.49
0.92
Q02
0.25
0.70
Q03
0.13
0.34
M148 大陸面積
Q02
0.19
0.18
M179 搶劫
Q01
0.26
0.30
0.34
M505 廢棄物
Q01
-
0.52
0.48
128
PISA 數學領域
命題研習
PISA 數學試題命題需知
129
傳統的數學試題
PISA 數學領域
命題研習
計算
130
傳統試題 vs PISA試題
二元一次方程式
PISA 數學領域
命題研習
• 解
X+Y=65
2X+4Y=180 （標準的教科書試題）
• 農夫約翰養了許多雞和免子。約翰計算得到共有
65個頭、180隻腳。請問約翰有多少隻雞?
（較人為化）
• 學校音樂會的成人票每張4元，學生票每張2元。
今天共賣出65張票，共得180元。請問今天賣了
多少張學生票? （較為真實）
131
傳統試題 vs PISA試題
估計
PISA 數學領域
命題研習
• 有一個牧場在地圖上的
大小如右圖所示（比例
尺1：5000）。請估計
這個牧場的實際面積為
多少。 （較人為化）
• 利用地圖上的比例尺估計
南極大陸的面積。（較為
真實）
南極洲
南極
公
里
孟席斯山
132
命題須知
PISA 數學領域
命題研習
1. PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗，
所有的試題應能適合每一個國家的15歲學生
2. 試題不可從教科書或參考書中擷取
3. 試題開發以單元(Unit)為單位，每個單元包含3~5問題
(Question)，每個問題儘可能相互獨立
4. 每個試題的內容必須包含，題目、題幹、試題說明(題旨、
數學歷程、內容領域、情境脈落)、問題，編碼方式
PISA 數學領域
命題研習
5. 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試，這些結
果可用來修正試題，且學生作答反應可置入計分規範
6. 試題必須符合四種數學內容領域(數量、空間與形狀、改
變與關係、不確定性)之一
7. 試題類型比例：1/3 選擇題、1/3 封閉式建構反應題、
1/3 開放式建構反應題
8. 能以常用文具(尺、橡皮擦、計算機、圓規)答題
134
PISA 數學領域
命題研習
9. 試題的閱讀層次需詳加考量，試題的用字盡可能簡單且
方向容易掌握，避免會造成文化偏誤的試題
使用主動式，避免被動式句子
避免使用艱澀難懂的字詞
避免選用可能會有性別差異的試題
135
PISA 數學領域
命題研習
試題特徵
10.建議每個一問題完成作答時間不應超過2分鐘(for the
“average” student)
11.每一個單元不應超過15分鐘
12. 費時的試題(time-consuming items)應該避免
PISA 數學領域
命題研習
13.
避免不當的問題設計。例如：試題的計分太過於開放
Ex：假設你要設計一個體積為80公升的玻璃水族箱。
請你建議一些合適的長、寛、高尺寸，並描述如何你
得到這些結果，最後，再依據你得到值描繪出此水族
箱
從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題，但評
分架構太複雜，而且在跨國、跨評分者之間可能會有困難來確
認其一致性。
137
PISA 數學領域
命題研習
14.
翻譯問題
• 因為施測語言超過25種， 所試題中包含特定的語言可能不
太適合， 例如：
PISA 數學領域
命題研習
15. 避免不完整的敘述:
• Line X is shorter than
A. Line Y
B. Line Z
C. Line W
D. Line T
Instead, write “Which line is longer than Line X?”
PISA 數學領域
命題研習
16. 真實的情境
• 農夫約翰養了許多雞和免子。約翰計算得到共有65個頭、
180隻腳。請問約翰有多少隻雞?（較人為化）
可改寫成
• 學校音樂會的成人票每張4元，學生票每張2元。今天共賣
出65張票，共得180元。請問今天賣了多少張學生票?
（較為真實）
PISA 數學領域
命題研習
17. 數學化
• 超市A和超市B賣的森森牛奶糖本週都在特價。超市A
的優惠方式為「買二條送一條」，超市B的優惠方式
為「打七折」。
(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同，哪一間超
市提供的優惠方式較佳? 提供理由支持你的答案。
(2)如果超市A的森森牛奶糖售價為7元，小明在超市A
買了6條，根據優惠方式為「買二條送一條」他要付多
少錢?
PISA 數學領域
命題研習
• 有一位木匠要為花圃建圍欄。 • 木匠有32公尺的木材，他想要在花圃
圍欄長度的單位為公尺。這
周圍做圍欄。他考慮將花圃設計成以
位木匠要買多長的圍欄?
下的造型。哪一個造型可以用32公尺
的木材圍成?
（需要數學化）
PISA 數學領域
命題研習
18.非數學情境脈落的試題
OECD/PISA強調真實的情境但並未排除重要或有趣的數
學 （有時這些情境可能會是比較虛擬性）。
• 列出496的因數。（標準化的教科書問題）
• 數字6是一個完全數(perfect number)，因為它（除了本
身之外）的因數1，2，3的加總，剛好等於6。下一個完
全數是28，因為它的因數有1、2、4、7、14。再下一個
完全數是496。請證明496是完全數。 （較佳）
PISA 數學領域
命題研習
19.編碼的相關問題
• 避免選項or數量和計分混淆
例1. How many cubes are painted blue?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
範例
較易
較難
範例
較易
影響試題難度的因素
較難
PISA 數學領域
命題研習
簡單、僅需基本 複雜、需進階的
試題內容
較易
較難
較易
較難 長
短
的概念
概念
長短
簡單、容易的資訊
複雜的資訊
圖形或表格中的
簡單、清楚、
複雜、包含
比值
能化簡成簡單整數比
不能化簡
熟悉程度
陌生的情境
「理解」 熟悉的情境
公式清楚、完整且直接呈現
公式不完備、未直接呈現
資訊明顯與否
明顯
多餘的資訊
的需求
單一未知數
有多個未知數
不需要詮釋
需要詮釋
整數解
分數解
方程式 「選擇」
明顯的提示、清楚的資訊
需要判斷、分散的資訊
的需求 有簡單的解法
沒有簡單的解法
範例
概念的難易度
範例
呈現方式
試題
難度
單一步驟
多重步驟
可使用嘗試錯誤法或有模式可尋
需利用代數進行歸納
資訊處理
僅需最少的轉化
需大量的轉化
圖形的詮釋
尋找最大值（或最小值）
解釋區間的變化
「轉化」
的歷程
低階的知識和技巧
高階的知識和技巧
的需求
分數和小數
大於1的分數
不需要額外的覺查 0-1之間的分數
需要額外的覺查
情境
限制在試題情境中的思考
需要歸納、推廣
數學內容
145
試題的資料
PISA 數學領域
命題研習
試題名稱：____________________________________
試題作者：____________________________________
試題是否曾出現：_____________________________
□正在協商□原創□已授權
版權許可：
題旨：_________________________________________
□個人□職業□社會□科學
數學歷程：□形成□應用□詮釋
數學內容：□數量□空間與形狀□改變與關係□不確定性
試題類型：□ 選擇題□多重是非題□封閉式建構反應題□開放式建構反應題
情境脈絡：
146
PISA 數學領域
命題研習
PISA 命題程序
147
第一階段
• 準備
PISA 數學領域
命題研習
由各國命題人員以當地語言編寫符合標準格式的題組
• 地區專家諮議
由相關測驗發展的團隊仔細審查，對試題進行修訂。
• 認知晤談
讓學生試答，試答後進行訪談，釐清學生答題的思維，再
次修訂試題。學生的作答可提供編修評分準規參考
• 地區前測（pilot test）
在試題發展的國家中，選擇一些15歲學生班級進行領試測
驗。可得到學生作答內容，發展詳細的編碼指引。測驗結
果可知試題是否需修訂或放棄該題
148
PISA 數學領域
命題研習
第二階段
• 國際專家諮議
由國際專家仔細審查（特別著重試題是否有文化差異
），並提供回饋做進一步的試題修訂
澳大利亞
ACER
荷蘭
CITO
挪威 奧斯陸大學
ILS
德國 基爾大學
IPN
日本
NIER
• 國際前測
由各國進行測驗，但因翻譯和時間進度的限制，主要
由澳大利亞的學校執行
149
國家審查
PISA 數學領域
命題研習
1. 由各國計劃主持人審查
A. 評估試題的合適性、試題是否有文化差異、試題是否
符合素養的定義 …等
B. 根據各國的審查回饋，進行試題修改或汰除
2. 由參與PISA的國家選派專家參加（SEG、MEG
or REG）會議，詳細檢視試題
預試
進行全球的預試
例如：PISA 2005、2008、2011 預試
150
PISA 數學領域
命題研習
臺灣數學素養試題發展
151
國內數學素養試題的發展
PISA 數學領域
命題研習
國立臺灣師範大學 林福來教授 主編
《臺灣 2011 數學素養評量樣本試題（上、下）》
• 二冊共180題
• 25位教授、180位國中教師
– 辦理北、竹、中、南、高、宜六區種子教師工作坊
每區 3 場次，每場次 3 小時
報名教師 3 場次需全程參與
要求每位學員至少設計一個單元
152
設計歷程：挫折
PISA 數學領域
命題研習
• …生活中處處存在著數學規律、數學問題，…計
設數學素養試題時，突然覺的好難…要跟生活情
境相關…
• …當初真的不大了解什麼叫做數學素養，因此起
初做出來的試題，永遠都像是我們一般學校的考
題，圍繞在學校學的單元主題，跳脫不出侷限的
框框……
• …教授說「問題要清楚聚焦在學生學習到甚麼數
學能力，當然這個能力也要是生活中需要具備的
，最好再加上其他創意的命題」…剛開始還蠻挫
折的…
153
PISA 數學領域
命題研習
• …教授說「這位老師，你可能數學題目出太多了
，你的題用詞太過像考卷用詞，而且沒有輔以圖
形或表格的說明，完全是在一個憑空想像的抽象
世界」…我以為自己已丟掉八股的包袱，但沒想
到它早已潛移化深植在我的心裡…
• …教授說「你要培養對數學的敏感度」…但…我還
是一頭霧水…
154
設計歷程：靈感
PISA 數學領域
命題研習
• …剛好日本發生大地震…以地震為議題，上網搜
尋台灣地區地震相關資料，將資料整理成長條圖
，預期以統計問題來呈現…
• …因為自己對摺紙與數學關係頗有興趣，故利用
八年級學過勾股定理…主要想法是透過幾個簡單
摺紙步驟，讓學生了解其數性質為何…
• …在閱讀報紙時，正好看到一篇有關呼應節能減
碳的議題…比較傳統燈泡、螺旋式省電燈泡、
LED燈泡…
155
PISA 數學領域
命題研習
• …它是一個真實的例子，在我就讀彰師大時，鄰近
的漫畫租書店正推行預繳的方式…
• …今年清明連假時，舅媽帶著我們去鹿港遊玩，在
那裡看到了鹿港知名的八卦藻井…正八邊形…
• ...在生活中我們時常使用影印機，卻不一定每次都
能操作順暢…例如：想將原稿放大二倍，使用螢幕
上的200%，按下去想驚覺自己糗大了…
156
設計歷程：發現
PISA 數學領域
命題研習
• …PISA試題…那很不「傳統」的數學試題，不只
是數學，更是生活世界中的數學；不只是試題，
更是一種潛在的學習…
• …開放式問題可以讓我們更了解孩子，他們的小
腦袋總是有許多讓我們意想不到的答案，甚至能
藉由與學生的問答中，了解學生問題的所在與反
省自己…
157
PISA 數學領域
命題研習
• …我讓資優班的孩子練習，對這些「很奇怪」的
題目，他們顯現出意料中的生疏…
• …在許多國、高中生，甚至成年人的眼中，數學
似乎是未來生活中最沒用的科目，尤其是在日常
生活裡…但數學素養能讓數學在日常生活中、工
作場合與社群中發揮功能…
158
PISA 數學領域
命題研習
《臺灣 2011 數學素養評量樣本試題》
的一些範例…
159
泳渡日月潭
PISA 數學領域
命題研習
高雄市前金國中 歐士福
在台灣，每年9 月份都會在南投縣
的知名觀光景點日月潭，舉辦一項
大型活動「日月潭國際萬人泳渡嘉
年華」。這項活動總是吸引許多國
內、外游泳好手，或者勇於挑戰自
我的朋友們參加，右圖塗色部分即
是日月潭的全貌。
問題1
依照主辦單位的規劃，這次泳渡日月潭的路線距離大約3000 公尺，依照
上圖的比例尺，請判斷A、B、C、D 四條路徑中，何者最可能是這次活
動的路線？
160
問題2
PISA 數學領域
命題研習
如果主辦單位這次希望路線距離增加為約4000公尺，在不考慮日月潭四
周的地形影響之下，依照上圖的比例尺，請你幫忙規劃一條最適合泳渡
的直線型路線。(請直接畫在圖上)
161
航班問題
PISA 數學領域
命題研習
宜蘭縣羅東國中 （不具名）
小米從日本琉球搭飛機來台灣參加媽祖繞境活動，已知日本的時間為台灣時
間加上1 小時，且全日本時區皆相同。以下為他搭乘飛機的航班資訊：
日期
起飛地點
起飛時間
（hh:mm)
到達目的
到達時間
（hh:mm)
2011/04/14
琉球
11:40
台北
12:10
2011/04/14
台北
08:15
琉球
10:45
*表內時間均為當地時間
問題1
如上表，若飛機來回的飛行時間是固定的，請計算台北到琉球的飛行時間
多長？
問題2
小米在台灣遇到日本大阪來的朋友，他隔天將從台灣搭飛機回到日本大阪
（飛行時間為2 小時30 分），已知抵達時為日本晚上10 時，請問他在台
灣出發時間為何？
162
影印機
PISA 數學領域
命題研習
台北市興雅國中 林壽福
數學課分組玩遊戲競賽，…老師原本準備的紙張不夠，就請小
老師晏瑄和郁琪拿著原稿到合作社的影印機加印。老師特別交
代她們：2 張 B5 原稿排列在一起印成 B4 ，這樣 8 組只要再印
4 張就夠了。…可是郁琪對影印機上「放大、縮小」功能表格
的說明，感到迷惑！
163
PISA 數學領域
命題研習
老師給2 張 B5 的稿可以合併印成一張 B4 ，豈不說明 B4 是
B5 的兩倍，但是為何在功能表上寫著【B5 ->B4 141% 】
，一個倍數是2 倍，一個則是1.41 倍？郁琪認為影印機寫錯
了，但晏瑄不同意，她認為兩者都沒有錯。
問題1
(1) 請寫出支持晏瑄認為 2 倍是對的的論點。
(2) 請寫出支持晏瑄認為 1.41 倍是對的的論點。
164
死亡率
PISA 數學領域
命題研習
新北市五峰國中 鄧家駿
死亡率是用來衡量一部分人口中、一定規模的人口大小、每
單位時間的死亡數目。死亡率通常以每年每1000 人為單位來
表示。因此在死亡率為 9.5 的 10 萬人口中，表示這一人口中
每年死去 950 人。
下表列出一些國家在2010 年的人口估計值與死亡率估計值。
國家
人口
死亡率
台灣
23,071,779
7.00
日本
126,475,664
10.09
4,740,737
4.95
中國
1,336,718,015
7. 03
埃及
82,079,636
4.82
新加坡
165
問題1
PISA 數學領域
命題研習
在這些國家、地區中，哪一個國家在2010 年的時候，死去的人
口數最少？
問題2
阿昌說：「中國大陸每4 秒死一個人！台灣每四分鐘死一個人！
台灣人民比他們生活安全。」
阿良說：「阿昌這樣講法是不對的！」
(a)請利用數學算式解釋阿昌如何得到「中國大陸每4 秒死一個
人！」的結論。
(b)請說明阿良為何會認為阿昌的講法不對？
166
生活中隨處可見的數學
• 6吋蛋糕+6吋蛋糕
+
PISA 數學領域
命題研習
=
? 12吋蛋糕
=?
• 刻印章：五分圓章價錢=六分方章價錢，Why?
NOTE：一般而言，鐵工講的是英制，
木工講的是台制
1英呎(ft)=12英吋(inch)=96英分=30.48cm
1英分=0.3175cm
1台尺＝10台寸=100台分=30.3cm
1台分=0.303cm
167
PISA 數學領域
命題研習
科學情境的試題
每種油都有一個皂化價。皂化價是指要皂化一克的油脂所需的氫
氧化鈉之克數。所謂的「皂化」則是指油脂與強鹼反應形成甘油
與肥皂的化學作用。下列公式是利用常用油品製作手工肥皂的計
算方式
油的公克數×皂化價 =皂化所需的氫氧化鈉（g）
皂化所需的氫氧化鈉 × 2.5 = 溶解氫氧化鈉所需的水（g）
例如：橄欖油 80 g + 椰子油20 g
(80 × 0.134) + (20 × 0.19) = 14.52 （所需的氫氧化鈉(g)）
14.52 X 2.5 = 36.3 （所需的水(g)）
油脂
皂化價
椰子油
0.19
因此，將80g的橄欖油和20g的椰子油放入
0.134
鍋中加熱，然後再倒入14.5g的氫氧化鈉和 橄欖油
棕櫚油
0.141
36g的水，即可調製成手工皂。
參考資訊
http://gbhouse.myweb.hinet.net/new_page_11.htm
大豆油
0.135
葵花油
0.134
168
PISA 數學領域
命題研習
分組命題練習
&
試題與命題心得分享
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