數學能力

Transcript 數學能力

PISA 數學能力層次與教學深入
國立臺南大學教育系
林素微
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情境脈絡
與自我、家庭或同儕團體相關的議題。例如：食物準備、
個人購物、遊戲、個人健康、個人交通、運動、旅遊、個人行
程安排和個人理財
職場相關的議題。例如：建築物的測量、成本和材料訂購，
職業工資/會計、質量控制、調度/庫存、設計/架構、以及與
工作相關的決策
社會
與社群相關的議題。例如：投票制度、公共交通、政府、
公眾政策、人口統計、廣告
有關數學如何應用在自然界、科學與科技的議題。例如：
科學天氣或氣候、生態、醫學、太空科學、遺傳學和測量等領
域
★必須是15歲學生會接觸到的範圍
2
內容領域
改變與關係
對自然現象的改變和運作建立數學模式、進行解釋或以圖形或符號來
呈現之間的關係。例如生物的成長、四季循環、潮汐變化、天氣改變
瞭解現實生活中物體的特色、位置或方向、表徵，以及影象資訊解碼、
導行、與模型或圖像進行動態的互動，例如：三維物體的二維表徵、
空間與形狀
陰影的形成與意涵、視角的確認和運作、城市的原貌和其地圖或照片
間的差異、GPS的使用
數量
不確定性
瞭解真實世界物體的量化特徵、關係，各種數量的表徵，數量的解釋
和推論。例如：測量、計數、指標、相對大小、數值的趨勢和組型、
估計、心算
主要包含數據的變異的解釋、測量的不準度與機率。例如：選舉結果、
天氣預報的不準確性、資料蒐集、資料分析與呈現、機率與統計推論
等
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（1）改變和關係
• 在日常生活情境上，常有現象改變的過程。有些
改變的過程可描述為數學的函數，例如：線性、
指數、周期性。這些關係可分成不同的類別，通
常是用資料分析來決定所呈現的關係。
• 數學關係通常是方程式或不等式的形態。我們可
由不同表徵得到關係，包含符號、代數、圖表和
幾何圖形。
• 不同的表徵有不同的性質，可適用不同的目的。
因此在處理各種情境與作業時，表徵間的轉換通
常是很重要的。
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（1）改變和關係
• 在電腦化測驗中，可以動態圖像的呈現，並提供
給學生多個表徵間的動態連結、以及操弄函數的
機會。例如，
• 跨時間的改變（如生長或移動）可以直接透過動
畫和模擬的描繪，並透過函數，圖形和數據來連
結。
• 強化改變之數學模型的尋找和使用，個體得以藉
由軟體進行探索和描述改變的運作，這些軟體可
以進行函數繪圖、參數操弄、數值表格的產生、
幾何關係的試驗、資料數據的組織和繪圖、以及
公式的計算。
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（2）空間與形狀
• 常在音樂、影像、交通、建築物和藝術中呈現。
• 探討形狀和結構需要在分析形狀的成分時尋找相
似和相異處，並在不同表徵和不同維度下辨識形
狀。
• 為達此目的，我們需要理解幾何圖形以及相關的
性質，學習透過空間、建築物、和形體來引導思
考。
• 換句話說，我們應理解形體、影像或視覺表徵間
的關係，如城市的真實面貌和該城市的地圖與照
片間的差異。它也包含三維物體的二維表徵、陰
影的形成與意涵、視角的確認和運作。
6
（2）空間與形狀
• 電腦化評量提供學生機會得以操弄形狀的動態表
徵，並能夠透過旋轉操弄來提升準確的心理圖像
來探索三維幾何物件內部以及物件之間的關係。
• 學生可以使用地圖縮放和旋轉功能，來要建立某
地區的心理圖像並應用這些工具來協助思考。
• 他們可以選擇和使用虛擬工具來進行平面圖、圖
片、模型的測量（例如，角度和線段），以及應
用數據進行計算。
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（3）數量
• 在日常生活中的數學概念，最容易被理解的應就
屬於「數量」的部分了。
• 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理
。這個概念專注在生活情境上的量化需求，重要
層面包含相對大小的理解、數的組型覺察、使用
表徵數量的數字、和真實世界物體的數量特徵（
計數和測量）。
• 此外，數量中重要的一個層面是數量推理，數量
推理的基本成分是數感、以不同方式表徵數字、
理解運算的意義、對數字大小有感覺、數學精緻
的運算、心算和估算。
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（3）數量
• 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的
計算能力優勢。
• 電腦可以降低受試者在計算上的負擔，進而更專
注於解題時的意義和策略，藉由對解題歷程的分
析，可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還
是因為粗心而造成的錯誤。
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（4）不確定性
• 目前「訊息社會」常以相當精確程度、科學化和
確定性提供大量的訊息。而日常生活中我們多數
面對的是不確定性的選舉結果、倒塌的橋、股市
崩盤、不準確的天氣預報、不佳的人口成長預測
、和其他許多不確定性的實例。
• 主要兩個相關議題：數據與機會。這些現象所對
應的數學主題是有關統計與機率的研究。
• 自九年一貫課程實施以來，課綱的每次改版都增
加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集、
資料分析與呈現（視覺化）、機率與推論等的內
容，加重了統計與機率的比重。
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（4）不確定性
• 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會，
並進而提供計算能力和數據處理能力。
• 學生有機會選擇適切的工具來處理、分析，並表
徵資料數據，以及從資料中取樣。
• 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描
述這些數據。應用模擬產生隨機變數的能力使學
生可以探索機率的相關情境，例如事件的可能性
與樣本的屬性等。
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評量15歲學生數學素養之內容主題
–函數
–代數式
–方程式與不等式
–座標系統
–平面與立體幾何圖形內
部以及之間的關係
–幾何測量
–數與單位
–算術運算
–百分比、比和比例
–估算
–資料蒐集、表徵與解釋
–資料的變動與描述
–樣本與抽樣
–機會與機率
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2003數學素養
• PISA檢驗學生在各種情境中提出、形成、以及解決和解釋數學問
題時能否有效地分析、推理、以及溝通數學概念的能力。這樣的
問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能
力。在PISA中，一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱
之為數學化（mathematisation）。
真實世界(Real world)
數學世界(Mathematical
world)
數學解法
5
Mathematical
solutions
4
真實解法
Real solutions
5
真實世界問題
Real-world
problem
1,2,3
數學問題
Mathematical
problem
PISA數學素養的理論基礎
• 數學化(mathematising)有五個重要的特徵：
1.數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題。
2.解題者嘗試去找出相關的數學，並且依據重要
的數學概念重新組織問題。
3.逐漸調整現實(trimming away the reality)
，轉化成數學語言
4.進行問題解決
5.針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵。
數學領域的組織
情境(Situations)
脈絡(CONTEXT)
問題形式
(Problem format)
數學概念(Overarching ideas)
內容(CONTENT)
問題(PROBLEM)
與
解決(SOLUTION)
歷程(Process)
能力群組
(COMPETENCY CLUSTER)
能力(Competencies)
能力(the competencies)
• 針對mathematisation，PISA提出學生在此種歷程
中需運用到數種不同的能力(competencies)：
• 思考及推理Thinking and Reasoning
• 包含提出問題的數學特徵(題目中有…??如果是這
樣，有多少…?我如何找出….?)；了解可能的答
案型態為何；區辨不同描述(定義、理論、預測、
假設、案例、條件)的異同；並且了解及處理給定
數學概念的範圍和限制。
能力(the competencies)
• 論證Argumentation
• 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類
的數學推理的差別；不同型態數學論證的發展和
評量；對於啟思靈感的掌握(這可不可能發生，為
什麼？)以及產生及陳述數學論證。
能力(the competencies)
• 溝通Communication
• 包含以多種方式表達數學事件的個人想法，透過
口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語
的陳述。
能力(the competencies)
• 建模Modelling
• 包含針對特定的場域和情境的結構，將真實轉化
成數學結構；確認模式；針對某一個模式進行反
思、分析、和提供批判；溝通模式及其結果(包含
此結果的限制)；監控及控制建模的歷程。
能力(the competencies)
• 運用符號、形式化及科技的語言及運算Using
symbolic, formal and technical language and
operations
• 包含符號和形式語言的解碼和詮釋，以及理解其
和自然語言的關係；從自然語言轉化成符號和形
式語言；處理包含符號和公式的陳述；運用變項
、解決方程式和計算。
能力(the competencies)
• 使用輔助工具Use of aids and tools
• 包含能了解、能運用各種有助於數學活動的輔助
工具(包含資訊科技工具)並且知道這些工具的限
制。
能力(the competencies)
• 表徵Representation,
• 包含解碼和編碼、轉化、解釋和區辨不同數學物
件和情境的表徵；不同表徵間的內部關係；根據
情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整。
能力(the competencies)
• 擬題及解題Problem posing and solving
• 包含各種數學問題的擬定、形成和定義；並以各
種方式解決不同型態的數學問題。
能力群組(competency clusters)
• PISA的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動，可
以統整成三個能力群組(competency clusters)。稱為
• 複製(reproduction)、
• 連結(connection)、
• 反思(reflection)。
(1)複製群組reproduction cluster
• 此能力群組基本上包含習過知識的複製。一般而
言，他們包含標準化評量以及課室評量中最常測
量的能力。如事實、一般問題表徵的知識，等值
的辨識，熟悉數學物件以及特性的再蒐集，例行
程序的比現，標準算則及技術性技巧的應用，在
標準的型態中操弄概念完備的符號，以及計算的
進行。
• 思考及推理Thinking and Reasoning
• 包含擬定最基本的問題(有多少…？)以及理解答
案的可行性；區辨定義和說法之間的差異；了解
和處理啟蒙學習(第一次接觸時)的數學概念。
(1)複製群組reproduction cluster
• 論證Argumentation
• 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷，此數量
歷程包含計算過程陳述和結果。
• 溝通Communication
• 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行
理解和表達個人的想法。簡單數學事件指的是重
複熟悉物件的命名及基本特質、列出算式和結果
；通常不會超過一種方式。
(1)複製群組reproduction cluster
• 建模Modelling
• 包含辨識、重組、建立及開發一個結構良好、熟
悉的模式；在模式(及其結果)及真實之間進行詮
釋，以及根據模式的結果進行基本的溝通。
• 擬題及解題Problem posing and solving
• 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題
的方式來擬題；以標準的取向和程序解決此類問
題；通常僅有一種方式。
(1)複製群組reproduction cluster
• 表徵Representation,
• 包含熟悉數學物件的解碼、編碼和權勢熟悉的、
以練習過的表徵；倘如涉及表徵的轉化，則此表
徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立
的部份。
(1)複製群組reproduction cluster
• 運用符號、形式化及科技的語言及運算Using
symbolic, formal and technical language and
operations
• 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和
形式語言的解碼和詮釋，處理包含符號的、以及
公式的敘述；在例行程序中運用變項、解方程式
和使用計算機。
• 使用輔助工具Use of aids and tools
• 能理解和能使用熟悉的輔助工具。
• 解方程式7x-3=13x+15
• 7,12,8,14,15,9的平均數是多少？
• 1000元存進銀行，年利率是4%，一年後全部領
回多少錢？
• M432: 反應時間
• 在一個短跑競賽的事件裡，「反應時間」是指
鳴槍後到運動員開始起跑的時間，「最後時間
」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間
。
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間：
跑道
反應時間（秒）
最後時間（秒）
1
0.147
10.09
2
0.136
9.99
3
0.197
9.87
4
0.180
沒跑完
5
0.210
10.17
6
0.216
10.04
7
0.174
10.08
8
0.193
10.13
問題 1: 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌、銀牌、銅牌。並依照金、銀、
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表。
獎牌
金牌
銀牌
銅牌
跑道
反應時間（秒）
最後時間（秒）
M438：外銷出口
下圖說明Zedland這個國家外銷物品的資訊，這個國家的貨幣名稱為zeds。
1996 年-2000 年 Zedland 年度外銷總額
(單位：百萬 zeds)
2000 年 Zedland 外銷物品分配圖
其它
棉紡織品
肉類
羊毛
其
菸草
它
其它
其它
年
果汁
米
其它
茶葉
其它
(2)連結群組connection cluster
• 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上，
在此問題解決不是例行的，但仍然包含了熟悉
和半熟悉的情境，這些能力如下：
• 思考及推理Thinking and Reasoning
• 包含了擬題(我如何發現？包含了哪一個數學
概念…？) 以及了解答案(以統計圖表、圖示
、代數等方式提供) 的對應意涵，區辨定義和
說法以及說法與說法之間的差異，在與第一次
接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進
行數學概念的了解與處理。
(2)連結群組connection cluster
• 論證Argumentation
• 包含了簡單的數學推理，而不用區辨證明與證
明、論證和推理之間的差異，不同型態的數學
論證的繼續完成，掌握啟思的靈感(如 “什麼
可能發生或不發生？”，或“如果是這樣，理
由為何？”, “我知道什麼以及我想要得到什
麼？”).
(2)連結群組connection cluster
• 溝通Communication
• 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者
書寫的想法，從複製較熟悉物件的命名以及基
本特性，以及解釋計算和其結果(通常不只一
種方式)，到解釋包含關係的事件。它也包含
理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述
。
(2)連結群組connection cluster
• 建模Modelling
• 包含將想要建模的場景或者情境結構化；在賣絡
中將真實轉化成為數學結構，此數學結構不會太
複雜，但絕不是學生所慣常且熟悉的結構。它也
包含模式及真實之間的來回解釋，包含模式結果
的溝通層面。
(2)連結群組connection cluster
• 擬題及解題Problem posing and solving
• 包含問題擬定和形成(超出習過標準簡單問題複製
的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取
向及程序的問題解決)，以及更多較獨立的問題解
決歷程，需在不同的數學領域及表徵和溝通(略圖
、統計圖表、圖示、文字和照片)型態之間進行連
結。
(2)連結群組connection cluster
• 表徵Representation,
• 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼、編碼
以及詮釋；數學物件不同表徵之間的選擇和轉換
；以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨。
• 運用符號、形式化及科技的語言及運算
Using
symbolic, formal and technical language and operations
• 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和
形式語言的解碼和詮釋，以及處理包含符號和公
式的陳述和說法，包含運用變項、解決方程式以
及運用較熟悉的程序進行計算等。
(2)連結群組connection cluster
• 使用輔助工具Use of aids and tools
• 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具，
此種方式和學習及練習的方式不太相同。
• 此類群組的試題通常需要從不同大概念
(overarching ideas)、或者從不同的數學課程主
題、或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連
結的證據。
• 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞
：統整、連結以及習得教材的初步延伸。
• 問題示例：
• 小莉家離學校2公里，而小丁是5公里。
請問小莉家和小丁家的距離有多遠？
• 問題示例：
• 以下是某個國家日報上的兩則廣告，幣制是以
zeds為單位
A大樓
B大樓
辦公室出租
辦公室出租
58-95平方公尺
35-260平方公尺
每個月475zeds
每年每平方公尺
90zeds
100-120平方公尺
每個月800zeds
• 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方
公尺的辦公室，要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜？
請呈現你的想法。
問題示例：
• 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩
，較小的披薩直徑為30公分，定價30元；較
大的披薩直徑為40公分，定價40元。
• 問題1：
哪種披薩比較划算，請寫出你的理由。
(3)反思群組reflection cluster
• 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的
歷程以及運用的反思性( reflectiveness)，
這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問
題情境中實施這些策略有關，相對於連結群組
，反思群組的情境包含較多元素或者可能是更
為「原始」(或者非熟悉)。
(3)反思群組reflection cluster
• 思考及推理Thinking and Reasoning
• 包含擬題 ( “我如何找出...?”, “哪些數學涵
括在...?”, “什麼是問題情境中必要的層面
…?”) 並且理解對應的答案 (如以統計圖表、
代數、圖示，關鍵點的標示等等)；區辨特定
案例的定義、理論、臆測、假設、以及說法的
差別，並且具有反思性或或積極的地釐清這些
區隔；理解並且楚給定數學概念的範圍和限制
，並且將答案進行類推。
(3)反思群組reflection cluster
• 論證Argumentation
• 論證涵括簡單的數學推理，包含區辨證明和論
證、證明和推理的差異；能夠後續完成或者評
估不同型態的數學論證；並且能夠運用啟思法
(e.g. “什麼可能或不可能發生？”, “我知道
什麼，以及我想要得到什麼？”, “哪一個特
性是必要的？”, “這些物件如何相關？”).
(3)反思群組reflection cluster
• 溝通Communication
• 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或
者書寫的想法，數學事件從複製熟悉物件的名稱
和基本特定，以及詮釋計算及其結果(通常以一種
以上的方式進行之)，來解釋事件包含複雜的關係
，如邏輯關係。它也包含理解他人對於相同事件
書寫或者口語的表達。
(3)反思群組reflection cluster
• 建模Modelling
• 包含將想要建模的場景或者情境結構化；在賣絡
中將真實轉化成為數學結構，此數學結構可能較
為複雜，而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大
的差異。它也包含模式及真實之間的來回解釋，
包含模式結果的溝通層面：蒐集資訊和資料，監
控建模的歷程以及確認導致的模式。它也包含針
對各個模式或者建模進行分析、提供批判、以及
投入較複雜的溝通。
(3)反思群組reflection cluster
• 擬題及解題Problem posing and solving
• 包含問題擬定和形成(遠超出習過標準簡單問題複
製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題)，解決此
類問題時除了運用標準化取向及程序，同時也以
更為原始的問題解決歷程，其中需在不同領域和
表徵和溝通型態(略圖、統計圖表、圖示、文字和
照片)中進行連結。它也包含對於策略和解法的反
思。
(3)反思群組reflection cluster
• 表徵Representation,
• 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼、編碼
以及詮釋；數學物件不同表徵之間的選擇和轉換
；以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨。
甚者，它包含有創意的結合表徵以及非標準化表
徵的發明。
(3)反思群組reflection cluster
• 運用符號、形式化及科技的語言及運算
Using
symbolic, formal and technical language and operations
• 包含在較未知的脈絡及情境中針對符號和形式語
言的解碼和詮釋，以及處理包含符號和公式的陳
述和說法，包含運用變項、解決方程式以及運用
計算等。它也包含以不熟悉的符號或形式語言來
處理複雜的陳述和敘述，並且能理解這些語言和
自然語言的差異並進行轉化。
(3)反思群組reflection cluster
• 使用輔助工具Use of aids and tools
• 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉或者較不熟悉
的輔助工具，此種方式和學習及練習的方式不太
相同。它也包含知曉這些輔助工具的限制。
• 測量反思能力群組的評量試題可能以下列的關鍵
描述來表達：進階的推理(advanced reasoning)
、論證(argumentation)、抽象化( abstraction)
、一般化(generalization) 以及應用在新脈絡
的建模( modeling)。
M479：學生身高
______________________________________________________________
問題 1：學生身高
某一天的數學課上，所有學生都測量了身高。男生平均身高 160 公分，女生平均身高 150 公
分。艾蕾娜(Alena)是最高的－她的身高 180 公分。丹尼克(Zdenek)是最矮的－他的身高 130
公分。
那天上課有兩位學生缺席，但隔天他們都有在課堂上。再測量他們的身高，並重新計算平均
身高。令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變。
從這些訊息可以獲得下列何種推論？
每一個推論後面圈出 “是”或“否”。
推論
是否可獲得這個推論
兩位學生都是女生。
是/否
一個學生是男生，另一個是女生。
是/否
兩個學生有相同的身高。
是/否
所以學生的平均高度沒有改變。
是/否
丹尼克仍是最矮的。
是/否
M523：燈塔
燈塔是一座頂端有燈的塔。當船隻要靠岸的時候，燈塔在
夜間可以幫助船找到他們的路。燈塔以有規律的方式發出光亮。
每座燈塔有它自己的週期。下圖你可以看到某個燈塔亮光的週期
。燈號的亮和暗交錯形成一定的規律。
這是一個規律。一段時間後規律會再次重覆。在開始重覆之前的一個完整規律循環所用
的時間，稱之為週期。當你找出一個規律的週期，便很容易延伸上圖來找出下一個、或者數
分鐘、甚至數小時後燈塔的亮、暗情形。
• 問題1：燈塔
下列哪一個是這個燈塔亮、暗的週期？
A.
2秒
B. 3秒
C.
5秒
D.
12秒
問題 3：燈塔
在下圖中畫出一個燈塔的規律，這個燈塔每一分鐘發出亮光 30 秒，亮光規律的週期為六秒
鐘。
• 以複製能力群組而言，該作業的試題都相當雷同
，基本上需要實作知識的複製。
• 而以連結能力群組而言，問題不是簡單的例行性
問題，包含了某種程度的雷同或者延伸情境，在
相似性之外有小幅度的進展。
• 而反思能力群組的作業需求包含了學生的某些洞
察及反思，通常需要學生針對他們結果進行解釋
或者證明。
2012數學素養的定義
個體在不同情境脈絡中，運用形成(formulate)、應
用(employ)以及詮釋(interpret)數學的能力，其包
含數學推理、數學概念、程序、事實以及工具的使
用，來描述、解釋和預測數學現象。數學素養輔助
個體辨識數學在世界中所扮演的角色，並且能做出
具建設性、投入性及反思能力公民所需具備的周延
根據的判斷和決策。
情境脈絡
數學歷程
內容領域
數學模式
真實
世界
情境脈絡
問題
形成
驗證結果
情境脈絡
結果
數學
世界
數學問題
應用
詮釋
數學結果
61
數學歷程
真實
世界
情境脈絡
問題
形成
應用
驗證結果
情境脈絡
結果
數學問題
數學
世界
數學結果
詮釋
1. 「應用」數學概念、事實、程序、推理與工具
1. 界定應用或使用數學的機會
1. 「詮釋」、應用以及評鑑數學結果。對數學的解法及結
2. 執行計算，操弄代數式、方程式或其他數學模式，分析數
2. 將問題從現實世界中轉換到數學領域
果進行反思與詮釋。
學圖表的訊息，發展數學的描述與解釋，以及使用數學工
3. 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理、提
2. 評估與問題情境有關的數學解法或推理，並決定這些結
具來解決問題
供數學結構與表徵，以及確認變項與簡化假設，
果在此情境下是否合理且具有意義
3. 依據問題情境的模式來執行、調整、建立規律、找出連結，
以解決問題
3. 解釋論證，同時反思其建模歷程與結果
62
並產生數學論證
基本數學能力
讀取或了解問題中有意義的陳述、問題、任務、對象、圖像或
溝通
數學化
將現實世界的問題轉化為數學形式
表徵
推理與論證
以方程式、公式、圖形、表格或文字描述情境的數學特徵
運用符號、形式化、
使用數學工具
七項
運用邏輯思維過程來使情境意義化。解釋、辯護或提供證明所
驗證
選用的表徵
制定解題策略
數學術語和運算
形成
動畫
數學能力
應用
選擇或制定策略解決問題
使用合適的變項、符號、圖表與模式
詮釋
使用測量工具、計算機、試算表、圖形顯示器或電腦
63
形成
M161: 三角形
問題 1: 三角形
根據下面敘述，圈出適合的三
角形：
三角形PQR是一個直角三角
形，且直角為R。線段比線段
短、M為線段的中點，且N為線
段的中點。S是三角形內部的
一個點。線段比線段長。
• M704：年度風雲汽車
• 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評
鑑，最高總分的汽車將給予“年度風雲汽車”
的獎賞。以下有五種新車參與評鑑，它們的各
項得分如下表所示：
車
安全性能(S)
省油效能(F)
Ca
3
1
2
3
M2
2
2
2
2
Sp
3
1
3
2
N1
1
3
3
3
KK
3
2
3
2
評分說明如下：
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
外觀(E)
內部配備(T)
應用
問題1：年度風雲汽車
• 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的
加權總和來計算每輛車的總分：
• 總分 = ( 3 × S )+ F + E + T
• 請你計算“Ca”車子的加權總分，把答案寫在下
面的空白處。
• “Ca”車子的總分：”: ................。
形成
問題2：年度風雲汽車
• “Ca”車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公
平的。
• 請寫出一個可以使 “Ca”車子是贏家的計算加權
總分公式。
• 你的公式必須包含了全部四個變項，請你在下列
方程式中的四個空格填上正數來完成公式。
• 總分=___×S +___×F +___×E +___×T.
• M537：心跳
• 為了健康的理由，人們應該控制他們的活動量，例如運動
時，才不會超出特定的心跳頻率範圍。
• 數年來，個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用
以下的公式：
• 最大心跳速率 = 220 - 年齡
• 最近研究顯示這個公式應略為修正。新的公式如下：
•
最大心跳速率 = 208 - ( 0.7 × 年齡 )
應用
問題1：心跳
• 某家報紙報導：「使用新公式推算每分鐘最大心
跳的結果，年輕人的數據略為減少，而老年人略
為增加」。
• 請問使用新公式推算，從哪一個年齡層起的最大
心跳速率開始增加。
形成
問題2：心跳
• 推算最大心跳速率的公式：208 - ( 0.7 × 年齡 )，
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的。研
究指出當心跳是最大心跳速率的80%時，此時體
能訓練最有效。
• 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計
算公式。
• M525：減少二氧化碳(CO2)濃度
• 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的
增加會導致氣候的改變。下圖顯示幾個
國家在1990年(白色長條)和1998年(黑
色長條)二氧化碳的排放量，以及在
1990年到1998年之間排放量改變程度
的百分比(箭頭代表百分比)。
應用
問題1：減少二氧化碳(CO2)濃度
• 上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化
碳排放量增加了11%。
• 寫出計算過程說明11％是如何知道的。
詮釋
問題2：減少二氧化碳(CO2)濃度
• 佩娟分析圖表後，指出她發現在排放量改變程
度的百分比中有一個錯誤：「德國減少的百分
比(16%)大於整個歐洲所減少的百分比(4%)。
這是不可能的，因為德國是歐洲的一部分。」
• 你同意佩娟的說法嗎？給一個解釋來說明你的
答案。
詮釋
問題3：減少二氧化碳(CO2)濃度
• 佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的
排放量增加最多。
• 兩個人從上圖產生不同的結論。
• 根據這個問題提出兩種「正確」答案，並且解釋
你如何得到這些答案。
M465:水箱
問題 1: 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示。
一開始水箱是空的，然後以每秒一
公升的速度注水。
下列哪個圖是水箱注水時，水面高度隨時
間的變化？
形成
歷程
能力
形成數學情境
應用數學概念、事詮釋、應用與評估
實、程序與推理
… 當個體需要直 … 將現實世界的
接將情境轉化為問題轉化為數學
數學時就需要數形式
學化的能力
…解釋與問題情
數學化 … 辨識情境是清境有關的數學解
楚、明確的，或法或數學模式
是有假設、變項、
間的關係與限
制…
數學結果
…將數學模式和解
法與原問題做聯
結
…詮釋並評估數學
結果可能涉及的
影響
…根據情境判斷或
決定數學結果如
何被調整或應用78
歷程
能力
形成數學情境
應用數學概念、事
實、程序與推理
詮釋、應用與評估
數學結果
溝通
溝通的接收面是當一個試題聚焦一旦個體解釋或
(Communication) 很重要的，個體察在應用數學概念、評估數學解法的合
覺到挑戰的存在並事實、程序與推理，
理性，他/她就可
去認識與理解問題個體需要能夠閱讀能會將此解法解釋
情境。讀取、解碼並理解試題所提供或論證給其他人。
以及有意義的陳述、
的刺激，如果一部這涉及到在問題情
問題、任務、對象、
分的刺激能夠視覺境脈絡中溝通並建
圖像或動畫(在電化表示，就必須與構解釋與論證，並
腦化評量中)使個試題情境脈絡中的反思解法被證明或
體能形成情境的思資訊相連結，接著推翻的可能性，同
維模式，這是理解、
提出解法或是能達時也可能涉及識別
澄清並形成數學問到解決方案的工作。
與批判解題模式或
題的重要步驟。
是數學解法的限制。
79
歷程
形成數學情境
應用數學概念、
事實、程序與推理
詮釋、應用與評
估數學結果
能力
數學化
數學化是將現實此歷程著重在將數學化不僅要將
(Mathematising) 世界的問題轉化為現實世界的問題轉現實世界的問題轉
數學形式，當個體化為數學形式，或化為數學形式，同
需要直接將情境轉者解釋一個與問題時也要此數學模式
化為數學時就需要情境脈絡有關的數或數學解法與原來
數學化的能力(例學解法或數學模式。
問題進行關聯。詮
如建構或構思相關如果作業或問題是釋並評估數學結果
的情況，或是識別以數學形式表示，可能涉及將現實世
與選擇相關變項)。個體只需應用數學界的影響納入考量，
在情境是清楚而明概念、事實或程序，
同時根據情境判斷
確的，或是有許多就不涉及數學化的決定結果應如何被
假設、變項、關係能力。問題若是特調整或應用。個體
與限制需要被界定別強調此歷程，則在應用解法至真實
時，數學模式的建在構思數學問題或世界時，需了解數
立便因應而生。是解釋問題解法上學解法的範圍與限
仍需某些程度的數制。
學化。
80
歷程
形成數學情境
應用數學概念、
事實、程序與推理
能力
表徵
個體面臨現實世個體在應用數學
(Representation 界的問題與挑戰時概念、事實、程序
)
需要將問題以數學與推理來解決問題
表示，因此需要選時可能會運用一系
擇或擬訂數學表徵，
列的數學表徵，其
如方程式、公式、中包括方程式、公
圖形、表格、文字式、圖形、表格、
敘述等具體數學素文字敘述等。
材，以捕捉或描述
情境脈絡的數學特
徵。
詮釋、應用與評
估數學結果
數學結果可能會
有多種形式，包括
方程式、公式或圖
形表徵，個體可能
需要去解釋結果與
情境間的關係，或
是去使用、比較或
評估兩個或多個表
徵與情境間的關係。
不同的個體可能會
使用不同的表徵來
解釋或證明數學解
法，以及限制。
81
歷程
能力
推理與論證
(Reasoning &
argument)
形成數學情境
個體需要運用邏
輯思維過程來使情
境意義化，並決定
如何表徵情境才是
最好的。同時個體
也可能需要對其所
選擇的表徵提供解
釋、辯護或證明。
應用數學概念、
事實、程序與推理
詮釋、應用與評
估數學結果
個體需要運用邏
輯思維來確定何種
概念、事實與程序
可用來解決問題。
同時個體也可能需
要對其所選擇的歷
程與程序去解釋、
辯護或提供證明。
推理可能涉及到如
何連接不同的訊息
以達到一個解決方
法，分析訊息以成
立一個多步驟的論
證，建立數個變項
之間的連結，根據
連結的訊息資源來
推理，或是概括並
結合多個訊息。
在數學結果的詮
釋、應用與評估歷
程中，個體能夠清
楚且邏輯地思考數
學結果與問題情境
脈絡之間的關係。
推理與論證都是個
體用來反思數學解
法，並創造解釋與
論點來支持或反駁
一個情境化問題的
數學解法。
82
歷程
形成數學情境
應用數學概念、
事實、程序與推理
詮釋、應用與評
估數學結果
能力
制定解題策略
確認問題的存在在建立一個數學個體在解釋、應
(Devising strategies 並解決、擬定代表問題的解法時，個用與評估數學結果
for solving
情境的數學表徵，體需要進行一個系時，可能需要擬訂
problems )
個體需要制定一個統性的歷程來確定策略來引導出解釋、
策略來決定問題的未知訊息，並決定評估與驗證情境問
解法，即使他們沒合適的策略來達成題的數學解法。他
有實際解決問題。數學解法、結論或們需要根據來自試
這種能力的特點在概括。他們可能還題情境脈絡的不同
於選擇或制定一個需要進行一個多步情境或限制，制定
使用數學的計畫或驟的程序來有效且一個系統化的歷程
來評估解法。
策略解決來自任務持續地控制此機制。
或情境脈絡中的問
題。
83
歷程
能力
運用符號、形式
化以及科技的語言
及其運算(Using
symbolic, formal
and technical
language and
operations )
形成數學情境
應用數學概念、
事實、程序與推理
詮釋、應用與評
估數學結果
當針對問題情境確定數學解法後，在解釋、應用與
進行轉化或提供數個體需要去理解、評估數學結果時，
學結構時，個體需操弄與使用符號表個體需了解與數學
要使用合適的變項、
達，如算術與代數，
解法的變項、符號
符號、圖表與模式。
同時也需要去了解與圖表。重要的是，
重要的是，個體需並利用定義、規則因為理解問題情境
了解問題的語言與所建立的架構。符脈絡與數學解法表
形式上或符號上的號、形式、技術語徵之間的關係，因
語言之間的關係。言與操作的活動包此他們可以有意義
括執行基本算術運且合適地去詮釋情
算，應用並操作數境脈絡中的解法，
學符號或函數關係，
並衡量其可行性與
可能的限制。
以及使用數學規則、
定義與程序。
84
歷程
形成數學情境
應用數學概念、
事實、程序與推理
詮釋、應用與評
估數學結果
能力
運用數學工具
在某些情境下可數學工具如測量數學工具，特別
(Using
能是指特定的數學工具、計算機與電是計算機與電腦化
mathematical tools) 工具，如測量工具、
腦化工具將可更廣工具，對於想要試
圖形計算器或試算泛地使用。此能力圖確定一個數學解
表，這些工具在確包括了解並能夠使法之合理性及限制
認數學結構以及描用各種工具，來協的個體來說，是相
繪數學關係相當有助歷程與程序的進當寶貴的輔助工具。
幫助。
行以確認數學解法，
同時也涉及了是否
理解工具使用的適
當時機與侷限性。
85
試題表現
從困難的題目談起
Harder than Expected
• 多個不同時間點圖表的呈現，學生對於資料改變
的報讀、解讀。
• 統計
Harder than Expected
• 一組評定的運動技能分數(例如：溜冰、跳水)，
在已知的計算規則下，計算一次表現的得分。
• 數量
• M704：年度風雲汽車
• 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評
鑑，最高總分的汽車將給予“年度風雲汽車”
的獎賞。以下有五種新車參與評鑑，它們的各
項得分如下表所示：
車
安全性能(S)
省油效能(F)
Ca
3
1
2
3
M2
2
2
2
2
Sp
3
1
3
2
N1
1
3
3
3
KK
3
2
3
2
評分說明如下：
3分=極佳
2分=良好
1分=尚可接受
外觀(E)
內部配備(T)
問題1：年度風雲汽車
• 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的
加權總和來計算每輛車的總分：
• 總分 = ( 3 × S )+ F + E + T
• 請你計算“Ca”車子的加權總分，把答案寫在下
面的空白處。
• “Ca”車子的總分：”: ................。
問題2：年度風雲汽車
• “Ca”車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公
平的。
• 請寫出一個可以使 “Ca”車子是贏家的計算加權
總分公式。
• 你的公式必須包含了全部四個變項，請你在下列
方程式中的四個空格填上正數來完成公式。
• 總分=___×S +___×F +___×E +___×T.
• M537：心跳
• 為了健康的理由，人們應該控制他們的活動量，例如運動
時，才不會超出特定的心跳頻率範圍。
• 數年來，個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用
以下的公式：
• 最大心跳速率 = 220 - 年齡
• 最近研究顯示這個公式應略為修正。新的公式如下：
•
最大心跳速率 = 208 - ( 0.7 × 年齡 )
問題1：心跳
• 某家報紙報導：「使用新公式推算每分鐘最大心
跳的結果，年輕人的數據略為減少，而老年人略
為增加」。
• 請問使用新公式推算，從哪一個年齡層起的最大
心跳速率開始增加。
問題2：心跳
• 推算最大心跳速率的公式：208 - ( 0.7 × 年齡 )，
也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的。研
究指出當心跳是最大心跳速率的80%時，此時體
能訓練最有效。
• 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計
算公式。
Harder than Expected
• 給定一個圖形，判斷由此圖形鋪排而成的可能圖
形(或不可能圖形)。
• 組型、幾何
Harder than Expected
• 給定一組跑步時間，判斷第幾快者。
• 數量
• M432: 反應時間
• 在一個短跑競賽的事件裡，「反應時間」是指
鳴槍後
• 到運動員開始起跑的時間，「最後時間」包含
了反應時間
• 和起跑後到終點的跑步時間。
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間：
跑道
反應時間（秒）
最後時間（秒）
1
0.147
10.09
2
0.136
9.99
3
0.197
9.87
4
0.180
沒跑完
5
0.210
10.17
6
0.216
10.04
7
0.174
10.08
8
0.193
10.13
問題 1: 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌、銀牌、銅牌。並依照金、銀、
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表。
獎牌
金牌
銀牌
銅牌
跑道
反應時間（秒）
最後時間（秒）
問題 2: 反應時間
• 目前為止，沒有人能夠在短於鳴槍後的0.110
秒內開始起跑。
• 如果跑者被記錄的反應時間少於0.110秒，那
必須考量跑者的起跑有問題，因為跑者一定在
聽見槍響前就起跑。
• 獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間，他是
否會有機會獲得銀牌？請寫出一個理由來解
釋你的答案。
Harder than Expected
• 給定一個公式，例如煞車距離，因應晴天與雨天
不同的狀態嘗試調整公式
• M215: 刹車
• 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩
種距離的總和：
• 當司機開始準備踩煞車前的距離(反應時間的距離)
• 踩下煞車後的距離(煞車距離)
• 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下(一個特別靈
敏的司機、正常的煞車系統和輪胎，以及乾燥且平整的路
面)，停止距離如何受到行車速度快慢的影響。
其中 KPH 是
指公里/小時
問題 1: 煞車
• 若車子的速度為110 kph，則司機反應時間的
距離為多少？
問題 2: 煞車
• 若車子速度為110 kph，則車子完全停止所需
距離是多少？
問題 3: 煞車
• 若車子速度為110 kph，則完全停住需要多少
時間？
問題 4: 煞車
• 若車子速度為110 kph，則踩煞車後所移動的距
離為何？
問題 5: 煞車
• 第二位司機，在良好的情況下，完全停止所需距
離為70.7米。則踩煞車前的行駛速度是多少？
Harder than Expected
• 給定兩個圖表(可能單位略有不同)，進行兩個統
計圖表的整合。
• 進行數量的計算。
• 統計圖表
• M525：減少二氧化碳(CO2)濃度
• 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的
增加會導致氣候的改變。下圖顯示幾個
國家在1990年(白色長條)和1998年(黑
色長條)二氧化碳的排放量，以及在
1990年到1998年之間排放量改變程度
的百分比(箭頭代表百分比)。
問題1：減少二氧化碳(CO2)濃度
• 上圖中可以看出美國從1990年到1998年二氧化
碳排放量增加了11%。
• 寫出計算過程說明11％是如何知道的。
問題2：減少二氧化碳(CO2)濃度
• 佩娟分析圖表後，指出她發現在排放量改變程
度的百分比中有一個錯誤：「德國減少的百分
比(16%)大於整個歐洲所減少的百分比(4%)。
這是不可能的，因為德國是歐洲的一部分。」
• 你同意佩娟的說法嗎？給一個解釋來說明你的
答案。
問題3：減少二氧化碳(CO2)濃度
• 佩娟和伯凱討論哪一個國家(或地區)二氧化碳的
排放量增加最多。
• 兩個人從上圖產生不同的結論。
• 根據這個問題提出兩種「正確」答案，並且解釋
你如何得到這些答案。
Harder than Expected
• 規則的判讀和推演
• M480：依據面積大小來支付
• 住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓。居民依
據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需
支付的金額。
• 例如：住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將
支付整棟大樓總價的五分之一。
問題1：依據面積大小來支付
判斷以下的敘述，並圈出正確或不正確
敘述
正確/不正確
住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢，比住家
正確/不正確
面積最小的居民更多。
如果已知兩個住家的面積，和其中一個住家所需付的金
正確/不正確
額，我們可以計算另一個住家所需付的金額。
假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金
正確/不正確
額，則可算出大樓的總面積。
假如大樓的總價減少 10%，那麼每個住家可以減少支付
正確/不正確
10%。
問題2：依據面積大小來支付
• 大樓中有三個住家。最大的住家面積有95平方公
尺；住家二和住家三的面積分別為85及70平方公
尺。已知大樓的總價是30,000 zeds。
• 問住家二的居民應該支付多少錢？寫出你的計算
過程。
Harder than Expected
• 幾何圖形的視角判斷
• M535：旋轉的建築
• 在現代的建築風格中，建築物通常會有不規則
的形狀。下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模
型和建築一樓的樓面設計。下圖指針的指向是
建築物的方向。
建築物的一樓包含了主要的入口和商店。在一樓之上還有另外20層
的公寓。
每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似。但每一層之間的
方向都有一些差異。圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台。
問題1：旋轉的建築
• 以公尺為單位，請估算建築物的總高度，並解釋
你如何得到答案。
下圖是這座建築物的側面圖。
問題2：旋轉的建築
「側面一」是從哪一個方位畫出來的？
• A.
從北邊。
• B.
從西邊。
• C.
從東邊。
• D.
從南邊。
問題3：旋轉的建築
「側面二」是從那一個方位畫出來的？
• A.
從西北。
• B.
從東北。
• C.
從西南。
• D.
從東南。
問題4：旋轉的建築
每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的“旋
轉”。頂樓(一樓之上的第二十層樓)和一樓方
向互為直角。下圖是一樓的平面圖。
在這個圖上畫出一樓之上的第10層樓的平
面圖，並顯示此層樓相對於一樓的位置。
試題表現
簡單的題目….
Easier than Expected
• 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變。
• 函數圖形
M465:水箱
問題 1: 水箱
水箱的形狀和尺寸如右圖所示。
一開始水箱是空的，然後以每秒一
公升的速度注水。
下列哪個圖是水箱注水時，水面高度隨時
間的變化？
Easier than Expected
• 計算複合圖形(如跑道)的距離，以及比較不同路
線的差異。(例如，跑400公尺時，要怎麼安排各
個跑道的起始點)
Easier than Expected
• 平均數的算法，例如身高的平均、結論的可能性
判讀
M479：學生身高
• 問題1：學生身高
• 某天數學課，所有的學生都量了身高。男生平
均身高為160公分，女生平均身高為150公分
。慧倫是最高的---她的身高為180公分。忠義
是最矮的---他的身高為130公分。
• 那天有兩位學生缺席，但隔天他們都來上課了
。他們也量了身高，並且重新計算平均身高。
令人驚訝的是，男生和女生的平均身高都沒有
改變。
• 從這個訊息可以得到下列何種結論？
判斷每一種結論，並圈出 “是”或“否”。
結論
是否可以得到結論
兩位學生都是女生。
是/否
一個學生是男生，另一個是女生。
是/否
兩個學生有相同的身高。
是/否
所以學生的平均高度沒有改變。
是/否
忠義仍是最矮的。
是/否
Easier than Expected
• 簡單機率事件的計算
• 擲銅板、骰子…
M471：公平的轉盤
問題1：公平的轉盤
轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行。
如果指針箭頭停在奇數的位置，那麼玩的
人可以從袋子裡抽出一個彈珠。轉盤和袋
子裡的彈珠如下圖所示。
如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品。小書想玩一次
這個遊戲。
請問小書得到獎品的可能性為何？
• A. 不可能
• B. 不太可能
• C. 大約50%的可能
• D. 非常有可能
• E. 一定可以
Easier than Expected
• 在生活情境中，找出數量的規律，並進行常見公
式的推導
• 如頻率與溫度的共變、華氏與攝氏溫度的轉換
M136: 蘋果
一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園
。為了保護蘋果樹不怕風吹，他在蘋
果樹的周圍種針葉樹。
在下圖裡，你可以看到農夫所種植蘋
果樹的列數(n)，和蘋果樹數量及針葉
樹數量的規律：
問題 1: 蘋果
完成下表:
n
1
2
3
4
5
蘋果樹個數
1
4
針葉樹個數
8
問題 2: 蘋果
你可以用以下的2個公式來計算上面提到的蘋果
樹數量及針葉樹數量的規律：
蘋果樹的數量 = n2
針葉樹的數量 = 8n
n代表蘋果樹的列數
當n為某一個數值時，蘋果樹數量會等於針葉樹
數量。找出n值，並寫出你的計算方法。
• 問題 3: 蘋果
• 若農夫想要種更多列，做一個更大的果園，當農
夫將果園擴大時，那一種樹會增加得比較快？是
蘋果樹的數量或是針葉樹的數量？解釋你的想法
。
Easier than Expected
• 給定三角形的兩邊，判斷第三邊的範圍
Easier than Expected
• 給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形，並
計算每個正方形的面積
M266: 木匠
問題 1: 木匠
木匠有32公
尺的木材且
想要在花圃
周圍做邊界。
他考慮將花
圃設計成以
下的造型。
上面花圃的設計是否可以用長度 32 公尺的木板來圍成，在下表中圈出是或否。
花圃的設計
是否能用長度 32 公尺的木板圍成
設計 A
是/否
設計 B
是/否
設計 C
是/否
設計 D
是/否
結語
• 從情境的訴求對台灣學生而言，有一定的熟悉度
。
• 試題情境的真實性對學生而言可能是最具吸引力
之處。
• 推理、溝通、論證將是我們追求的重要方向。
• 能力的深化是臺灣數學教育面臨的挑戰。
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數學能力

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