Transcript 數學素養命題與活動設計 - 新北市國教輔導團總網

數學素養-命題與活動設計
新北市國民教育輔導團
什麼是素養

民主素養

音樂素養

媒體素養

資訊素養

文學素養

數學素養
新北市立 福和國民中學，李進福
生活中常用的數學技巧

分類



找出區別的要素
抽象化

食地圖)
總和不變

投資一定會賺錢?

找規律

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路線圖(捷運、登山、美
倒垃圾的時間
需要數學背景的人才


美國，文藝復興科技公司

一百四十名員工

只有一位金融博士

將近二分之一的員工，都是數理相關博士
寶來證券金融市場事業群

七十多位員工

將近三分之一具有數理、財金雙重背景
(遠見雜誌, 2006, 第238期)
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需要數學背景的人才

證券金融業


保險業


可被執行的理財策略
銷售保單時要算年金終值、年金現值
科技產業

跳脫代工格局，發展創新製程和產品

調整參數，得運用很多數學模型去模擬結果
(今周刊,第368期)
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數學素養的定義(OECD/PISA)
Mathematical literacy is an individual’s
capacity to identify and understand the role
that mathematics plays in the world, to make
well-founded judgements and to use and engage
with mathematics in ways that meet the needs of
that individual’s life as a constructive,
concerned and reflective citizen.
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數學素養的定義(OECD/PISA)


個體能…

辨認與了解數學在世界所扮演的角色

進行有根據的判斷

針對個體在生活中的需求運用或投入數學活動
成為一個積極的、關懷的、反思的公民
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數學素養的定義(OECD/PISA)

Mathematical literacy


the world


數學知識應用在不同的脈絡與不同的方面所需
要的反思與洞察能力。
個人所居住的自然、社會與文化的環境
to use and engage with

溝通、採取方式、關聯、評估甚至於欣賞數學
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數學教育的定位


舊時代

菁英教育

為孕育科學家、專業科技人才作準備

強調數學的知識與技能
現代

一種工具、公民素養

不是知道多少數學，而是能夠運用知道的數學
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現實問題的體驗：服務費與折扣

餐廳要加收一成服務費

持餐廳會員卡結帳可以優惠打九折

店員回答：「扣掉原本要加的服務費，直接付
餐費即可。」
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現實問題的體驗：打折與加稅


消費者購買東西時

先打折，再加稅

先加稅，再打折
消費者付的錢一樣（數學結果相同）

對商家呢？

對政府稅捐機關呢？
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現實問題的體驗：聯合壟斷

某島國只有兩家石油公司，分別是台大石油
公司與中華石油公司

假設這兩家石油公司不暗中勾結聯合壟斷


台大石油每年可賺 2 千億

中華石油可賺 1 千億。
假設這兩家石油公司暗中勾結聯合壟斷

每年可共同獲利 7 千億
如何「公平的」瓜分這 7 千億？
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現實問題的體驗：聯合壟斷─2

答案 1：

「均分」最「公平」
兩家公司各得 7/2 千億。

答案 2：

台大石油的「獲利能力」是中華石油的 2 倍

按照獲利能力分配才「公平」
 台大石油應得
14/3 千億
 中華石油應得
7/3 千億。
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現實問題的體驗：聯合壟斷─3

答案 3：

兩家石油公司勾結壟斷之後「共同多出來的盈
餘」(邊際貢獻)是 7—2—1＝4 千億

所以兩家均分這多得的4 千億才公平
 台大石油得到
4 千億(2+2)
 中華石油得到
3 千億 (1+2)
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PISA試題(反應時間)

在一個短跑競賽的事件裡，

「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑
的時間，

「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終
點的跑步時間。
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PISA試題(反應時間)
下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間：
跑道
反應時間（秒）
最後時間（秒）
1
0.147
10.09
2
0.136
9.99
3
0.197
9.87
4
0.180
沒跑完
5
0.210
10.17
6
0.216
10.04
7
0.174
10.08
8
0.193
10.13
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PISA試題(反應時間)
問題 1: 反應時間
找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌、銀牌、銅牌。並依照金、銀、
銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表。
獎牌
跑道
金牌
銀牌
銅牌
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反應時間（秒）
最後時間（秒）
PISA試題(租金)

以下是某個國家日報上的兩則廣告，幣制是
以zeds為單位
A大樓
B大樓
辦公室出租
辦公室出租
58-95平方公尺
35-260平方公尺
每個月475zeds
每年每平方公尺90 zeds
100-120平方公尺
每個月800 zeds
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PISA試題(租金)

如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個
110平方公尺的辦公室，要租A或B哪一棟大
樓的租金較便宜？請呈現你的想法。
A大樓
B大樓
辦公室出租
辦公室出租
58-95平方公尺
35-260平方公尺
每個月475zeds
每年每平方公尺90 zeds
100-120平方公尺
每個月800 zeds
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PISA試題(學生身高)

某一天的數學課上，所有學生都測量了身高

男生平均身高160公分，女生平均身高150
公分。

艾蕾娜(Alena)是最高的


她的身高180公分。
丹尼克(Zdenek)是最矮的

他的身高130公分。
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PISA試題(學生身高)

那天上課有兩位學生缺席，但隔天他們都有
在課堂上。

再測量他們的身高，並重新計算平均身高。

令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有
改變。

從這些訊息可以獲得下列何種推論？
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PISA試題(學生身高)
推論
是否可獲得這個
推論
兩位學生都是女生。
是/否
一個學生是男生，另一個是女生。
是/否
兩個學生有相同的身高。
是/否
所以學生的平均高度沒有改變。
是/否
丹尼克仍是最矮的。
是/否
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數學解題(Polya G., 1945)
釐清問題
擬定計劃
實現計劃
回顧
解題三部曲(胡炳生, 1991)
原題
純數學問題
數學化設計
觀察
標準題
標準化設計
聯想
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轉化
求解
數學解題模式(Ilany & Margolin, 2008)
讀題
以一般語
言理解
以數學語
言理解
將數學語言轉
換成一般語言
形成與組
織想法
執行想法
回顧
數學素養的展現（PISA)
真實世界
數學世界
形成模式
情境脈絡裡的問題
數學問題
使用數學
確認答案
情境脈絡裡的答案
情境與數
學間的溝
通
問題數
學化
使用及轉
換表徵
詮釋答案
數學解答
推理及論
述
發展策略
內蘊的數學力
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使用符號、
形式及術語
與運算
使用數
學輔助
工具
情境問題解決內蘊的數學力

情境與數學間的溝通 (Communication)

強調對情境脈絡的理解
 辨識出脈絡裡存在的問題及挑戰。
 理解的歷程包含閱讀、解碼、理解各種呈現方式的資
訊（如敘述、圖表、影像、及動畫）
 用來形成一個關於情境脈絡問題的心智模式。
 進一步形成數學問題
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情境問題解決內蘊的數學力

問題數學化 (Mathematising)

將真實情境脈絡的問題轉化成一個數學形式
 將情境結構化或概念化
 找出重要的變因
 澄清與定義情境中的假設、變數、關係、和限制
 給出數學模式
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情境問題解決內蘊的數學力

使用及轉換表徵 (Representation)

用數學表徵呈現真實情境脈絡。
 包含方程式、圖表、圖形、文字敘述、具體物，及各
種表徵之間的轉化。
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情境問題解決內蘊的數學力

推理和論述 (Reasoning and argument)

應用邏輯思考能力判斷以某種數學表徵呈現情
境脈絡的合理性
 包含解釋、辯駁或檢證所形成的數學表徵
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情境問題解決內蘊的數學力

發展策略 (Devising strategies)

發展及決定解決問題的策略
 辨別或發展或給出數學形式的答案
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情境問題解決內蘊的數學力

使用符號、形式及術語與運算 (Using
symbolic, formal, and technical
language and operations)

將情境脈絡轉化成數學結構時，能恰當的使用
辨識、符號、圖表、模型

同時理解問題語言和形式語言或符號語言之間
的關係
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情境問題解決內蘊的數學力

使用數學輔助工具 (Using mathematical
tools)

在特定情況之下，具備使用數學工具（如測量
工具、繪圖工具、Excel報表等）來辨識情境脈
絡裡的數學結構或者描繪出數學關係
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能力群組
複製
連結
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反思
學生的反應

數學成績好的喜歡一般(標準傳統)數學問題

數學成績不好的，喜歡數學素養(情境)的問
題

不論數學程度好或不好都對一般(標準傳統)
數學問題較有自信。
( 鄧家駿 , 2011 )
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數學素養命題的架構
數學內容
情境脈絡
改變和關係 學生個人生活的
解題步驟
將情境問題轉化成
數學問題
空間與圖形 教育/職業的
量
社會性的
不確定性
科學性的
數學力
情境與數學間的溝通
問題數學化
使用數學概念、事
實、步驟、和推理
使用及轉換表徵
推理和論述
詮釋、應用及評鑑
數學結果
發展策略
使用符號、形式及術語與
運算
使用數學輔助工具
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素材

網路文章

摩天輪
想法

有兩個摩天輪的資料，如何運用?

裏面有數學嗎?

資料的整理
 統計

比較的工具
 比例、時間、速度

可以連結至幾何嗎?
第一次問題設計

請設計一個表格，以方便比較美麗華摩天輪
和夢時代摩天輪的異同

兩個摩天輪的大小不同，所以車廂數也不同
。你覺得那一個摩天輪的車廂安排比較寬鬆
，為什麼？可以推算出劍湖山的摩天輪有幾
個車廂嗎？

夢時代摩天輪繞行一周所花費的時間較短，
坐在上面的乘客會覺得旋轉的速度比美麗華
的快嗎？為什麼？
第一次問題設計

在第1題中有些資料只有一個，無法作比較
。你可以將它推算出來嗎？

兩個摩天輪的全票票價皆為150元，請問，
這兩個摩天輪一天的營業額最多可能是多少
？（營業時間：11:00~24:00）
第二次問題設計

摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建築設施，
上面掛在輪邊緣的是供乘客乘搭的座艙。乘
客坐在摩天輪慢慢的往上轉，可以從高俯瞰
四周景色。大型摩天輪的轉動是持續不停止
的，因為大型摩天輪的轉動緩慢，所以在車
廂到達地面高度的時候，乘客可以從容地搭
上車廂或從車廂下來。
第二次問題設計

某都市有A、B兩座摩天輪，其中A摩天輪直
徑70公尺，共設有48個車廂；B摩天輪直徑
50公尺，共有36個車廂。搭乘A摩天輪繞行
一圈約費時17分鐘，B摩天輪繞行一周約耗
時15分鐘。
第二次問題設計

小奇一家人利用某天假日搭乘B摩天輪瀏覽
城市風光，在搭上B摩天輪的車廂後約幾分
鐘，車廂會到達摩天輪的最高點？
第二次問題設計

B摩天輪總共有36個車廂，將B摩天輪的車
廂依序編號1~36號。小奇的爸爸搭上1號
車廂之後，小奇搭上了7號車廂。若每位乘
客搭乘一次摩天輪只能繞行一圈，請問爸爸
的車廂在繞完一圈到達地面之後，小奇的爸
爸必需等待幾分鐘，小奇的車廂就會到達地
面？
第二次問題設計

兩個摩天輪的大小不同，所以車廂數也不同
。你覺得那一個摩天輪，相臨兩車廂安排的
間距比較寬鬆，為什麼？
第二次問題設計

兩個摩天輪繞行一周所花費的時間不相同，
你認為坐在摩天輪的車廂裡面時，哪一個摩
天輪的車廂移動速度比較快？為什麼？