有理函數的圖形 - Proera

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微積分數位化教材
C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University
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




有理函數定義
有理函數的定義域
有理函數的圖形
漸近線
部分分式
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2

當 𝑝(𝑥) 及 𝑞(𝑥) 為多項式函數時,則稱
𝑝(𝑥)
𝑓 𝑥 =
𝑞(𝑥)

為一個有理函數(Rational function)。
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
有理函數

的定義域為
𝑝(𝑥)
𝑓 𝑥 =
𝑞(𝑥)
𝑥 ∈ 𝑅| 𝑞(𝑥) ≠ 0
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
函數

的定義域

為
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1
𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 ≠ ±1
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
函數

的定義域

為𝑅
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑓 𝑥 =
𝑥2 + 1
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𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1

圖形為
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

1.
2.
有理函數的定義域不包括分母多項式函數的零
根
而其函數圖形在接近這些零根時,例如a,通
常有兩種行為
當 x 越來越接近 a 時函數值的絕對值越來越
大,圖形越來越接近一條鉛垂直線 𝑥 = 𝑎。
函數圖形在 𝑥 = 𝑎 時有一個中斷點。
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


有理函數
𝑥3 − 1
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 −1
因為
𝑥 3 − 1 (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)
=
2
𝑥 −1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑓 𝑥 的定義域為 𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 ≠ ±1 ,其圖形為
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𝑥3 − 1
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 −1

圖形為
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1.
當 x 越來越接近 −1 時函數值絕對值
𝑥3 − 1
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 −1
越來越大
圖形越來越接近一條鉛垂直線 𝑥 = −1。
2.
函數圖形在 𝑥 = 1 時有一個中斷點。
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
1.
2.
令 𝑓 𝑥 為一有理函數,而 a 不在函數的定義
域裏,則有下列兩種現象發生
當 x 越來越接近 a 時函數值的絕對值越來越
大,則稱垂直線 𝑥 = 𝑎 為函數 𝑓 𝑥 的一條垂
直漸近線(Vertical asymptote)。
函數在 𝑥 = 𝑎 時中斷,稱這點為一可移除不
連續點(Removable discontinuity)。
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


有理函數
𝑝(𝑥)
𝑓 𝑥 =
𝑞(𝑥)
當 𝑝(𝑥) 及 𝑞(𝑥) 多項式的次數相同時,則在 x
越來越大時,有理函數 𝑓 𝑥 的圖形越來越接
近一條水平線
例如有理函數
3𝑥 2 + 𝑥 − 1
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1
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3𝑥 2 + 𝑥 − 1
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1
的圖形
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
則在 x 越來越大時,有理函數 𝑓 𝑥 的圖形越
來越接近一條水平線 𝑦 = 𝑎,
則稱水平線 𝑦 = 𝑎 為有理函數 𝑓 𝑥 的
水平漸近線 (Horizontal asymptote)。
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
函數
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1
的定義域為 𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 ≠ ±1
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𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1

圖形為
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


點
3
(1, )
2
為一可移除不連續點
直線 𝑥 = −1 為一垂直漸近線
直線 𝑦 = 1為一水平漸近線
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

並非所有有理函數都有水平漸近線,若是
deg 𝑝(𝑥) > deg 𝑞(𝑥)由除法原理可得
𝑝 𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑟(𝑥)
其中 deg 𝑟(𝑥) < deg 𝑞(𝑥) ,所以
𝑝(𝑥)
𝑟(𝑥)
𝑓 𝑥 =
=𝑔 𝑥 +
。
𝑞(𝑥)
𝑞(𝑥)
而在 x
𝑟(𝑥)
越來越大時,
𝑞(𝑥)
越來越接近0,因此在
x 越來越大時有理函數 𝑓 𝑥 的圖形越來越接近
多項式 𝑔 𝑥 的圖形。
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
有理函數
因為
𝑥4 − 𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1
𝑥4 − 𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑥+2
2
=𝑥 + 2
2
𝑥 −1
𝑥 −1
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

圖形
在 x 越來越大時有理函數 𝑓 𝑥 的圖形越來越
接近多項式 𝑦 = 𝑥 2 的圖形
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


有理函數
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
實係數多項式 𝑞(𝑥) 必可因式分解為實係數的
一次或不可分解之二次因式的乘積
我們可以把有理函數
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
改寫成用 𝑞(𝑥) 的因
式所形成的有理函數的和。
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當
 𝑞 𝑥
= (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 )𝑛1 ⋯ (𝑎𝑘 𝑥 + 𝑏𝑘 )𝑛𝑘
(𝑐1 𝑥 2 + 𝑑1 𝑥 + 𝑒1 )𝑚1 ⋯ (𝑐𝑙 𝑥 2 + 𝑑𝑙 𝑥 + 𝑒𝑙 )𝑚𝑙

其中 𝑑𝑖 2 − 4𝑐𝑖 𝑒𝑖 < 0,𝑖 = 1, ⋯ , 𝑙 , 則
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
𝑘
𝑛𝑖
𝐴𝑖𝑗
=
𝑗
𝑖=1
𝑗=1 (𝑎𝑖 𝑥 + 𝑏𝑖 )
𝑙
𝑚𝑖
𝐶𝑖𝑗 𝑥 + 𝐷𝑖𝑗
+
2
𝑗
𝑖=1
𝑗=1 (𝑐𝑖 𝑥 + 𝑑𝑖 𝑥 + 𝑒𝑖 )
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
例

因為

所以

2𝑥
𝑥2 − 1
𝑥 2 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
2𝑥
𝐴
𝐵
=
+
2
𝑥 −1 𝑥−1 𝑥+1
兩邊乘上 𝑥 2 − 1 得
2𝑥 = 𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 1)
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
比較係數解方程組或代入 𝑥 = 1 及 𝑥 = −1 得
𝐴=𝐵=1
2𝑥
1
1
=
+
2
𝑥 −1 𝑥−1 𝑥+1
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


例
因為
所以
3𝑥 2 − 2𝑥 + 5
𝑥3 − 1
𝑥 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)
3𝑥 2 − 2𝑥 + 5
𝐴
𝐵𝑥 + 𝐶
=
+ 2
3
𝑥 −1
𝑥−1 𝑥 +𝑥+1
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
兩邊乘上 𝑥 3 − 1 得
3𝑥 2 − 2𝑥 + 5
= 𝐴(𝑥 2 + 𝑥 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 − 1)


代入 𝑥 = 1 得 𝐴 = 2 ,
比較係數解方程組得 𝐵 = 1, 𝐶 = −3
3𝑥 2 − 2𝑥 + 5
2
𝑥−3
=
+ 2
3
𝑥 −1
𝑥−1 𝑥 +𝑥+1
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
例

因為

所以
4𝑥
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)2 (𝑥 + 1)
4𝑥
𝐴
𝐵
𝐶
=
+
+
3
2
2
𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)
𝑥+1
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

兩邊乘上 𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 1 得
4𝑥 = 𝐴(𝑥 2 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1) + 𝐶(𝑥 − 1)2
代入 𝑥 = 1 及得 𝐵 = 2 ,代入 𝑥 = −1 及得
𝐶 = −1 ,代入 𝑥 = 0 得 −𝐴 + 2 − 1 = 0得 𝐴 =
1
4𝑥
1
2
1
=
+
−
3
2
2
𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)
𝑥+1
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
例
2𝑥 4 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 1
𝑥 5 − 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 1
因為
𝑥 5 − 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1)2
 所以
2𝑥 4 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1)2
𝐴
𝐵𝑥 + 𝐶
𝐷𝑥 + 𝐸
=
+ 2
− 2
𝑥 − 1 𝑥 + 1 (𝑥 + 1)2

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兩邊乘上 (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1)2 得
2𝑥 4 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 1
= 𝐴 𝑥 2 + 1 2 + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 − 1) + (𝐷𝑥 + 𝐸)(𝑥
− 1)(𝑥 2 + 1)
 比較係數解方程組得
𝐴 = 𝐵 = 1, 𝐷 = −1, 𝐶 = 𝐸 = 0
2𝑥 4 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 1
𝑥 5 − 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 1
1
𝑥
𝑥
=
+ 2
− 2
𝑥 − 1 𝑥 + 1 (𝑥 + 1)2

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I-Shou University Department of Applied
Mathematics, C. L. Lang
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