Transcript Distribusi Normal_Binomial__UT

Ir Tito Adi Dewanto
Jenis Distribusi
1. Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Binomial (Bernaulli)
3. Distribusi Multinomial
4. Distribusi Normal (Gauss)
Pengantar
 Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah
memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas
yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa
tersebut dalam beberapa keadaan.
 Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari
kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh
probabilitas kejadian tersebut akan membentuk
suatu distribusi probabilitas.
1. Distribusi Probabilitas
Variabel Random :
 adalah suatu fungsi yang menghubungkan
sebuah bilangan riil dengan setiap unsur
didalam ruang sampel S.
 Untuk menyatakan variabel random
digunakan sebuah huruf besar, misalkan X.



Misal S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC,
CCB, CCC} , dengan B menunjukkan “tanpa
cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”.
Variabel random X yang menyatakan jumlah
barang yang cacat pada saat tiga komponen
elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.
X=0, artinya jumlah cacat adalah 0
4
 X = 1, Artinya jumlah cacat adalah 1
X = 3, Artinya jumlah cacat adalah 3 dll
 Distribusi Probabilitas merupakan sebuah daftar dari
keseluruhan hasil suatu percobaan yang disertai
dengan probabilitas masing-masing hasil tersebut.
 Mean x
= E(x) = x.f(x) x.f(x) =x.P
 Varians
=
 Contoh 1 : 3 Uang Logam dilemparkan ke udara,
tentukan distribusi probabilitas dari percobaan
tersebut? Dan tentukan peluang munculnya salah satu
keluar mata angka?
Ruang Sampel
Percobaan
1
2
3
4
5
6
7
8
Pertama
A
A
A
G
G
G
G
A
Kedua
A
A
G
G
A
G
A
G
Ketiga
A
G
G
G
A
A
G
A
Jumlah mata
angka (X=)
3
2
1
0
2
1
1
2
HASIL DISTRIBUSI PROBABILITAS
JUMLAH MATA ANGKA
X
0
PROBABILITAS
1/8 = 0.125
1
3/8 = 0.375
2
3/8 = 0.375
3
1/8 = 0.125
TOTAL
8/8 = 1
Contoh 2:
1. Diketahui distribusi probabilitas sbb :
Hitung :
a) Mean x
b) Variansi x
Jawab :
a). Mean x = E(x) = x.f(x) = 3,30
b). Var (x) =
= 12,8 – (3,3)2
= 12,8 – 10,89
= 1,91
Harapan Matematis /Expectasi /E(X)
E(x) = x.f(x) =x.P
Contoh
Seseorang ingin membeli undian berhadiah dengan kondisi
Peluang memenangkan hadiah I sebesar Rp 1.000.000 adalah 0,001
Peluang memenangkan hadiah II sebesar Rp 500.000 adalah 0,003
Peluang memenangkan hadiah III sebesar Rp 250.000 adalah 0,005
Berapakah harga yang pantas untuk harga undian tersebut ?
Jawab :
Harapan Matematis (Expectasi) = x.P = (1.000.000)x(0,001)+(500.000)
x(0,003)+(250.000)x(0,005)
= Rp 3.750
Maka Harga yang Pantas adalah Rp
3.750
2. Distribusi Binomial
 Merupakan distribusi probabilitas deskrit yag
paling banyak digunakan di segala bidang.
 Menggambarkan fenomena dengan dua hasil atau
outcome. Contoh: peluang sukses atau gagal, hasil
pengobatan sembuh atau tidak, sehat atau sakit,
dsb.
 Ditemukan oleh sahli matematika dari Inggris,
Jacob Bernoulli, sehingga dikenal juga sebagai
Distribusi Bernaulli.
Rumus :
P( s) n Cs . p .q
s
ns
n!

p s .q n  s
s!(n  s)!
Dimana :
P = probabilitas yg diinginkan
p = peluang sukses, q = peluang
gagal, q = 1 – p
n = banyaknya peristiwa (trial)
s = jumlah sukses yg diinginkan
Rata-Rata, Ragam dan Simpangan Baku
Distribusi Binomial
Rata-rata = µ = n . p
Ragam = ð2 = n . p . q
Simpangan Baku = ð=
n. p.q
n : ukuran populasi
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1 - p dalam
setiap ulangan
13
3 syarat yg harus dipenuhi untuk menggunakan distribusi
binomial :
1. Jumlah trial merupakan bilangan bulat. Contoh
melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin 2 ½ kali.
2. Setiap eksperiman mempunyai dua outcome (hasil).
Contoh: sukses/gagal, laki/perempuan, sehat/sakit,
setuju/tidaksetuju.
3. Peluang sukses sama setiap eksperimen.
Contoh: Jika lemparan dadu, yang diharapkan adalah
keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah
1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.
Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan
peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q,
di mana q = 1-p.
 Catatan :
Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q,
anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES
dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan
bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau yang
ditanyakan adalah = kejadian SUKSES (S).
15
Contoh 1
 Kita ingin mengetahui besarnya peluang
kelahiran 2 bayi laki-laki dari 3 kelahiran.
p = 0,5  q = 1-p = 0,5
n=3
s=2
 Dengan menggunakan rumus di atas :
P =
n!
s!(n-s)!
pr qn-s
p =
3x2x1
2x1x1
P = 0,375
(0,5)2 0,5
 Contoh 2 distribusi binomial :
Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala
Wisata air, yang khusus menangani perjalanan
wisata turis manca negara, 20% dari turis
menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia,
40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja
dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita
bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis
manca negara yang pernah berkunjung ke
Indonesia, berapakah probabilitas bahwa paling
banyak 2 diantaranya menyatakan sangat puas !?
17
 Jawab :
s≤2
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai
berikut :
P= 5cs psqn-s
P=0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau
P(s=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768
P(s=1) = 5C1 (0.20)1 (0.80)4 = 0.40960
P(s=2) = 5C2 (0.20)2 (0.80)3 = 0.20480
---------------------------------------------------- +
Maka hasil s < = 2 adalah = 0.94208
18
Contoh 3
 Dari 100 kali lemparan sebuah koin, Tentukan
 a) Rata-rata jumlah burung yang muncul
 b) Standar Deviasi (Simpangan Baku)
Jawab

n = 100, p = ½ , q = ½
 a) Rata-rata jumlah burung yang muncul =
µ = n . p = 100. ½ = 50
 b) Standar Deviasi (Simpangan Baku)
1 1
  n. p.q  100. .  5
2 2
Latihan :
1. Berapa probabilitas keluarnya angka 5, sebanyak 2
kali bila sebuah dadu dilambungkan 3 kali ?
2. Dari 10000 kali lemparan sebuah koin, Tentukan
 a) Rata-rata jumlah burung yang muncul
 b) Standar Deviasi (Simpangan Baku)
3. Tentukan distribusi probabilitas anak laki2 dan
perempuan dalam sebuah keluarga yang punya 3
anak.
4.Peluang Ronaldo membuat Gol dalam sebuah
finalti adalah 0,75, tentukan peluang Ronaldo
gagal membuat 4 kali Gol dalam 5 kali
kesempatan
3. Distribusi Multinomial
 Dalam satu peristiwa kadang menghasilkan lebih dari dua
event maka distribusi yg dihasilkan disebut distribusi
multinomial.
 Contoh :
Hasil dari pengobatan  sembuh, cacat, dan mati
Rumus
p =
n!
r1!r2!r3!
Dimana :
r1 + r2 + r3…rk = n
p1 + p2 + p3…pk = 1
(P1) r1 (P2) r2 (P3) r3
Contoh 1:
 Seorang dokter melakukan pengobatan sebanyak 6 kali
terhadap 6 orang penderita gagal jantung dengan hasil
sembuh sempurna, sembuh dengan gejala sisa, dan
meninggal.
 Berapa besar probabilitas dari 6 kali pengobatan tersebut
menghasilkan 2 orang sembuh sempurna, 2 orang
sembuh dengan gejala sisa, dan 2 orang meninggal.
p =
n!
r1!r2r3!
r
r
r
(P1 1) (P1 1) (P1 1)
6!
p =
2! 2! 2!
(1/3)2 (1/3)2(1/3)2
P = 0,123 = 12,3%
4. Distribusi Normal
 Merupakan distribusi probabilitas dengan variabel
kontinu atau numerik
 Pertama kali diuraikan oleh Abraham de Moivre
dan dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss
dengan percobaannya  Distribusi Gauss.
 Bila percobaan dilakukan berulang2 yg paling
sering muncul adalah nilai rata2  Penyimpangan
dari nilai rata2 (error) makin sedikit  terbentuk
distribusi yg simetris  distribusi normal.
KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL
m
1.
2.
3.
4.
5.
Kurva berbentuk genta (m= Md= Mo)
Kurva berbentuk simetris
Kurva normal berbentuk asimptotis
Kurva mencapai puncak pada saat X= m
Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah
dan ½ di sisi kiri.
TAHAPAN PERHITUNGAN DISTRIBUSI NORMAL
 TRANSFORMASI NILAI X MENJADI NILAI Z-SCORE
 Z=X-m/
 GAMBAR DISTRIBUSI NORMAL
 TENTUKAN NILAI Z BERADA
 CARI NILAI P DARI TABEL DISTRIBUSI NORMAL
 PAHAMI KONTEKS PERTANYAAN DALAM SOAL.
CONTOH SOAL 1
Diketahui suatu distribusi normal dengan m  50 dan   10
Carilah probabilitas bahawa X mendapat nilai antara 45 dan 62
Jawab:
Dicari nilai z yang berpadaan dengan x  45 dan x  62 adalah
1
2
6250  1.2
z  4550  0.5 dan z 
1
10
P( 45  x  62)  P( 0, 5  z  1.2)
0.00
0.0
0.01
0.1
0.02
0.2
0.03
0.3
0.04
0.4
Jadi:
2
10
0
20
40
60
P( 45  x  62)
80
100
-4
-2
0
2
P( 0, 5  z  1.2)
Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1
4
26
Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:
P(45<x<62)=P(-0,5 < Z < 1,2)
P(z<1,2) + P(z<0,5)
= 0,5764
Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal
z
0.00
:
:
0.5
0.1915
:
:
1.2
:
:
0.3849
………
0.04
……..
0.09
Contoh 2
PT Hari Jaya memproduksi barang pecah belah seperti gelas,
piring, dan lain-lain. Perusahaan memberikan kesempatan
kepada konsumen untuk menukar barang yang telah dibeli
dalam hari itu apabila ditemui barang cacat. Selama pelaksanaan
program ini, ada 10 orang rata-rata yang menukarkan barang
karena cacat dengan standar deviasi 4 orang per hari. Berapa
peluang ada lebih dari 20 orang (X>20) yang melakukan
penukaran barang pada suatu hari?
28
Jawab:
Nilai Z = (20-10)/4 = 2,50
P(X>20) = P(Z>2,50) = 0,5 – 0,4938 = 0,0062
Jadi peluang lebih dari 20 orang yang menukarkan
barang dalam 1 hari adalah 0,0062 atau 0,62%.
29
Contoh 3
 BrainTest dari 600 capeg PDAM Jambi berdistribusi
mendekati normal dengan rata-rata 115 dan simpangan
baku 12. bila PDAM hanya menerima BT paling rendah 95,
berapa banyak pelamar yang akn ditolak jk berdasarkan
kententuan tersebut, tanpa melihat ability lainnya?
30
Jawab
Z=-1,67
 µ= 115, σ=12, n= 600,
 Z= x-µ / σ = 95 – 115 / 12 = -1.67 (lihat Tabel =0,4525)..... Z= 0,5 –
0,4525 = 0.0475
 P (x<95) = P (z < -1.67) = 0.0475 or 4.75%
 Jadi banyaknya pelamar yang akan ditolak:
=4.75% x 600 = 28,5 atau 29 orang.
31
Contoh 4: Hitung Luas
Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk
menghitung luas daerah :
a) Di sebelah kanan z=1.84
b) Antara z=-1.97 s/d z=0.86
Jawab.
Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal
kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0).
a) P(z>1.84) = 0,5 – P(z≤1.84) = 0,5 -0.4671 = 0.0329
b) P(-1.97 <z<0.86) = P(z<0.86) + P(z<1.97)
= 0.3051 + 0.4765
= 0.7807
Contoh 5 Penerapan Distribusi Normal

Sebuah perusahaan bolam lampu mengetahui bahwa umur lampunya
(sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya
800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa
sebuah bolam produksinya akan
Berumur antara 778 jam dan 834 jam
Jawab.
μ= 800 σ=40.
 P(778<x<834)
z1 μ
x1=778  z1 = (x1-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55
x2=834  z2 = (x2-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85
P(778<x<834) = P(-0.55<z<0.85)
= 0.2088 + 0.3023 = 0.5111
z2
Soal Distribusi Normal
 1. Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah
(X)=490,7 dan standar deviasinya 144,7. Berapa
nilai Z untuk harga saham 600?
 2. PT GS mengklaim rata-rata berat buah
mangga “B” adalah 350 gram dengan standar
deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti
distribusi normal, berapa probabilitas bahwa
berat buah mangga mencapai kurang dari 250
gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.
MENGGUNAKAN MS EXCEL
Contoh 9-1
• Buka program MS Excel dari Start, pilih MS Excel
• Letakkan kursor pada cell yang ada di sheet MS Excel, dan klik icon fx,
atau klik icon insert dan pilih fx function
• Pilih statistical pada function category dan pilih Normdist pada
function nama, Anda tekan OK.
35
MENGGUNAKAN MS EXCEL
• Anda akan menemui kotak dialog seperti berikut:
NORMDIST
X
Mean
Standard_dev
Cumulative
………….. (isilah nilai x, misal 600)
………….. (isilah nilai mean, misal 490)
………….. (isilah nilai , misal 144,7
………….. (ketik True untuk kumulatif, dan
False untuk nilai tunggal)
Hasil nilai p = 0,76 akan muncul pada formula result atau tanda “=“
36
MENGGUNAKAN MS EXCEL
Hasil nilai p = 0,7764 akan muncul pada formula result
atau tanda “=“
Catatan:
Bila menggunakan tabel Z pada lampiran 3, probabilitas adalah
luas daerah yang diarsir, yaitu dari Z=0 ke kanan kurva (infiniti
positif).
Sedangkan dengan MS Excel, probabilitas adalah luas daerah dari
kiri kurva (infiniti negatif) ke kanan (sampai nilai X yang dimaksud).
37
38
39
Thank You