Transcript Fungsi Peluang Diskrit, Kontinu, dan Bersama

“FUNGSI PELUANG
DISKRIT, KONTINU,
DAN BERSAMA”
Kelompok I :
Christian Koba
Riskika Fauziah Kodri
Yulin Tipaka
◊ Fungsi Peluang Diskrit

A.
B.
C.
Fungsi f(x) adalah suatu fungsi
peluang atau distribusi peluang suatu
peubah acak diskrit X bila, untuk
setiap hasil x yang mungkin, berlaku :
f(x) ≥0
𝑥𝑓 𝑥 = 1
P(X=x) = f(x)
Untuk undian dua buah mata uang, maka
peristiwa yang terjadi adalah : GG, GA,
AG, AA P(GG) = P(GA) = P(AG) = P(AA)
= ¼. Jika X= muka G, 𝑋 = 0,1,2.
Sehingga,
𝑃(𝑋 = 0) = ¼, 𝑃(𝑋 = 1) =
½ 𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝑋 = 2) = ¼.


Didapat:
X
P(X)
0
¼
1
½
2
¼
Jumlah
1
Simbol 𝑋 di atas bersifat variabel dan
hanya memiliki harga-harga 0, 1, 2, 3,
…., tiap harga variabel terdapat nilai
peluangnya, disebut variabel acak
diskrit.
 Dalam tabel di atas jumlah peluang
selalu sama dengan satu ⇒ distribusi
peluang untuk variabel acak X telah
terbentuk.

Variabel acak diskrit X menentukan distribusi
peluang apabila untuk nilai-nilai 𝑋 =
𝑥1, x2, . . . , xn terdapat peluang 𝑝 (𝑥𝑖)
sehingga:
 𝑝(𝑥) disebut fungsi peluang untuk variabel
acak 𝑋 pada harga 𝑋 = 𝑥
 Ekspektasinya. 𝐸 (𝑋) = 𝛴𝑥𝑖𝑝(𝑥𝑖) dan
penjumlahan dilakukan untuk semua harga
𝑋 yang mungkin. 𝐸 (𝑋) merupakan rata-rata
untuk variabel acak 𝑋.

Distribusi Probabilitas Diskrit


Tiap nilai sebuah variabel random memiliki probabilitas
tertentu untuk muncul.
Contoh:
Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar, Angka). Misal
didefinisikan variabel randomnya X : banyak G dalam
pelemparab tsb. Maka ruang sampelnya:
S = {GGG,GGA,GAG,GAA, AGG,AGA,AAG,AAA}
x = 0  {AAA}
 P(X=0) = 0
x = 1  {GAA,AGA,AAG}
 P(X=1) = 3/8
x = 2  {GGA,GAG,AGG}
 P(X=2) = 3/8
x = 3  {GGG}
 P(X=3) = 1/8

Distribusi Probabilitas Diskrit
Distribusi Probabilitas
Probabilitas
0.5
0.375
0.4
0.375
0.3
0.2
0.125
0.1
0
0
0
1
2
X (banyak G)
3
◊ Fungsi Peluang Kontinu
Fungsi f((x) adalah fungsi padat
peubah acak kontinu X, yang
didefnisikan di atas himpunan semua
bilangan real R, bila:
A. f(x)≥ 0 untuk x ∈ R
∞
B.
𝑓
𝑥
𝑑𝑥
=
1
−∞

C.
P(a<x<b) =
∞
𝑓
−∞
𝑥 𝑑𝑥 = 1

Jika X adalah variabel random dengan peluang
pada setiap titik tunggal x sama dengan nol, yakni
P (X = x) = 0, maka X dinamakan variabel random
kontinyu. Jika X variabel random kontinyu, maka
ada fungsi f (x) sehingga peluang variabel random
X berada di antara a dan b sama dengan luas
daerah yang dibatasi oleh kurva f (x), sumbu x,
garis x = a dan garis x = b. Selanjutnya peluang X
berada di antara a dan b ditulis P (a < X < b).
Fungsi f (x) tersebut dinamakan fungsi kepadatan
peluang.

Fungsi distribusi kumulatif variabel
random kontinyu X , ditulis F (x),
didefinisikan
sebagai
peluang
variabel random X bernilai lebih kecil
atau sama dengan x atau
f(x) = P (X < x)
Distribusi Probabilitas Kontinu
Contoh. Misal kesalahan dalam pencatatan temperature di sebuah
percobaan adalah sebuah variabel random X yg memiliki fungsi rapat
probabilitas sbb:
 x2

1  x  2
f ( x)   3
 0 lainnya
a. Periksalah apakah f(x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat
probabilitas
b. Berapakah probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0
dan 1?
Jawab.
a. 
2 2
x
x3
 f ( x)dx  1 3 dx  9
b.
2
1
1
1
1
P(0  X  1)   f ( x)dx  
0
0
2
3 1
x
x
dx 
3
9
0

1
9
Contoh 1. Sebuah ruang konferensi dapat disewa
untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam.
Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan
waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam.
a) Tentukan fungsi densitas peluang dari X.
b) Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam
atau lebih.

◊ Peluang Fungsi Bersama

Misalkan X dan Y ada peubah acakpeubah acak diskrit yang terdenisi di
ruang sampel yang sama. Fungsi peluang
bersama (joint pmf ) dari X dan Y adalah
P X,Y (x, y) = P (X = x; Y = y)

1.
2.
Catatan.
Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang
sampel yang sama berarti 2 peubah acak tsb
memberikan
informasi
secara
bersamaan
terhadap keluaran (outcome) dari percobaan
yang sama
{X = x; Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan
{Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y
bernilai y
Contoh

Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah
kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5
biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang
terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang
terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X
dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)





Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin
adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1),
dan (3,0)
f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0
bola putih
12
Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah  3 
=220
Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4
bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah 345 = 10
003
f(0,0) adalah 10/220

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1
x
p(x,y)
0
1
2
3
0
10/220
30/220
15/220
1/220
1
40/220
60/220
12/220
2
30/220
18/220
3
4/220
Total Kolom
84/220
Total Baris
56/220
112/220
y


48/220
4/220
108/220
27/220
1/220
1
Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini
 3  4  5 
dapat dinyatakan dalam rumus berikut
  

x  x  3  x  y 

p ( x, y ) 
Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3
12 
 
3
Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)
Contoh.
Sebuah perusahaan permen mendistribusikan kotak-kotak cokelat yang berisi
isian jenis: krim, tofi dan kacang. Terdapat dua tipe cokelatnya yaitu :
coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak 1 kotak, dan variabel
random X dan Y menyatakan persentase dari coklat putih dan gelap yang
berisi krim, dengan fungsi rapat probabilitas bersamanya:
2
 (2 x  3 y ) 0  x  1,0  y  1
f ( x, y )   5

0, lainnya
a. Periksalah apakah integral f(x,y) di seluruh daerah = 1
b. Carilah probabilitas mendapati 0<x<1/2 dan ¼<y<1/2
Surface plot f(x,Y)
2
1.5
1
0.5
0
1
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0
0.2
0
Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)
Jawab.
a. Integral di seluruh wilayan x,y:
 
1 1
2
 f ( x, y)dxdy 0 0 5 (2 x  3 y)dxdy 1
b. P(0<X<1/2,1/4<Y<1/2)
1/ 21/ 2

1/ 4 0
1/ 21/ 2
2
f ( x, y)dxdy    (2 x  3 y)dxdy 13/ 160
5
1/ 4 0
TERIMA KASIH