Transcript Materi QC 3april2013 - Industrial Engineering 2011

Peubah acak dan
distribusi Peluang Diskret
Peubah Acak
 Probasbility/Peluang = kemungkinan terjadinya suatu kejadian
 Ruang sample = jumlah kejadian yg mungkin dalam percobaan
statistik
 Ruang sampel diskret
Contoh 1:
Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah
dan 4 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yg diambil maka nilai y yang mungkin
dari peubah acak Y adalah
T = {MM, MH, HM, HH}
Ruang sample
y
MM
2
MH
1
HM
1
HH
0

Contoh 2
Tiga orang petani : Pak Ali, Badu dan cokro menitipkan pecinya pada seorang anakl. Sore
harinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak/sembarang pada ketiga petani
tersebut. Bila Ali, Badu dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak, maka
tuliskan dan titik sampel untuk semua urutan yg mungkin mendapatkan peci tersebut dan
kemudian cari nilai C dari peubak acak C ug menyatakan jumlah urutan yg cocok.
Jawab
Bila A,B dan C menyatakan masing-masing peci Pak Ali, Badu dan Cokro dalam urutan yg betul,
maka susunan pengembalian peci yg mungkin sesuai ( c )adalah
Ruang sampel
c
ABC
3
ACB
1
BAC
1
BCA
0
CAB
0
CBA
1

Contoh 3
Percobaan yg dilakukan terhadap suatu merek mobil, tentang kemungkinan
kemampuan jarak tempuh dengan 5 liter bensin.

Contoh 4
Kemungkinan lama waktu bagi percobaan suatu reaksi kimia
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau
sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel
itu disebut ruang sampel diskret (contoh 1,2)
Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan
banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut
ruang sampel kontinu (contoh 3,4)
Distribusi Peluang Diskret
 Bila kejadian sederhana pada contoh 2 diberi bobot sama maka
peluang bahwa tidak ada petani yg menerima kembali topinya yg
benar, yaitu peluang C yg mendapat nilai 0 adalah 1/3. Kemungkinan
nilai c dari C dan peluangnya, diberikan oleh
c
0
1
3
P(C=c)
1/3
½
1/6
Peluang semua kejadian = 1
P(C=c) = f ( c )

Jadi
f (x) = P (X = x); yaitu f(3) = P(X=3)
Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) disebut fungsi peluang atau distribusi
peluang peubah acak diskret X.
Disebut distribusi peluang peubah acak diskret X bila untuk setiap
kemungkinan hasil x
1. f (x) > 0
2. ∑ f (x) = 1
3. P(X =x) = f (x)
Distribusi Binomial

Suatu percobaan sering terjadi atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua
kemungkina hasil : sukses atau gagal.
misalnya pengujian hasil produksi: cacat dan tidak cacat
Proses Bernoulli
1. Percobaan terdiri atas n usaha yg berulang
2. Tiap usaha memberi hasil yg dapat dikelompokkan menjadi sukses atau
gagal
3. Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu
ke yang satu berikutnya.
4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya
Contoh
Pandang suatu kelompok usaha Bernoulli yg berupa pengambilan tiga bahan
secara acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa, dan kemudian yg cacat dipisahkan
dari yg tidak cacat. Bahan yg cacat akan disebut C dan yang tidak cacat disebut T.
Hasil
x
TTT
TCT
TTC
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
0
1
1
1
2
2
2
3
Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan nilai
bilangan bulat dari nol sampai 3. Kedelapan hasil yg mungkin (C = cacat,
T = tak cacat) dan nilai x adalah seperti di atas.
Karena bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yg
dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat, maka
P(TCT) = P(T) P( C ) P (T) = (3/4) (1/4) (3/4) = 9/64
Peluang untuk kemungkinan hasil yg lain dihitung dg jalan yg sama. Jadi distribusi
peluang X adalah
x
0
f (x) 27/64
1
2
27/64 9/64
3
1/64
Banyaknya x yg sukses dalam n usaha bernoulli disebut peubah acak binomial. Distribusi
peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial dan akan dinyatakan dengan
b(x;n,p), karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam
suatu usaha (p)
Jadi untuk distribusi peluang X, bila X banyaknya cacat dalam contoh di atas,
P(X=2) = f(2) = b(2;3,1/4) = 9/64
Distribusi binomial Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dg peluang p dan gagal dg
peluang q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n
usaha bebas, ialah
n
b (x;n,p) =
(x ) p q
x n-x
x = 1,2,….., n
Perhatikan bahwa bila n = 3 dan p = ¼, distribusi peluang X, yaitu banyaknya yg cacat, dapat
ditulis sebagai
x
3-x
3
b (x;3,1/4) =
( x ) ( 14 ) ( 34 )
Teorema Chebyshev
: μ = np
X = 1,2,3
σ2 = npq
Contoh binomial
Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang
bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.
Jawab:
Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu dengan yang lain tidak mempengaruhi atau
dipengaruhi yang berikutnya. Jadi p = ¾ untuk tiap keempat pengujian, sehingga
4
b (2;4, ¾) =
( ) (3/4 )2
2
= 4!
32
2! 2! 44
= 27
128
( 1/4 )4-2

Biasanya, soal yg dihadapi mengharuskan kita menghitung P (X<r) atau P(a< X < b). Dalam hal
ini penyelesaian akan dibantu oleh tabel L.1
Contoh soal
Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yg jarang adalah 0,4. Bila diketahui ada 15
orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluang
1. paling sedikit 10 akan sembuh,
2. antara 3 sd 8 yang sembuh
3. tepat 5 yang sembuh
Jawab
Misal X penderita yg sembuh
1.
P(X > 10 ) = 1- P(X<10)
9
= 1 - ∑ b(x;15, 0,4)
X=0
= 1 – 0,9662
= 0.0338
8
2. P (3< X < 8) = ∑ b (x;15,0,4)
X=3
8
2
= ∑ b (x;15,0,4) - ∑ b (x;15,0,4)
X=0
X=0
= 0,9050 – 0,0271
= 0,8779
3. (P(X=5)
= b (5;15,0,4)
5
X=4
= ∑ b (x;15,0,4) - ∑ b (x;15,0,4)
X=0
= 0,4032 – 0,2173
= 0,1859
x=0

Hitung rataan dan variansi peubah acak binomial untuk contoh di atas dengan terorema
chebyshev untuk menafsir selang μ + 2 σ
μ = np = 15 ( 0,4) = 6
σ2 = npq = (15) (0,4) (0,6) = 3,6
σ = 1,897
selang yg ditanya adalah 6 + (2 x 1,897) = 2,206 – 9,794
Distribusi Hipergeometrik

Perbedaan antara distribusi binomial dengan distribusi hipergeometrik terletak dari
cara pengambilan sampelnya. Pada binomial pengambilan sampel dilakukan dengan
pengembalian (diperlukan kebebasan antar usaha ), seperti pada sekotak kartu,
sejumlah barang produksi. Sedangkan pada hipergeometrik dilakukan pengambilan
sampel tanpa pengembalian, misal pengujian elektronik, pengendalian mutu.

Suatu percobaan geometrik memiliki sifat berikut:
1. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda;
2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan N-k diberi nama
gagal.
Distribusihipergeometrik; distribusipeluangpeubahacakhipergeometrikX, yaitubanyaknyasukses
dalamsampelacakukurann ygdiambildariN bendaygmengandungk bernamasuksesdanN-k
bernamagagal, ialah
h (x;N,n,k) =
N-k
n-x
k
X
X = 0,1,2,….,n
()( )
N
(n )
 Rataan = μ = nk
N
 Variansi = σ = N-n (n) k (1- k )
N-1
N
N
Contoh


Pada pengambilan terhadap kota yang berisi 52 kartu bridge. Pengambilan dilakukan tanpa
pengembalian. Bila 5 kartu diambil secara acak, berapa peluang terambilnya 3 kartu merah
dari 26 kartu merah dan peluang terambilnya 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam yang ada di
dalam kotak.
26
Banyaknya cara untuk pengambilan 3 kartu merah dan 2 kartu hitam adalah (
52
banyaknya cara pengambilan 5 kartu tanpa pengembalian adalah (
5
)
3
26
) ( )
2
Peluang untuk mengambil 5 kartu tanpa pengembalian dengan 3 merah dan 2 hitam adalah:
Jawab:
26 26
(3 ) ( )
2
(52 )
5
( 26!/ 3 ! 23! ) (26! / 2! 24!)
= 0,3251
=
(52! / 5! 47!)
Distribusi Poisson
Suatu percobaan Poisson mendapat nama dari proses Poisson dan memiliki sifat
berikut:
1.
Banyaknya hasil yg terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah
tertentu tidak terpengaruh oleh (bebas dari ) apa yang terjadi pada selang
waktu atau daerah lain yang terpisah. Dalam hubungan ini proses poisson
disebut tak punya ingatan.
2.
Peluang terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yg amat
pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang
waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya hasil
yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.
3.
Peluang terjadinya lebih dari 1 hasil dalam selang waktu yg pendek atau
daerah yang sempit dapat diabaikan.
 Distribusi Poisson; distribusi peluang peubah acak
Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yg terjadi
dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu
dinyatakan dengan t, diberikan oleh
p (x; λt ) =
e-λt (λt )x
X!
λt menyatakan rata2 banyaknya sukses yg terjadi per
satuan waktu atau daerah tersebut dan e = 2,71828…..
Rataan dan variansi distribusi Poisson p (x; λt) keduanya
sama dengan λt
Contoh

Rata-rata banyaknya partikel yg melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam
suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati
penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?
Jawab
Dengan menggunakan distribusi poisson untuk x = 6 dan λt = 4, dari tabel L.2 diperoleh
X=6
X=5
p (6;4 ) = e-4 (6 )6 = ∑ p (x;4) - ∑ p (x;4)
6!
X=0
X=0
= 0,8893 – 0,7851
= 0,1042
Latihan
Distribusi Binomial
1.
Seorang dipilih dari 10 karyawan untuk mengawasi suatu proyek
dengan cara memilih satu gulungan kertas dari sebuah kantung
berisi 10 gulungan bernomor 1 sampai 10. Bila X adalah peubah
acak yg menyatakan bilangan yg tertulis dalam gulungan kertas
yg diambil secara acak, carilah rumus distribusi peluang X.
Berapakah peluang mengambil bilangan lebih kecil dari 4?
2.
Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yg kasar ditemukan
bahwa 25% truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Dari 15
truk yg diuji selanjutnya, carilah peluangnya bahwa
a. dari 3 sd 6 mengalami ban pecah
b. kurang dari 4 yg mengalami ban pecah
c. lebih dari 5 yg mengalami ban pecah
Distribusi Hipergeometrik
1.
Dari sebuah kotak berisi 10 peluru, diambil 4 secara acak dan kemudian
ditembakkan. Bila kotak itu mengandung 3 peluru yang cacat yang tidak
akan meledak, berapakah peluang
a. keempatnya meledak
b. paling banyak 2 yg meledak
2.
Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan yg sekarang dalam
pengiriman 50 barang yg sama. Cara ini dengan mengambil sampel sebesar
5 dan lolos pemeriksaaan bila berisi tidak lebih dari 2 yg cacat. Berapa
proporsi pengiriman yg mengandung 20 % cacat akan lolos pemeriksaan?
Distribusi Poisson
1.
Peluang pembelian suatu televisi berwarna di suatu toko televisi adalah
0,3. Hitunglah peluang bahwa pembelian televisi yg kesepuluh di toko
tersebut akan merupakan pembelian televisis berwarna yg ke 5.
2.
Misalkan peluang 0.8 bahwa setiap orang akan percaya tentang desas
desus mengenai hubungan gelap seorang bintang terkenal. Berapakah
peluangnya
a. orang ke-6 yg mendengar berita tsb merupakan orang ke-4 yg
mempercayainya?
b. orang k-3 yg mendengan berita tsb merupakan orang pertama yg
mempercayainya?
Distribusi Normal

Dsitribusi peluang kontinu yg paling terpenting dalam seluruh bidang
statistika adalah distribusi normal.