Transcript STATISTIKA peluang dan distribusinya

MK. STATISTIKA
PELUANG DAN
DISTRIBUSI PELUANG
Smno.statistika.agroekotek.fpub.2013
DISTRIBUSI PELUANG
Distibusi peluang teoritis atau Peluang teoritis adalah suatu daftar
yang disusun berdasarkan Peluang dari peristiwa- peristiwa
bersangkutan.
Macam- macam Distribusi Peluang Teoritis
a. Peubah Acak Diskrit
1. Distribusi Binominal
2. Distribusi Multinominal
3. Distribusi Poisson
4. Distribusi Hipergeometris
b. Peubah Acak Kontinyu
1. Distribusi Normal
2. Distribusi Student
3. Distribusi Chi Square
4. Distribusi Fischer
Diunduh dari: http://ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=543:distribusi-peluang-
DISTRIBUSI PELUANG
Macam- macam Distribusi Peluang Teoritis
C. Diskrit Binominal: Ciri- ciri umum:
1. Setiap peristiwa tunggal mempunyai dua hasil kejadian
2. Peristiwa independent
3. Banyaknya percobaan tertentu (n)
Ciri – ciri praktis
1. n biasanya ≤ 30
2. p tidak mendekati 0 (nol)
D. Diskrit Multinominal: Ciri- cirri:
1. Peristiwa bersifat independent (“bebas”)
2. Setiap percobaan tunggalnya menghasilkan lebih dari dua
outcomes yang semuanya disebut “sukses”
3. Banyaknya percoban tertentu (n)
Diunduh dari: http://ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=543:distribusi-peluang-
DISTRIBUSI PELUANG
Macam- macam Distribusi Peluang Teoritis
E. Diskrit Poisson: Ciri- ciri:
1. n sangat besar
2. p sangat kecil mendekati nol
3. dapat dipecahkan atau diselesaikan dengan
rumus distribusi binominal bila n.p dan n.q
mempunyai nilai ≤ 5
F. Diskrit Hipergeometris: Ciri- ciri
1. Peristiwa dependent
2. Tiap percobaan tunggal menghasilkan 2
outcomes atau lebih
3. Banyaknya percobaan tertentu
Diunduh dari: http://ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=543:distribusi-peluang-
PELUANG
Diunduh dari: http: …… 20/9/2012
PELUANG
Diunduh dari: http: …… 20/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG KONTINYU
l
l
l
l
l
l
Peubah Acak Kontinyu
Distribusi Peluang Uniform
Distribusi Peluang Eksponensial
Distribusi Peluang Normal
Distribusi Porbabilitas Gamma
Distribusi Peluang Weibull
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Peubah Diskrit Menjadi Peubah Kontinyu
Interval waktu dapat dibagi menjadi:
Interval 0.5 menit
Interval 0.125 menit
Interval 0.25 menit
Minutes to Complete Task:Fourths of a Minute
Minutes to Complete Task: By Half-Minutes
Minutes toCompleteTask:Eighths of aMinute
P(x)
0.10
P(x)
P(x)
0.15
0.05
0.00
0.0
. 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5
0
Minutes
f(z)
Interval kecil tak terbatas
0
1
2
3
Minutes
4
5
6
7
1
2
3
Minutes
4
5
6
7
0
1
2
3
Minutes
4
5
6
7
Jika sebuah peubah acak diskrit dibagi
menjadi interval kecil yang tidak terbatas,
maka perhitungan Peluangnya ditentukan
oleh sebuah rentang nilai dan nilai
peluangnya adalah luas area di bawah
kurva dalam rentang tersebut.
Untuk contoh di samping, dinyatakan
dengan P(2<X<3).
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Peubah Acak Kontinyu
 Peubah Acak Kontinyu adalah sebuah peubah acak
yang dapat berupa sembarang nilai pada suatu
interval yang diamati.
 Peluang dari peubah acak kontinyu X ditentukan
oleh sebuah fungsi kerapatan (densitas),
dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa
sifat berikut:
 f(x) > 0 untuk setiap nilai x.
 Peluang bahwa X berada di antara dua nilai a
dan b adalah sama dengan luas area di bawah f(x)
yang dibatasi oleh a dan b.
 Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Fungsi Kerapatan dan Kumulatif
F(x)
Fungsi
kumulatif
1
F(b)
}
F(a)
P(a X b)=F(b) - F(a)
0
a
b
x
f(x)
P(a < X < b) = Area
di bawah f(x) yang
dibatasi oleh a dan b
= F(b) - F(a)
Fungsi
Kerapatan
0
a
b
x
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU
Densitas uniform [0,5] :
{
f(x)=
1/5 for 0 < X < 5
0 lainnya
E(X) = 2.5
Distribusi
Uniform
0.5
Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00
0.4
f(x)
0.3
0.2
0.1
.0.0
-1
0
1
2
3
4
5
6
Luas area di bawah f(x)
Interval 1 sampai 3 = P(1<X<3)
= 2.(1/5) = 2/5
x
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU
Definisi:
Jika peubah acak X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan
kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa peubah acak
(kontinyu) x mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas
Peluang:
1/( - ), untuk <x<
f(x)=
0
untuk x lainnya.
{
Ekspektasi dan variansi:
E(X)=(+)/2
dan V(X)= ( - )2/12
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU
Contoh:
 Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit
bilangan random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses
simulasi akan akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan
sebuah bilangan random [3/2 , 7/2]. Jika dilakukan replikasi
pembangkitan bilangan random, berapa kemungkinan proses
tersebut akan berhenti (terminate)?
 Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan
fungsi f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian Peluang bahwa
proses simulasi akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan
distribusi Poisson (dari proses poisson) jika
persoalan didekati dari variabel interval antar
kedatangan.
 Dari uraian tentang distribusi poisson diperoleh
kemungkinan tidak ada kedatangan sebagai p(0)  e t .
Kemungkinan ini dapat diinterpretasikan sebagai
kemungkinan bahwa tidak ada kejadian kedatangan pada
rentang waktu sampai terjadinya kedatangan pertama lebih
 t
besar dari t atau p(0)  P(T  t )  e , t  0 .
 Untuk variabel random waktu kedatangan T , maka dapat
diperoleh besarnya kemungkinan melalui
F (t )  P(T  t )  1  e  t , t  0 . Dengan demikian diperoleh
f (t )  F ' (t )    e t , t  0.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Definisi:
Sebuah variabel random (kontinyu) X menyatakan interval
waktu antar kedatangan dimana kejadian kedatangan tersebut
mengikuti proses Poisson, dikatakan mengikuti distribusi
eksponensial dengan fungsi distribusi:
f ( x)    e  x
x0
0
x lainnya.
Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagai
berikut :

E( X )   x    e
0
- x
dx  1 / 
dan

V ( X )   x 2    e x dx  1/    1 / 2
2
0
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman
untuk melindungi peralatan dari kegagalan.
Berdasarkan data dan pengamatan yang panjang, komponen
pengaman tersebut memiliki daya tahan yang dinyatakan oleh
peubah acak satuan waktu (minggu) T yang berdistribusi
eksponensial dengan parameter =1/5. Saat ini perusahaan
memiliki 5 set peralatan terpisah (independent) dimana
masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman yang
diasumsikan identik.
Dari perhitungan pesanan masuk yang harus dipenuhi,
perusahaan menginginkan peralatan tersebut tidak mengalami
kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang direncanakan
akan dipenuhi dalam 8 minggu.
Jika diinginkan paling sedikit dua peralatan dapat beroperasi
untuk memenuhi pesanan tersebut, berapa besar kemungkinan
tersebut terjadi?
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Dalam kasus tersebut, perusahaan harus dapat memperkirakan
ketersediaan (availability) bahwa sebuah peralatan masih dapat
bekerja selama paling sedikit 8 minggu. Kemungkinan bahwa
suatu komponen pengaman masih akan berfungsi setelah 8
minggu adalah
1  t / 5
P (T  8)   e dt =
58
e-8/5~ 0,2.
Selanjutnya, misalkan X sebagai variabel random yang
menyatakan banyaknya komponen pengaman yang masih
berfungsi setelah 8 minggu dengan kemungkinan p=0.2, dengan
menggunakan fungsi distribusi kemungkinan binomial, dapat
diperoleh kemungkinan paling sedikit dua peralatan dapat
beroperasi sebagai berikut
5
1
P ( X  2)   b( x;5,0.2) =1-  b( x;5,0.2) = 0,68.
x2
x 0
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Untuk p0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial
menjadi …
n = 10
n=6
B inomial D is tribution: n=10, p=.5
B inomial D is tribution: n=14, p=.5
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
P(x)
0.3
P(x)
0.1
0.0
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
6
0.0
0
1
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
x
x
Normal Distribution:  =0, =1
Distribusi yang berbentuk
kurva seperti
lonceng (bell)
0.4
0.3
f(x)
P(x)
B inomial D is tribution: n=6, p=.5
n = 14
0.2
0.1
0.0
-5
0
x
5
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Distribusi PELUANG peubah acak kontinyu dalam
statistika adalah Distribusi Normal, peubah acak
berasal dari proses random dengan satu titik
pemusatan dan menyebar di sekitar titik pemusatan
tersebut secara simetris.
DiSTRIBUSI Normal juga dikenal sebagai Distribusi
Gauss, sebagai orang pertama yang
mempublikasikannya pada tahun 1809 dan
selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah Dalil
Peluang untuk setiap peubah acak kontinyu.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Fungsi kerapatan Peluang normal:
Normal Distribution:  =0, =1
0.4
- 1  x    /  2
1
f ( x) 
e 2
 2
f(x)
0.3
 x
0.2
0.1
0.0
-5
0
5
x
Definisi
Sebuah variabel random (kontinyu) x (    x   ) dikatakan
mengikuti distribusi normal dengan parameter lokasi
2
pemusatan  dan parameter penyebaran (variansi)   0 jika
mengikuti fungsi distribusi kemungkinan berikut :
1
- 1  x    /  2
f ( x) 
e 2
  x  
 2
dimana   3,14159... dan e = 2,71828…(bilangan natural).
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Kurva normal membentuk:
 Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga
setengah (.50 or 50%) bagian akan berada di salah satu
sisi dari rata-rata.
 Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan
variansi, , dan dintayakan dengan: [X~N()].
 Setiap kurva bersifat asymptotik.
 Luas area di bawah kurva fungsi densitas Peluang normal
dalam rantang k dari  adalah sama untuk setiap
distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
 Distribusi ini digunakan sangat luas dan seringkali
dinotasikan dengan X ~ N  , 2  .
 Jika  dan  diketahui maka lokasi dan bentuk kurva
normal dapat diketahui.
 Nilai parameter  (parameter lokasi) yang semakin
besar akan menggeser kurva ke kanan, dan nilai
parameter 
(parameter bentuk) yang semakin
membesar akan menyebabkan kurva normal semakin
landai (memperbesar jarak dari pemusatan ke posisi
titik-titik belok kurva).
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Beberapa sifat penting fungsi densitas probabilitas normal:

i. Luas daerah di bawah kurva  f ( x) dx  1 .
Dengan melakukan transformasi linier y  ( x   ) /  , akan
diperoleh fungsi distribusi kemungkinan normal standar
f ( y) 
1
2
e
1 y2
2
. Kemudian definisikan bentuk satuan berikut
1   12 y 2
I
  e dy ,
2  
dan pertimbangkan sebuah bentuk satuan dari variabel random
Z yang juga mengikuti fungsi distribusi kemungkinan normal standar
I
1
2

 e

1 z2
2
dz .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (7)
Selanjutnya definisikan perkalian kedua bentuk satuan
tersebut sebagai berikut
1   12 y 2
1   12 z 2
1    12 ( y 2  z 2 )
I 
  e dy 
  e dz =
  e
dy dz .
2

2 
2 
 
Gunakan transformasi berikut y  r sin  , dan z  r cos
2
, maka
dapat diperoleh

1  2  12 r 2
 12 r 2
I 
   r  e d dr   r  e dr  1.
2 0 0
0
1   12 y 2
2
Karena I  1, maka I  2  e dy  1 .
2
ii. Untuk setiap nilai variabel random X, nilai f ( x)  0 .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (8)
iii.
Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal bersifat
f ( x)  0 dan
assymptotic pada kedua sisinya (tail), atau xlim

lim f ( x)  0 .
x  
iv. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal simetris di kiri
dan kanan lokasi pemusatan  , atau f  x     f  x    .
v. Nilai maksimum (modus) dari kurva fungsi distribusi
kemungkinan normal f (x) berada pada lokasi pemusatan
x.
vi. Titik belok (point of onflections) dari kurva fungsi distribusi
kemungkinan normal f (x) berada pada titik-titik x     .
Kurva memiliki bentuk cekung dari bawah untuk
 
 
- <x< + , dan cekung dari atas untuk harga x lainnya.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (9)
Kedua parameter fungsi normal  dan  2 adalah ratarata (ekspektasi E (X )   ) dan variansi (V ( X )   2 )
distribusi probabilitas normal.
Bukti :
1 
- 12  x    /  2
E( X ) 
xe
dx

 2 -
.
Gunakan transformasi z  ( x   ) /  , dan diperoleh :

(   z ) - 12 z 2
E( X )  
 e dz
2
-


1
z
- 12 z 2
- 12 z 2

 e dz   
 e dz
- 2
- 2
   (1)    (0)  .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (10)
Selanjutnya hitung variansi sebagai berikut:
V ( X )  E[( X   ) 2 ]

( x   ) 2  11 ( X ) 2

e
dx
   2

 2z2  z

e dz
  2
1 2
1




2
1
1 z2

z
1


z

2
 
e1

e 1 dz 
 2


  2
  2 0  1   2 .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (11)
Besarnya nilai probabilitas variabel random normal
ditentukan dengan formulasi berikut :
u
1
 12 (  ) 2
F ( x)  P( X  x)  
e
dx .
   2
x
Nilai probabilitas tersebut tidak dapat dihitung secara
analitis matematis melalui persamaan integral di atas, untuk
itu digunakan tabel distribusi normal yang diperoleh melalui
pendekatan numerik.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (12)
Beberapa pendekatan numerik yang dapat digunakan untuk
menentukan besarnya nilai probabilitas adalah:
i. Pendekatan Hoyt (1968) menggunakan fungsi
1
8
(3  x 2 )
1
16
untuk x  1
(3  x ) 2 untuk 1  x  3
pendekatan ini memberikan kesalahan kurang dari 0.01.
ii. Pendekatan Polya (1945) menggunakan fungsi
F ( x)  12 1  {1  exp(2 x 2 /  )}1 / 2 .
Pendekatan ini memberikan kesalahan maksimum
sebesar 0.003 pada x=1.6.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal
iii.
Pendekatan Burr (1967) menggunakan fungsi

G ( x)  1  1  (  x)

c k
dimana  =0.644693,  =0.161984, c =4.874, dan k=6.158. Pendekatan yang lebih baik dengan fungsi G(x)
adalah H ( x)  12 [G( x)  1  G( x)] . Dengan pendekatan ini
memberikan kesalahan maksimum adalah 0.00046 pada
x=0.6 dan x=-0.6.
Pendekatan lainnya dapat dilihat pada:
Johnson, N.L. & Kotz, S., (1970), Continuous Univariate
Distribution, JWS.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (14)
Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai
rata-rata dan variansi yang berbeda
Normal Distribution:  =40, =1
Normal Distribution:  =30, =5
0.4
Normal Distribution:  =50, =3
0.2
0.2
0.2
f(y)
f(x)
f(w)
0.3
0.1
0.1
0.1
0.0
0.0
35
40
45
w
0.0
0
10
20
30
40
x
Normal Distribution:  =0, =1
Perhatikan
bahwa:
0.4
f(z)
0.3
0.2
0.1
0.0
50
60
35
45
50
55
y
Nilai Peluang dari setiap
interval adalah luas
area di bawah kurva
fungsi densitas Peluang
normal.
P(39  W 
41)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp...
…… 27/9/2012
P(25  X 
-5
0
z
5
65
Distribusi Peluang Normal (15)
•
•
Peluang bahwa peubah acak
normal berada dalam rentang satu
deviasi Baku dari rata-rata adalah
0.6826, atau sekitar 0.68.
Peluang bahwa peubah acak
normal berada dalam rentang dua
deviasi Baku dari rata-rata adalah
0.9544, atau sekitar 0.95.
Peluang bahwa peubah acak
normal berada dalam rentang tiga
deviasi Baku dari rata-rata adalah
0.9974.
S tandard Normal D is tribution
0.4
0.3
f(z)
•
0.2
0.1
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Z
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
4
5
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
Peubah acak normal Baku, Z, adalah peubah acak normal
dengan rata-rata  = 0 dan deviasi Baku  = 1: Z~N(0,12).
Distribusi Normal Baku
0 .4
=1
{
f(z)
0 .3
0 .2
0 .1
0 .0
-5
-4
-3
-2
-1
0
=0
1
2
3
4
5
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
P(0 < Z < 1.56)
Peluang Normal Baku
Sta dard Normal Distribution
0.4
f(z)
0.3
0.2
0.1
{
1.56
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Z
Lihat pada baris 1.5
dan kolom .06 untuk
menemukan
P(0<z<1.56) = 0.4406
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
.00
0.0000
0.0398
0.0793
0.1179
0.1554
0.1915
0.2257
0.2580
0.2881
0.3159
0.3413
0.3643
0.3849
0.4032
0.4192
0.4332
0.4452
0.4554
0.4641
0.4713
0.4772
0.4821
0.4861
0.4893
0.4918
0.4938
0.4953
0.4965
0.4974
0.4981
0.4987
.01
0.0040
0.0438
0.0832
0.1217
0.1591
0.1950
0.2291
0.2611
0.2910
0.3186
0.3438
0.3665
0.3869
0.4049
0.4207
0.4345
0.4463
0.4564
0.4649
0.4719
0.4778
0.4826
0.4864
0.4896
0.4920
0.4940
0.4955
0.4966
0.4975
0.4982
0.4987
.02
0.0080
0.0478
0.0871
0.1255
0.1628
0.1985
0.2324
0.2642
0.2939
0.3212
0.3461
0.3686
0.3888
0.4066
0.4222
0.4357
0.4474
0.4573
0.4656
0.4726
0.4783
0.4830
0.4868
0.4898
0.4922
0.4941
0.4956
0.4967
0.4976
0.4982
0.4987
.03
0.0120
0.0517
0.0910
0.1293
0.1664
0.2019
0.2357
0.2673
0.2967
0.3238
0.3485
0.3708
0.3907
0.4082
0.4236
0.4370
0.4484
0.4582
0.4664
0.4732
0.4788
0.4834
0.4871
0.4901
0.4925
0.4943
0.4957
0.4968
0.4977
0.4983
0.4988
.04
0.0160
0.0557
0.0948
0.1331
0.1700
0.2054
0.2389
0.2704
0.2995
0.3264
0.3508
0.3729
0.3925
0.4099
0.4251
0.4382
0.4495
0.4591
0.4671
0.4738
0.4793
0.4838
0.4875
0.4904
0.4927
0.4945
0.4959
0.4969
0.4977
0.4984
0.4988
.05
0.0199
0.0596
0.0987
0.1368
0.1736
0.2088
0.2422
0.2734
0.3023
0.3289
0.3531
0.3749
0.3944
0.4115
0.4265
0.4394
0.4505
0.4599
0.4678
0.4744
0.4798
0.4842
0.4878
0.4906
0.4929
0.4946
0.4960
0.4970
0.4978
0.4984
0.4989
.06
0.0239
0.0636
0.1026
0.1406
0.1772
0.2123
0.2454
0.2764
0.3051
0.3315
0.3554
0.3770
0.3962
0.4131
0.4279
0.4406
0.4515
0.4608
0.4686
0.4750
0.4803
0.4846
0.4881
0.4909
0.4931
0.4948
0.4961
0.4971
0.4979
0.4985
0.4989
.07
0.0279
0.0675
0.1064
0.1443
0.1808
0.2157
0.2486
0.2794
0.3078
0.3340
0.3577
0.3790
0.3980
0.4147
0.4292
0.4418
0.4525
0.4616
0.4693
0.4756
0.4808
0.4850
0.4884
0.4911
0.4932
0.4949
0.4962
0.4972
0.4979
0.4985
0.4989
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
.08
0.0319
0.0714
0.1103
0.1480
0.1844
0.2190
0.2517
0.2823
0.3106
0.3365
0.3599
0.3810
0.3997
0.4162
0.4306
0.4429
0.4535
0.4625
0.4699
0.4761
0.4812
0.4854
0.4887
0.4913
0.4934
0.4951
0.4963
0.4973
0.4980
0.4986
0.4990
.09
0.0
0.0
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
P(Z < -2.47)
z
Untuk P(Z<-2.47):
...
.
.
.
2.3 ...
2.4 ...
2.5 ...
.
Lihat tabel untuk 2.47
P(0 < Z < 2.47) = .4934
P(Z < -2.47) = .5 - P(0 < Z < 2.47)
= .5 - .4934 = 0.0066
0.4909
0.4931
0.4948
.06
.07
.
.
.
0.4911
0.4932
0.4949
.
.
.
0.4913
0.4934
0.4951
.08
.
.
.
Standard Normal Distribution
0.4
0.3
f(z)
Area di sebelah kiri -2.47
P(Z < -2.47) = .5 - 0.4932
= 0.0068
Nilai tabel area 2.47
P(0 < Z < 2.47) = 0.4934
0.2
0.1
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Z
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
P(1< Z < 2)
Temukan P(1 < Z < 2):
1. Temukan nilai tabel 2.00
F(2) = P(Z < 2.00) = .5 + .4772 =.9772
2. Temukan nilai tabel 1.00
F(1) = P(Z < 1.00) = .5 + .3413 = .8413
3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00)
= .9772 - .8413 = .1359
z
.
.
.
0.9
1.0
1.1
.
.
.
1.9
2.0
2.1
.
.
.
.00
.
.
.
0.3159
0.3413
0.3643
.
.
.
0.4713
0.4772
0.4821
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
Standard Normal Distribution
0.4
Luas area diantara 1 dan 2
P(1 < Z < 2) = .4772 - .8413 = 0.1359
f(z)
0.3
0.2
0.1
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Z
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
P(0 < Z < z) = 0.40
Temukan z sehingga
P(0 < Z < z) = .40:
Temukan nilai Peluang
sedekat mungkin dengan .40
dari tabel kemungkinan
normal Baku.
Tentukan nilai z pada baris
dan kolom yang sesuai.
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
.
.
.
.00
0.0000
0.0398
0.0793
0.1179
0.1554
0.1915
0.2257
0.2580
0.2881
0.3159
0.3413
0.3643
0.3849
0.4032
.
.
.
.01
0.0040
0.0438
0.0832
0.1217
0.1591
0.1950
0.2291
0.2611
0.2910
0.3186
0.3438
0.3665
0.3869
0.4049
.
.
.
.04
0.0160
0.0557
0.0948
0.1331
0.1700
0.2054
0.2389
0.2704
0.2995
0.3264
0.3508
0.3729
0.3925
0.4099
.
.
.
.05
0.0199
0.0596
0.0987
0.1368
0.1736
0.2088
0.2422
0.2734
0.3023
0.3289
0.3531
0.3749
0.3944
0.4115
.
.
.
.06
0.0239
0.0636
0.1026
0.1406
0.1772
0.2123
0.2454
0.2764
0.3051
0.3315
0.3554
0.3770
0.3962
0.4131
.
.
.
.07
0.0279
0.0675
0.1064
0.1443
0.1808
0.2157
0.2486
0.2794
0.3078
0.3340
0.3577
0.3790
0.3980
0.4147
.
.
.
.08
0.0319
0.0714
0.1103
0.1480
0.1844
0.2190
0.2517
0.2823
0.3106
0.3365
0.3599
0.3810
0.3997
0.4162
.
.
.
0.4
Luas area di kiri 0 = .50
P(z  0) = .50
Area = .40 (.3997)
0.3
f(z)
P(Z <1.28) .90
.03
0.0120
0.0517
0.0910
0.1293
0.1664
0.2019
0.2357
0.2673
0.2967
0.3238
0.3485
0.3708
0.3907
0.4082
.
.
.
Standard Normal Distribution
P(0<z<1.28) 0.40
Karena P(Z < 0) = .50
.02
0.0080
0.0478
0.0871
0.1255
0.1628
0.1985
0.2324
0.2642
0.2939
0.3212
0.3461
0.3686
0.3888
0.4066
.
.
.
0.2
0.1
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
Z
1
2
3
4
5
Z = 1.28
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
.09
0.0359
0.0753
0.1141
0.1517
0.1879
0.2224
0.2549
0.2852
0.3133
0.3389
0.3621
0.3830
0.4015
0.4177
.
.
.
Distribusi Normal Baku
P(-z.005< Z < z.005) = 0.99
Untuk memperoleh
Peluang 0.99 di tengah
distribusi, akan ada
(1/2)(1-.99) = (1/2)(.01)
= .005 di ekor (tail)
Area di kiri = .495
distribusi, dan (1/2)(.99) =
.495 setengah dari interval
.99, atau :
z
.
.
.
2.4 ...
2.5 ...
2.6 ...
.
.
.
.04
.
.
.
0.4927
0.4945
0.4959
.
.
.
.05
.
.
.
0.4929
0.4946
0.4960
.
.
.
.06
.
.
.
0.4931
0.4948
0.4961
.
.
.
.07
.
.
.
0.4932
0.4949
0.4962
.
.
.
.08
.
.
.
0.4934
0.4951
0.4963
.
.
.
.09
.
.
.
0.4936
0.4952
0.4964
.
.
.
Area di tengah = .99
0.4
Area di kanan = .495
f(z)
0.3
P(0<Z< z.005) = .495
Area di ekor kiri = .005
0.2
Area di ekor kanan = .005
0.1
0.0
-5
-4
-3
-2
-z.005
-2.575
-1
0
Z
1
2
3
4
5
z.005
2.575
Dari tabel Peluang normal
Baku:
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk
peubah acak normal adalah sama. Jadi area di
bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah
Transformasi
X
Normal
Distribution:
=50, =10
X   x Baku. Contoh: P(40
kurna
normal

X

P(-1
 Z  
Z
menjadi
Z
:x
  untuk
5dan 
Transformasi pada
0.07
0.06
(1) Pengurangan: (X - x)
f(x)
0.05
0.04
0.03
=10
{
0.02
Standard Normal Distribution
0.01
0.00
0.4
0
10
30
40
50
60
70
80
90 100
X
0.3
(2) Pembagian dengan x)
0.2
{
f(z)
20
0.1
1.0
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
Z
1
2
3
4
5
Transformasi
X Z x  Z  x
sebaliknya
menjadi X:
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
Contoh:
X~N(160,302)
P (100  X  180)
100   X   180   

 P



 

 
100  160
180  160

 P
Z

 30
30 
 P 2  Z  .6667 
 0.4772  0.2475  0.7247
Contoh
X~N(127,222)
P ( X  150)
X   150   

 P


 
 
150  127 

 P Z 


22 
 P Z  1.045
 0.5  0.3520  0.8520
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
Transformasi
X
X  x
Z 
menjadi
Z x:
Transformasi kebalikan
X    Z
Z menjadix X: x
Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a
a  

dan b: P( X  a)  P Z   
b  

P( X  b)  P Z 


 
b  
a 
P(a  X  b)  P
Z

 
 
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
Untuk menemukan nilai Peluang dengan interval tertentu
untuk sembarang peubah acak normal adalah dengan
mengekspresikan interval tersebut dalam satuan
deviasi Baku dari rata-ratanya.
70  50 
 x   70    
P( X  70)  P

  P Z 
  P( Z  2)
 
  
10 
Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2
deviasi Baku di atas rata-rata X: 70=+2. P(X > 70) ekuivalen
dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal Baku.
Contoh:
z
.
.
.
1.1
1.2
1.3
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.07
.
.
.
0.3790
0.3980
0.4147
.
.
.
.08
.
.
.
0.3810
0.3997
0.4162
.
.
.
.09
.
.
.
0.3830
0.4015
0.4177
.
.
.
X~N(124,122)
P(X > x) = 0.10 dan P(Z >
1.28) 
0.10
x = dari:
+
= 124 +
Diunduh
http: z
dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp...
…… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
Contoh:
X~N(5.7,0.52)
P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01
x =  + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865
z
.
.
.
2.2
2.3
2.4
.
.
.
.02
.
.
.
0.4868
0.4898
0.4922
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.03
.
.
.
0.4871
0.4901
0.4925
.
.
.
.04
.
.
.
0.4875
0.4904
0.4927
.
.
.
Contoh:
X~N(2450,4002)
P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)0.95
x =   z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450
±784=(1666,3234)
P(1666 < X < 3234) = 0.95
z
.
.
.
1.8
1.9
2.0
.
.
Normal Distribution:  =5.7 =0.5
.07
.
.
.
0.4693
0.4756
0.4808
.
.
0.0015
Area = 0.49
0.6
.4750
.4750
0.0010
f(x)
0.5
f(x)
.06
.
.
.
0.4686
0.4750
0.4803
.
.
Normal Distribution:  =2450  =400
0.8
0.7
.05
.
.
.
0.4678
0.4744
0.4798
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
0.4
X.01 = +z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865
0.3
0.2
0.0005
.0250
.0250
Area = 0.01
0.1
0.0
0.0000
3.2
4.2
5.2
6.2
7.2
1000
8.2
2000
X
-5
-4
-3
-2
-1
0
z
3000
4000
X
1
2
3
4
5
Z.01 = 2.33
-5
-4
-3
-2
-1.96
-1
0
Z
1
2
3
4
5
1.96
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
0.0012
.
0.0010
.
0.0008
.
f(x)
1.Gambarkan distribusi
normal yang ingin diteliti
dan distribusi normal
Baku.
Normal Distribution:  = 2450,  = 400
0.0006
.
0.0004
.
0.0002
.
0.0000
1000
2.Arsir daerah Peluang
yang diteliti.
3000
4000
X
S tand ard N o rm al D is trib utio n
0.4
0.3
f(z)
3.Dari tabel distribusi
normal Baku, temukan
nilai z.
4. Transformasikan nilai z
menjadi x (nilai peubah
acak asal).
2000
0.2
0.1
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Z
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
1.Distribusi Normal dan Normal Baku.
Normal
Nor al Distribution:
Distribution:  =
=2450,
2450,  =
=400
40
0.0012
.
0.0010
.
.4750
.4750
0.0008
.
f(x
2. Arsir daerah 0.95
(masing-masing
0.475 di kiri dan
kanan.
0.0006
.
0.0004
.
0.0002
.
.9500
0.0000
100
3. Temukan nilai z dari
tabel normal Baku
z=-1,96 dan z=1.96
.
.
.
...
...
...
.
.
.05
.
.
.
0.4678
0.4744
0.4798
.
.
.06
.
.
.
0.4686
0.4750
0.4803
.
.
.07
.
.
.
0.4693
0.4756
0.4808
.
.
300
400
X
4. Transformasi nilai
z ke nilai x
S tand ard N o rm al D is trib utio n
0.4
.4750
.4750
0.3
f(z)
z
.
.
.
1.8
1.9
2.0
.
.
200
0.2
0.1
.9500
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
Z
1
2
3
4
5
x =   z
= 2450 ±
(1.96)(400)
= 2450 ± 784
=(1666,3234)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL
Distribusi normal dengan  = 3.5 dan  = 1.323 mendekati distribusi binomial
dengan n = 7 dan p = 0.50.
Normal Distribution:  =3.5,  =1.323
P(x<4.5) = 0.7749
Binomial Distribution: n =7, p =0.50
0.3
0.3
P( x 4) = 0.7734
0.2
f(x)
P(x)
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0
0
5
10
0
X
2
3
4
5
6
7
X
MTB > cdf 4.5;
SUBC> normal 3.5 1.323.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 3.50000 and Bakud deviation = 1.32300
x P( X <= x)
4.5000
0.7751
1
MTB > cdf 4;
SUBC> binomial 7,.5.
Cumulative Distribution Function
Binomial with n = 7 and p = 0.500000
=0.0017
x P( X <= x)
4.00
0.7734
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL
Distribusi normal dengan  = 5.5 dan  = 1.6583 pendekatan yang lebih baik
untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.
Normal Distribution:  =5.5,  =1.6583
P(x4) = 0.2744
0.3
P(x<4.5) = 0.2732
Binomial Distribution: n =11, p =0.50
0.2
f(x)
P(x)
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0
0
5
0
10
1
2
4
5
6
7
8
9 10 11
X
X
MTB > cdf 4.5;
SUBC> normal 5.5 1.6583.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 5.50000 and Bakud deviation = 1.65830
x P( X <= x)
4.5000
0.2732
3
MTB > cdf 4;
SUBC> binomial 11,.5.
Cumulative Distribution Function
Binomial with n = 11 and p = 0.500000
=0.0012
x
P( X <= x)
4.00
0.2744
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Pendekatan untuk Binomial (3)
Definisi:
Bila X variabel random binomial dengan rata-rata  = np
dan variansi  2 = npq, maka bentuk pendekatan adalah
distribusi
Z
X  np
npq
,
bila n   adalah distribusi normal
baku N(0,1).
Dari perhitungan, distribusi normal memberikan pendekatan
nilai probabilitas yang baik terhadap distribusi binomial bila
n besar dan p mendekati 0.5, bahkan bila n mengecil tapi p
tidak terlalu jauh dari 0.5 masih diperoleh pendekatan yang
cukup baik.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Pendekatan untuk Binomial (4)
b  np 
 a  np
P( a  X  b)  P
Z

 np(1  p)
np(1  p) 
Untuk
n besar
(n>50)
dantoo
p tidak
mendekati
for
n large
(n  50)
and p not
close to
0 or 1.00 0 atau 1.00
Atau:
b  0.5  np 
 a  0.5  np
P(a  X  b)  P
Z

np(1  p) 
 np(1  p)
Untuk
n sedang
(20<n<50)
for
n moderately
large
(20  n < 50).
Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan
pendekatan dengan distribusi Poisson.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Pendekatan untuk Binomial (5)
Suatu proses menghasilkan sejumlah produk (dengan kemungkinan
dproduk cacat 10%). Bila 100 produk diambil secara acak, berapakah
kemungkinan bahwa terdapat lebih dari 13 produk cacat?
 Dalam kasus ini, banyaknya cacat berdistribusi binomial dengan
parameter n= 100 dan p=0,1. Karena ukuran sampel besar dilakukan
pendekatan dengan fungsi kemungkinan normal dimana parameternya
adalah   np  (100)(0,1)  10 , dan   npq  (100)(0,1)(0,9)  3,0 .
 Karena ingin diamati kemungkinan bahwa terdapat lebih dari 13 produk
cacat, maka dicari probabilitas x>13. Untuk kasus diskrit, digunakan
batas x=13.5, dan harga z yang sesuai adalah z  (13.5  10) / 3  1,167 .
Dari tabel diperoleh kemungkinan z>1.167 adalah 0.1216.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Perhitungan dengan Excel (1)
Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan
memberikan nilai Peluang kumulatif dari peubah acak normal
Baku.
Perintah NORMDIST(number, mean, Bakud deviation)
akan memberikan nilai Peluang dari peubah acak normal secara
umum.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Perhitungan dengan Excel (2)
Contoh:
NORMSDIST(1.0) = 0.8413.
NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938.
Perintah inversinya NORMSINV(number) dan
NORMINV(number, mean, Bakud deviation).
NORMSINV(0.975) = 1.96.
NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Normal Multivariat (1)
Distribusi dalam analisis multivariat umumnya adalah
distribusi multivariat normal sebagai perluasan dari
distribusi normal univariat.
Terdapat dua landasan pokok untuk hal tersebut, yaitu :
i. Kasus pengukuran multivariat seringkali adalah bentuk
penjumlahan dari beberapa pengaruh random yang
independen. Dengan teorema central limit, beberapa
variabel tadi membentuk distribusi normal multivariat.
ii. Teori statistika yang berlandaskan pada distribusi normal
terbukti telah menunjukkan keberhasilan dalam
melakukan kajian secara terstruktur dan sistematis.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Normal Multivariat (2)
 Nilai ekspektasi dari sebuah vektor variabel random
X=(X1,…,Xm)’ adalah E ( X )  E ( X1 ),...,E ( X m )' .
 Jika X mempunyai rata-rata  matriks variansikovariansi X didefinisikan sebagai matriks (mxm) berikut
  Cov( X )  E( X   )( X   )' .
 Elemen ke-i dan ke-j dari matriks variansi-kovariansi
adalah  ij  E[( X i   i )( X j   j )] , sedangkan elemen ke-i
2


E
[(
X


)
].
dikenal sebagai variansi ii
i
i
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Normal Multivariat (3)
 Agar variansi variabel random Xi ada, maka matriks
definit nonnegatif. Karena similaritas kovariansi, maka
matriks  adalah matriks simetris, sehingga    ' .
 Sebuah matriks simetris (mxm) A disebut definit nonm
negatif jika  ' A  0 untuk semua   R dan pasti positif
m
m
jika  ' A  0 untuk semua   R ,  0 . R adalah ruang
Euklidean berdimensi m dengan komponen real.
f x ( x)  (2 )
m / 2
(det )
1 / 2
 1

1
exp  ( x   )'  ( x   )
 2

Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Gamma (1)
Distribusi gamma dikenal dari fungsi gamma yang banyak digunakan
dalam bidang matematika. Fungsi gamma didefinisikan oleh

( )   x  1 e  x dx untuk   0 .
0
 1
Jila dilakukan integrasi parsial atas u  x
dan dv=e-xdx, maka akan
diperoleh

  x
 x  2

x


1


2
( )  e x
  e (  1) x
dx = (  1)  e x dx ,
0
0
0
sehingga dihasilkan pengulangan fungsi gamma ( )  (  1)(  1) ,
( )  (  1)(  2)(  2) , dan seterusnya jika =n, dimana n bilangan
bulat positif, maka (n)  (n  1)(n  2)...(1) . Karena menurut definisi

x
fungsi gamma (1)   e dx  1 , maka (n)  (n  1)! .
0
Satu sifat penting fungsi gamma, adalah (1 / 2)   .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Gamma (2)
Definisi
Sebuah variabel random kontinyu X berdistribusi gamma
dengan parameter bila   0 dan   0 , bila mengikuti
fungsi
1
f ( x)  
x  1 e  x / 
 ( )
= 0,
x>0
untuk x lainnya.
Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagai
berikut :
E (X )     dan V ( X )   2   2 .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Gamma (3)
Hal ini dapat dibuktikan dengan mengevaluasi momen ke-r di
sekitar titik asal distribusi gamma adalah
1
 r  1  / 
  E( X )  
x
e
dx .

0
 ( )
'
r
r
 r  r  1  / 
 r (  r )
Jika dimisalkan y=x/ , maka   ( ) 0 y e dy  ( ) .
(  1)
'




  , dan
1
Dengan demikian
( )
'
r
2
 2 (  2)
    
  2  2 = 
( )
2
'
2
2
Distribusi gamma yang khusus (spesifik) untuk =v/2,  =2,
dan v bilangan bulat positif disebut distribusi khi-kuadrat (chisquare) dengan degree of freedom v.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Gamma (4)
Proposisi:
Jika X i , i  1,2,..., n adalah variabel random gamma independen
n
(

,

)
dengan parameter i
, maka i 1 X i juga gamma dengan
parameter i 1 i ,  .
(parameter  adalah 1 /  )
Proposisi:
Jika X i , i  1,2,..., n adalah variabel random independen
eksponensial independen dan identik dengan rata-rata  ,
n
maka i 1 X i adalah variabel random gamma dengan
parameter (n,  ) .
n
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Weibull (1)
Distribusi Weibull (Waloddi Weibull, Swedish, 1939) banyak digunakan
dalam analisis keandalan yang berkiatan dengan umur (rentang
waktu), contohnya rantang waktu dimana sebuah peralatan mungkin
akan rusak (tidak berfungsi).
Definisi
Variabel random kontinyu T berdistribusi Weibull, dengan dua
parameter   0 dan   0 , jika fungsi padatnya mengikuti
 1  at 
f (t )  t e untuk t > 0, dan f(t)=0, untuk t lainnya
Parameter pemusatan dan penyebaran adalahsebagai berikut :
 1
E (T )     1 /  1  
 
dan
  2    1  2 
V (T )   2    2 /  1    1   
        
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Weibull (2)
Dengan menggunakan analogi, fungsi distribusi kemungkinan
Weibull dapat mencakup tiga parameter W(,,) dan fungsi
keandalannya didefinisikan oleh
 1
  t    
exp 
 ,
    
  t    
R (t ; ,  , )  exp 
 .


 

  t  
f (t ; ,  , )  

  
t   , dan
Mean time to failure (MTTF) dan variansinya adalah
   1
 dan
E (T ; ,  , )    
  
    2  2    1 
   
 .
Var (T ; ,  , )   2 
  
   
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Weibull (3)
Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis
keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut
dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan,
meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta
wear-out failures.
laju
kerusakan
Kerusakan karena terjadinya early
causes dan chance causes
kerusakan karena terjadi wearout causes dan chance causes
hanya terjadi
chance failure
t
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
PELUANG
Diunduh dari: http: …… 20/9/2012
PELUANG
Diunduh dari: http: …… 20/9/2012