Transcript BEBERAPA EKSPEKTASI KHUSUS

BEBERAPA EKSPEKTASI KHUSUS
Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai pdf f(x).
Beberapa ekspektasi khusus :
1.   E (X )
xf ( x)
Untuk kasus diskrit : E( X )  
x
Misalkan a1,a2,a3,… adalah nilai-nilai dari X dimana f(x) > 0,
maka E(X)=a1 f(a1) + a2f(a2) + a3 f(a3)+… atau merupakan ratarata berbobot dari nilai-nilai a1,a2,a3,… dengan bobot masingmasing ai adalah f(ai). Oleh karena itu, E(X) disebut nilai mean
dari X atau nilai mean dari suatu distribusi atau mean dari
populasi jika E(X) ada dan dinotasikan dengan  .
2.  2  E( X   )2 
2
Misalkan u( X )  ( X   ) , untuk variabel random diskrit
seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, maka


E  X      x    f ( x)  a1    f (a1 )  a2    f (a2 )  ...
2
2
2
2
x
atau merupakan rata-rata berbobot dari kuadrat deviasi
masing-masing ai terhadap nilai mean  dengan bobot dari
masing-masing ai   2 adalah f(ai). Nilai ini biasa disebut
variansi dari X atu variansi dari distribusi atau variansi
populasi, dinotasikan dengan  2 .


Dapat ditunjukkan bahwa :  2  E  X   2  E( X 2 )   2
 yang merupakan akar dari variansi biasa disebut standar
deviasi dari X atau standar deviasi dari distribusi.
Diinterpretasikan sebagai suatu ukuran penyebaran dari nilainilai variabel random X terhadap mean  .
3. Moment Generating Function (mgf) dari X
Misalkan terdapat suatu bilangan positif h sedemikian hingga untuk
–h < t < h, E (etX ) ada. Artinya untuk
- variabel random diskrit : E (etX )   etx f ( x)

x
tX
tx
- variabel random kontinu : E (e )   e f ( x) dx

Ekspektasi ini dinamakan mgf dari X (mgf dari distribusi) dan
dinotasikan dengan M(t).
tX
Jadi mgf dari X adalah M(t) = E (e ) jika ekspektasi ini ada untuk
–h<t<h, dimana h > 0.
Mgf dari variabel random X disebut juga mgf dari suatu
distribusi . Akan tetapi tidak semua distribusi mempunyai mgf.
Apabila suatu distribusi mempunyai mgf, maka mgfnya unik
sehingga jika dua variabel random mempunyai mgf yang
sama, maka kedua variabel random tersebut mempunyai
distribusi yang sama.
Contoh :
t
2t
3t
4t
Misalkan M(t) adalah mgf dari X, M (t )  101 e  102 e  103 e  104 e
untuk semua t  R . Tentukan pdf dari X
Karena suatu distribusi yang mempunyai mgf M(t) secara lengkap
ditentukan oleh M(t), maka beberapa sifat dari distribusi dapat
diturunkan secara langsung dari M(t). Contohnya adalah
keberadaan M(t) untuk –h < t < h menyebabkan turunanturunannya ada pada saat t = 0.

Jadi apabila : M (t )   etx f ( x) dx untuk –h < t < h dengan X variabel

random kontinu, maka
- M(0) = E(1) = 1



d
d
d tx
tx
tx
M
'
(
t
)

M
(
t
)

e
f
(
x
)
dx

e
f
(
x
)
dx

xe
f ( x)dx



dt
dt 
dt



M ' (0)   xf ( x)dx  E( X )

Berdasarkan definisi turunan,
M ' (0) 
lim M (t )  M (0)
t 0
t
Karena M(t) ada untuk –h < t < h maka M’(0) ada.
Jadi, keberadaan M(t) untuk –h < t < h mengakibatkan
turunannya ada di t = 0 (demikian juga untuk turunan-turunan
yang lain).
E(X) disebut momen ke-1 dari variabel random X.
-



d
d tx
tx
2 tx
M ' ' (t ) 
xe
f
(
x
)
dx

xe
f
(
x
)
dx

x
e f ( x)dx



dt 
dt



-
M ' ' (0) 
2
2
x
f
(
x
)
dx

E
(
X
)


E ( X 2 ) disebut momen ke-2 dari X. Variansi dari X dapat
dicari dari momen ke-1 dan momen ke-2 dari X, yaitu :
 2  E( X 2 )  (E( X ))2  M ' ' (0)  (M ' (0))2
Note : Untuk variabel random diskrit, caranya analog .
m
M
(t ) adalah turunan
Jika m bilangan bulat positif dan jika
m
m
ke-m dari M(t), maka M (0)  E( X ) disebut momen ke-m dari
X atau momen ke-m dari suatu distribusi.
Karena M(t) membangkitkan momen-momen dari X atau
m
nilai-nilai dari E( X ) untuk m= 1,2,…dimana 
E ( X m )   x m f ( x) (kasus diskrit) atau E( X m )  x m f ( x)dx

x
(kasus kontinu), maka M(t) disebut moment generating
function.
• Contoh 1:
 12 x  1,  1  x  1
Misalkan X mempunyai pdf f ( x)   0, x yang lain

Tentukan mean dan variansi dari X.
Jawab:

1

1
  E( X )   xf ( x)dx   x 12 ( x  1)dx 

1
3
1
  E( X )  ( E( X ))   x f ( x)dx     x 2
2
2
2
2

2
1
x 1
1 2
dx  
2
9 9
• Contoh 2:
 x1 ,1  x  
Misalkan X mempunyai pdf f ( x)  0, x yanglainnya

Tentukan mean dan variansi dari X.
2
Perhatikan bentuk berikut :


1
lim b 1
lim
1
ln b  ln1  
x 2 dx 
dx


b1 x
b
x
sehingga dapat disimpulkan bahwa X tidak mempunyai mean
dan variansi.
• Contoh 3:
2
1 1
1

Diketahui bahwa deret 2  2  2  ... konvergen ke
maka
1
2
3
6
 6

, x  1,2,3,...
f ( x)    2 x 2
0, x yanglainnya
adalah pdf dari variabel random diskrit X. Mgf dari X jika ada,
ditentukan sbb :

6
M (t )  E (etX )   etx f ( x)   etx
x
x 1
 2 x2
Berdasarkan uji rasio untuk deret tak hingga, deret divergen
apabila t > 0. Jadi tidak terdapat h>0 sehingga M(t) ada untuk
-h < t < h. Jadi X dengan pdf f(x) tidak mempunyai mgf.