Transcript KOEFISIEN KORELASI - Blog Mahasiswa UI

KOEFISIEN KORELASI
• Misalkan X dan Y adalah variabel-variabel random yang
mempunyai pdf bersama f(x,y). Jika u(x,y) adalah fungsi dari x
dan y, maka diasumsikan E[u(X,Y)] terdefinisi.
• Dalam pembahasan ini, diasumsikan semua ekspektasi ada,
yaitu :
- u( x, y)  x  E( X )  1 (mean dari X)
- u( x, y)  y  E(Y )  2 (mean dari Y)
2
2
2




u
(
x
,
y
)

(
x


)

E
X




1
1
1
(variansi dari X)
2
2
2
- u( x, y)  ( y  2 )  EY  2     2 (variansi dari Y)
• Perhatikan ekspektasi berikut:
EX  1 Y  2   EXY  2 X  1Y  12 
 E( XY )  2 E( X )  1E(Y )  12
 E( XY )  2 1  12  12
 E ( XY )  12
yang disebut kovariansi dari X dan Y.
Notasi : Cov(X,Y)
• Apabila  1 dan  2 positif, bilangan

E X  1 Y  2 
 1 2

Cov( X , Y )
 1 2
disebut koefisien korelasi dari X dan Y.
E X  1 Y  2   E XY   12
1 2  E XY   12
Jadi, E XY   12  1 2 .
• Contoh:
Misalkan X dan Y variabel random yang mempunyai pdf
bersama :
x  y,0  x  1,0  y  1

f ( x, y)  
 0, ( x, y) yanglainnya
Hitung koefisien korelasi dari X dan Y
1 





11


• Catatan:
- Nilai  memenuhi  1    1
- Jika   1 maka terdapat suatu garis dengan persamaan
y  a  bx, b  0 , grafik yang mengandung semua
probabilitas untuk distribusi X dan Y. Dalam hal ini
Pr(Y  a  bX )  1 .
- Jika   1 maka sama dengan pernyataan   1 , tetapi
dalam hal ini b < 0.
- Jika  1    1 , maka akan timbul pertanyaan apakah ada
suatu garis di bidang XY sehinnga probabilitas untuk X dan Y
terkonsentrasi di sekitar jalur garis tersebut?
• Adib bahwa :  1    1
Misalkan f(x,y) adalah pdf bersama dari X dan Y, f1(x) pdf
marginal dari X, maka
- pdf bersyarat dari Y diberikan X=x adalah :
f ( y | x) 
f ( x, y )
, f1 ( x)  0
f1 ( x)
- mean bersyarat dari Y diberikan X=x adalah
E(Y | x) 




 yf ( y | x)dy 
y
f ( x, y)
dy  u( x)
f1 ( x)
- mean bersyarat dari X diberikan Y=y adalah :




E ( X | y)   xf ( x | y)dx   x
f ( x, y)
dx  v( y)
f 2 ( y)
Dalam hal u(x) adalah fungsi linier dari x yaitu u(x) = ax + b,
maka mean bersyarat dari Y adalah linier dalam x atau Y
mempunyai mean bersyarat yang linier.
- akan dicari konstanta a dan b
2
2


• Misalkan 1 dan 2 tidak nol.
E (Y | x) 

Jadi,




 yf ( y | x)dy 
 yf ( x, y)dy

f1 ( x)
y
f ( x, y)
dy  a  bx
f1 ( x)
 a  bx sehingga

 yf ( x, y)dy  (a  bx) f ( x)
1


2
x
yf
(
x
,
y
)
dy

(
ax

bx
) f1 ( x)
** 




2
x  yf ( x, y)dydx  (ax  bx ) f1 ( x)dx

.
-
 



2
xyf
(
x
,
y
)
dxdy

axf
(
x
)
dx

bx
1


 f1 ( x)dx





E ( XY )  a  xf1 ( x)dx  b  x 2 f1 ( x)dx


E( XY )  aE( X )  bE( X )
2

**
 yf ( x, y)dy  (a  bx) f ( x)
1

 

  yf ( x, y)dydx   (a  bx) f ( x)dx
1






E(Y )  a  f1 ( x)dx  b  xf1 ( x)dx
E(Y )  a  bE( X )
• Sehingga diperoleh 2 persamaan sebagai berikut:
1. E( XY )  a1  bE( X 2 )
2. 2  a  b1 (2)

 a  b
1 2  12  a1  b E( X 2 )  12  12
1 2  12
1
2
1
 1
2

(1)
Dari (1) dan (2) diperoleh :
a  2  
2
1
1
dan
b
2
1

• Jadi,

2 
2
u ( x)  E (Y | x)  a  bx    2  
1    x
1 
1

atau
2
x  1 
E (Y | x)  2  
1
Dengan cara yang sama :
E ( X | y)  1  
1
( y  2 )
2
• Akan diselidiki variansi dari suatu distribusi bersyarat dengan
pemisalan bahwa mean bersyarat adalah linier.
2
 


Var (Y | x)    y    2   2 ( x  1 )  f ( y | x)dy
1


 



2


2
y




(
x


)
1  f ( y | x ) dy
 2  1


2


2
y




(
x


)
1  f ( x, y ) dy
 2  1

*

f1 ( x)
Misal Var(Y | x)  k ( x)
• Jadi,
2



2
 y  2    1 ( x  1 ) f ( x, y)
k ( x) 
dy
f1 ( x)
2




k ( x) f1 ( x)    y   2   2 ( x  1 ) f ( x, y )dy
1

 

 
2


2
k
(
x
)
f
(
x
)
dx

y




(
x


)
1  f  x, y dydx

 2  1

 

  y   
2
2


 E Y  2 
2

2
2
2
2 2


 2   y  2 x  1   
x


f ( x, y)dydx
1
2
1
1

2
2
2
2 2


 2
EY  2  X  1   
E
X


1
1
 12

2


2
2
  2  2  2 1 2   2 22  1
1
1
2
2
2
  2  2 2 2   2 2
E[k ( x)]   2   2 2   2 (1   2 )  0
2
2
2
Karena  22  0 maka 1   2  0 sehingga  1    1.
• Misal dari (*) Var(Y | x)  u( x) tetapi Var(Y|x)=k, dimana k adalah
konstanta yang lebih besar dari 0.
2



2


y




x


1  f ( x, y ) dy
 2  1

k
f1 ( x)
2




kf1 ( x)    y   2   2 x  1  f ( x, y )dy
1

 
E(k )   2 (1   2 )
2
k   2 (1   2 )
2
• Berarti dalam hal ini variansi dari setiap distribusi bersyarat
dari Y diberikan X=x adalah  22 (1   2 ) .
2
Var
(
Y
|
x
)




0
2  Var(Y )
• Apabila
, maka
• Apabila  2 mendekati nilai 1 artinyaVar(Y|x) nilainya relatif
kecil. Berarti terdapat konsentrasi yang tinggi dari probabilitas
untuk distribusi bersyarat di dekat mean
E (Y | x)   2  
2
x  1 .
1
• Contoh:
Misalkan X dan Y mempunyai mean bersyarat linier yaitu
E(Y|x)= 4x + 3 dan E( X | y)  161 y  3

Tentukan 1 ,  2 ,  , 2
1
MGF dari Distribusi Bersama X dan Y
• Misalkan f(x,y) adalah pdf bersama dari X dan Y. Jika E (et1 X t2Y )
t1 X t 2Y
E
(
e
)

h

t

h
,

h

t

h
,
untuk
h
,
h

0
ada untuk
maka
1
1
1
2
2
2
1 2
disebut mgf dari distribusi bersama X dan Y, yang dinotasikan
dengan M (t1 , t2 ) .
Sama dengan mgf untuk 1 variabel random, M (t1 , t2 )
menentukan dengan lengkap distribusi bersama dari X dan Y
dan distribusi marginal dari X maupun Y.
- mgf marginal dari X : M1 (t1 )  E(et X )  M (t1,0)
- mgf marginal dari Y : M 2 (t2 )  E(et Y )  M (0, t2 )
1
2
• Dapat ditunjukkan bahwa:
 
 k m
k m t1 x  t 2 y
M
(
t
,
t
)

x
y e
f ( x, y )dxdy
1 2
k
k


t1 t2

 
 k m
k m
M
(
t
,
t
)
|

x
y f ( x, y)dxdy
1 2 t1 t 2 0
k
k


t1 t2

M (0,0)
1  E ( X ) 
t1
2  E (Y ) 
M (0,0)
t2
2
2

M (0,0)
2
2
2

M
(
0
,
0
)
2
2
2
2
2


E
(
Y
)





1  E( X )  1 


2
2
2
2
1
2
t2
t1
 2 M (0,0)
E X  1 Y  2  
 12
t1t2
Berdasarkan rumus-rumus di atas,  juga dapat dihitung
melalui mgf.
Contoh : Misalkan X dan Y mempunyai pdf bersama:
e  y ,0  x  y  
f ( x, y )  
 0, yanglainnya
Tentukan mgf dari X dan Y, kemudian hitunglah mean dari X,
mean dari Y, variansi dari X, variansi dari Y serta koefisien
korelasi antara X dan Y.