Distribusi Multivariat
Download
Report
Transcript Distribusi Multivariat
DISTRIBUSI MULTIVARIAT
Distribusi dari
Dua Variabel Random
• Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak 3 kali.
• Ruang sampelnya : C = {c : c1 = TTT, c2 = TTH, c3 = THT, c4 =
HTT, c5 = THH, c6 = HTH, c7 = HHT, c8 = HHH}, dimana T = tail
dan H = head.
• Misalkan terdapat 2 variabel random yaitu X1 dan X2, dimana:
X1 : jumlah H pada 2 lemparan pertama
X2 : jumlah H pada seluruh lemparan
Jadi, X1(c1) = X1(TTT) = 0
X2(c1) = X2(TTT) = 0
X1(c2) = X1(TTH) = 0
X2(c2) = X2(TTH) = 1
X1(c3) = X1(THT) = 1
X2(c3) = X2(THT) = 1
X1(c4) = X1(HTT) = 1
X2(c4) = X2(HTT) = 1
–
–
–
–
X1(c5) = X1(THH) = 1
X1(c6) = X1(HTH) = 1
X1(c7) = X1(HHT) = 2
X1(c8) = X1(HHH) = 2
X2(c5) = X2(THH) = 2
X2(c6) = X2(HTH) = 2
X2(c7) = X2(HHT) = 2
X2(c8) = X2(HHH) = 3
Akan dibentuk pasangan terurut (x1,x2) dimana x1 = X1(c) dan
x2 = X2(c) untuk c C . Jadi pemetaannya,
C
( X1 , X 2 )
R2
c X1 (c), X 2 (c)
Untuk kasus di atas, A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}
• Definisi ruang A:
Diberikan sebuah percobaan random dengan ruang sampel C.
Ditentukan 2 variabel random X1 dan X2 dimana pasangan
fungsi tersebut memetakan setiap elemen c C ke satu dan
hanya satu pasangan terurut (X1(c) = x1,X2(c)= x2). Sehingga
ruang dari (X1,X2) adalah himpunan pasangan terurut :
A = {(x1,x2) : x1 = X1(c),x2 = X2(c), c C }.
• Misalkan A adalah ruang dari variabel random X1 dan X2 dan
misalkan A A . Akan didefinisikan probabilitas dari kejadian
A, dinotasikan dengan Pr((X1,X2) A).
• Ambil C = {c; c C dan [X1(c),X2(c)] A}, dimana C adalah
ruang sampel.
Maka Pr((X1,X2) A))= P(C ), dimana P(C ) adalah probability
set function yang didefinisikan pada C C . Pr((X1,X2) A))
ditulis sebagai PX1 , X 2 ( A) atau P(A)juga merupakan probability
set function yang didefinisikan pada A A.
• Contoh:
Berdasarkan contoh di awal,
A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}
Misal A = {(1,1),(1,2)} A , maka P(A) = Pr((X1,X2) A))= P(C )
dimana C = {c3,c4,c5,atau c6}.
- P({c3}) = Pr(THT) = ½ ½ ½ = 1/8
- P({c4}) = Pr(HTT) = ½ ½ ½ = 1/8
- P({c5}) = Pr(THH) = ½ ½ ½ = 1/8
- P({c6}) = Pr(HTH) = ½ ½ ½ = 1/8
Jadi, P(C) = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = ½ sehingga
P(A) = Pr((X1,X2) A))= P( C) = ½.
• Tabel distribusi probabilitas untuk setiap elemen A .
(x1 ,x2)
(0,0)
(0,1)
(1,1)
(1,2)
(2,2)
(2,3)
Jumlah
Pr((X1,X2) =(x1 ,x2))
1/8
1/8
2/8
2/8
1/8
1/8
1
Pdf Bersama dari X dan Y
• Sifat-sifat fungsi himpunan probabilitas pada 1 variabel
berlaku juga untuk 2 variabel random.
• Misalkan f(x,y) didefinisikan pada A dan f(x,y) = 0 untuk yang
lainnya. f(x,y) adalah pdf bersama dari X dan Y, yang
memenuhi
f ( x, y)
- P(A) = Pr((X ,Y) A))=
untuk X dan Y diskrit
A
- P(A) = Pr((X ,Y) A)) = A f ( x, y) dx dy untuk X dan Y kontinu
- P(A ) = 1, yaitu
f(x,y) = 1 untuk X dan Y diskrit
A
f(x,y)dxdy f ( x, y) dxdy1 untuk X dan Y kontinu
A
- f(x,y) > 0,x, y A .
• Contoh:
6 x 2 y, 0 x 1, 0 y 1
Misalkan f ( x, y) 0,
yang
lainnya adalah pdf bersama
dari X dan Y.
1 1
- Pr(0 X 1,0 Y 1) 6 x 2 y dxdy 1
0 0
2
3
4
1
3
4
2
1
3
0
1
3
0
1 0
3
4
- Pr(0 X 34 , 13 Y 2) 6 x 2 y dxdy 6 x 2 y dxdy 0dxdy
1 1
- Pr( X , Y ) 6 x 2 y dxdy 1
0 0
3
8
Fungsi Distribusi Bersama
dari X dan Y
• Misalkan variabel random X dan Y mempunyai fungsi
himpunan probabilitas P(A) dimana A adalah himpunan
berdimensi 2.
• Jika A {(u, v) : u x, v y} dimana x R, y R maka
P( A) Pr((X , Y ) A) Pr(X x, Y y) disebut fungsi
distribusi bersama dari X dan Y, dinotasi kan dengan F(x,y).
- Apabila X dan Y variabel random kontinu dengan pdf f(x,y),
y x
maka
F ( x, y) Pr(X x, Y y)
f (u, v) dudv
dan pada titik-titik dimana f(x,y) kontinu, berlaku
2 F ( x, y)
f ( x, y)
xy
• Dapat ditunjukkan (PR)
Pr(a X b, c Y d ) F (b, d ) F (b, c) F (a, d ) F (a, c)
untuk semua konstanta real a<b dan c<d.
Contoh :
Misalkan pdf dari X dan Y adalah
Misalkan Z = X + Y.
Tentukan fungsi distribusi dari Z.
1, 0 x 1, 0 y 1
f ( x, y)
yang
lainnya
0,
Pdf Marginal dari X1atau X2
• Misalkan f(x1,x2) adalah pdf bersama dari X1 dan X2 .
Ditentukan suatu kejadian {a < X1 < b, a < b}. Kejadian
{a < X1 < b, a < b} terjadi jika dan hanya jika kejadian
{a < X1 < b, X 2 } terjadi . Berarti kejadian
{a < X1 < b, a < b} ekivalen dgn kejadian {a < X1 < b, X 2 }
Jadi untuk kasus variabel random kontinu:
b
Pr(a X1 b) Pr(a X1 b, X 2 )
f ( x , x ) dx dx
1
2
2
1
a
Untuk variabel random diskrit:
Pr(a X1 b) Pr(a X1 b, X 2 )
f (x , x )
a x1 b x2
1
2
-
f ( x1 , x2 ) dx2 dan
f ( x , x ) merupakan fungsi dari x1 dan
1
2
x2
dinotasikan dengan f1 ( x1 ) .
Jadi,
b
a b, Pr(a X 1 b) f1 ( x1 ) dx1 untuk kasus kontinu
a
f (x )
a x1 b
1
1
untuk kasus diskrit
• Dapat disimpulkan:
1. f1 ( x1 ) f ( x1 , x2 )dx2 untuk kasus kontinu
f1 ( x1 ) f ( x1 , x2 ) untuk kasus diskrit
x2
2. f 2 ( x2 ) f ( x1 , x2 ) dx1 untuk kasus kontinu
untuk kasus diskrit
f (x )
f (x , x )
2
2
1
2
x1
f1 ( x1 ) disebut pdf marginal dari X
1
f 2 ( x2 )
disebut pdf marginal dari X2.
• Contoh:
Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf bersama:
x1 x2 , 0 x1 1, 0 x2 1
f ( x1 , x2 )
yang
lainnya
0,
Tentukan:
-pdf marginal dari X1 dan X2.
- Hitung Pr(X 1 12 ) dan Pr(X1 X 2 1)