Transcript VARIABEL RANDOM - Blog Mahasiswa UI

VARIABEL RANDOM
VARIABEL RANDOM DISKRIT
• Pada pembahasan sebelumnya, C mempunyai
elemen-elemen yang bukan bilangan.
Contoh :
- pada pelemparan koin, C = { muka , belakang }
- pada pelemparan dadu, C = { muka1,…,muka6}
Bagaimana merubah ruang sampel yang elemennya
bukan bilangan menjadi bilangan?
• Definisikan suatu fungsi X yang memetakan ruang sampel C ke
himpunan bilangan riil, atau
X:C 
Daerah hasil dari fungsi X dinotasikan dengan A , sehingga dapat
ditulis X(C ) = A .
Fungsi X ini dinamakan variabel random.
Apabila A merupakan himpunan diskrit yaitu himpunan yang
elemen-elemennya berhingga atau tak berhingga tapi dapat
dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bilangan bulat,
maka X dinamakan variabel random diskrit.
Apabila A berupa interval atau gabungan dari beberapa interval
maka X dinamakan variabel random kontinu.
Note : Nilai dari X dinotasikan dengan x .
• Contoh :
Pada pelemparan koin, ruang sampelnya C = {c;c adalah muka
atau c adalah belakang}.
Misalkan X : C   sedemikian hingga
X(c) = 0 jika c adalah muka
= 1 jika c adalah belakang
X disebut fungsi bernilai riil yang didefinisikan pada ruang
sampel C dan nilai dari fungsi X adalah A = {0,1}.
Dalam perhitungan selanjutnya, yang digunakan adalah A
bukan lagi C.
• Misalkan terdapat suatu fungsi X yang didefinisikan pada
ruang sampel C sedemikian hingga X( c ) = x  R .Sehingga
ruang nilai dari X adalah A = x  R.; x  X ( c ), c  C  .
• Apabila C merupakan  himpunan bilangan riil maka A = C.
• Apabila C  C berhubungan dengan A  A, yaitu
C  c ; c  C dan X ( c )  A  maka Pr( X  A )  P ( C ) dimana Pr( X
menyatakan probabilitas kejadian A.
Notasi lain
Pr( X  A )
= PX ( A ) = P(A).
PX : probabilitas yang diinduksi oleh X
 A)
• Akan ditunjukkan bahwa PX ( A ) memenuhi definisi fhp.
1. PX ( A )  P ( C )  0 . Jadi PX ( A )  0 .
2. Misalkan A1 dan A2 subset dari A yang tidak beririsan atau
A1  A 2    . Misalkan P ( A  A )  P ( C ) .
X
1
2
Berarti C  c ; c  C dan X ( c )  A1  A 2 .
Jadi C  c ; c  C dan X ( c )  A1   c ; c  C dan X ( c )  A 2 
atau C  C 1  C 2 . Karena A1 dan A2 disjoint sets, maka C1
dan C2 juga disjoint sets. Jadi P ( C )  P ( C 1  C 2 ) = P ( C 1 )  P ( C 2 )
Sehinnga PX ( A1  A 2 )  P ( C 1 )  P ( C 2 )  PX ( A1 )  PX ( A 2 ) .
Secara umum : PX ( A1  A 2  ...)  PX ( A1 )  PX ( A 2 )  ...
apabila A  A   , i  j .
i
j
3. C  c ; c  C dan X ( c )  A  . Berarti PX ( A )  P ( C )  1 .
Jadi terbukti bahwa PX ( A ) adalah fhp.
Contoh:
Sebuah mata uang dilempar 2 kali dan akan diamati jumlah
muka yang muncul.
Ruang sampel / C = {c; c adalah MM,MB,BM atau BB}
Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan
banyaknya muka yang muncul.
Jadi, X(c) = 0, jika c adalah BB
= 1, jika c adalah BM atau MB
= 2, jika c adalah MM
Ruang nilai dari X adalah A = {0,1,2} atau A = {x; x = 0,1,2} .
• Misalkan A = {1}, berapakah P(A) ?
A = {1} berhubungan dengan C = {c; c adalah BM atau MB},
sehingga P(A) = P( C ) = 2/4.
Atau dapat ditulis :
Karena A = {1}, maka P(A) = Pr(X A) = Pr(X = 1) = 2/4.
Akan ditentukan Pr(X=0) atau Pr(X=2).
Misalkan C1= {c; c adalah BB}
C2= {c; c adalah MB}
C3={c;c adalah BM}
C4={c;c adalah MM}
Dimisalkan bahwa C1,C2,C3 dan C4 equally likely atau P(Ci)=1/4,
i = 1,2,…,4 .
• Karena X : banyaknya muka yang muncul, maka :
Kejadian A1 = {0} terjadi jhj kejadian C1 terjadi
Kejadian A2 = {1} terjadi jhj kejadian C2 atau C3 terjadi
Kejadian A3 = {2} terjadi jhj kejadian C4 terjadi
Jadi
Pr(X=0) = P(C1) = ¼
Pr(X=1) = P ( C 2  C 2 ) = P(C2) + P(C3) = 2/4
Pr(X=2) = P(C4) = ¼
Dalam bentuk tabel atau rumus:
x
0
1
2
Pr(X = x)
1/4
1/2
1/4
atau
2
 2  1 
Pr( X  x )      , x  A
 x  2 
Probability Density Function (pdf)
Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan dari A ke
himpunan bilangan riil R, atau f : A   .
Pengaitan untuk fungsi f harus memenuhi :
1. f ( x )  0 , x  A
f ( x)  1
2. 
A
3. P ( A )  Pr( X  A )   f ( x ) , dimana P(A) adalah fhp dan
A A .
A
Apabila ketiga syarat di atas terpenuhi, maka f disebut pdf
(probability density function) atau pmf (probability mass
function) dari variabel random diskrit X.
• Contoh :
Dari contoh sebelumnya ,misalkan
A={0,1,2}.
f :A  
- A1={0}, P(A1)= Pr( X  A1 ) = Pr(X=0) = f(0)
Karena Pr(X=0) = ¼, maka f(0) = ¼
- A2={1}, P(A2) = Pr( X  A 2 ) =Pr(X=1) = f(1)
Karena Pr(X=1) = ½, maka f(1) = ½
- A3={2}, P(A3)= Pr( X  A3 ) = Pr(X=2) = f(2)
Karena Pr(X=2) = ¼, maka f(2) = ¼
Jadi,
 2 
 
f ( x )   x 
 
 0

1
 
2
2
,
x
0 ,1, 2
,
x
yang lainnya
dimana
VARIABEL RANDOM KONTINU DAN pdf
• Apabila A merupakan interval atau gabungan dari beberapa
interval, maka X yang memetakan dari C ke A disebut
variabel random kontinu.
• Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke himpunan bilangan
riil R, atau f : A   yang pengaitannya memenuhi :
1. f ( x )  0 , x  A
2.  f ( x ) dx  1
A
3. P ( A )  Pr( X  A )   f ( x ) dx , dimana P(A) adalah fhp dan
A  A.
Apabila ketiga hal di atas dipenuhi maka f disebut pdf
(probability density function) dari variabel random kontinu X.
A
a
• Jika A = {a} maka P (A) = Pr( X  A ) = Pr(X=a) =  f ( x ) dx = 0
a
• Berarti jika X variabel random kontinu maka Pr(X=a) = 0 dan
Pr(a < X< b) = Pr( a  X  b ).
Contoh :
P ( A )   f ( x ) dx
Misalkan P(A) adalah fhp dari X dimana
,
A
dimana f(x) adalah pdf dari X yang didefinisikan sbb :
2x

,
f (x)   9
 0 ,
0

x
yang
3
x
lainnya
Misalkan A1 ={x : 0 < x < 1}, A2={x : 2 < x < 3}, maka
2x
1
P(A1)=  9 dx  9 dan P(A2)=  2 x dx  5 . Karena A 1  A 2    maka
1
3
0
2
P ( A1  A 2 )  P ( A1 )  P ( A 2 ) 
2
3
9
9
FUNGSI DISTRIBUSI (Cumulative Distribution
Function/cdf)
• Misalkan diberikan suatu fungsi F yang didefinisikan pada
himpunan bilangan riil R. Fungsi ini memetakan dari
himpunan bilangan riil R ke himpunan bilangan riil R,yaitu :
F :  
dengan pengaitan F ( x )  Pr( X  x ) dimana X variabel random
dan P adalah fhp.
Fungsi yang didefinisikan di atas disebut fungsi distribusi (cdf)
dari variabel random X yang mempunyai distribusi tertentu.
Untuk variabel random diskrit :
Untuk variabel random kontinu :
F ( x )  Pr( X  x ) 

f (w)
w x
x
F ( x )  Pr( X  x ) 


f ( w ) dw
• Catatan :
Jika X variabel random kontinu, maka pdf dari X yaitu f(x)
mempunyai paling banyak berhingga titik-titik diskontinu di dalam
suatu interval berhingga.
Hal ini berarti :
1. Fungsi distribusi F(x) kontinu dimana-mana.
2. Turunan dar F(x) terhadap x ada dan sama dengan pdf
f(x) di setiap titik dimana f(x) kontinu, atau F’(x) = f(x).
Jika X variabel random diskrit, maka pdf dari X yaitu f(x) bukanlah
turunan dari F(x) terhadap x pada Lebesgue measure, tetapi f(x)
adalah turunan dari F(x) terhadap x pada counting measure (Radon
- Nykodym).
Turunan sering disebut density, karena itulah f(x) yang merupakan
turunan dari F(x) terhadap x disebut probability density function.
• Contoh:
Misalkan X variabel random diskrit yang mempunyai pdf sbb :
x

f ( x)   6
 0
,
x

1,
,
x
yang
lainnya
2,
3
Tentukan fungsi distribusi (cdf) dari X dan grafiknya !
• Misalkan X variabel random kontinu yang mempunyai pdf
 x2

,
f ( x )   18
 0 ,
3

x
yang
x

3
lainnya
Tentukan fungsi distribusi (cdf) dari X dan gambarkan!
• Tugas untuk latihan :
Soal no. 1.47,1.48,1.49,1.50,1.69