Transcript DISTRIBUSI DARI FUNGSI VARIABEL RANDOM

DISTRIBUSI DARI FUNGSI
VARIABEL RANDOM
TEORI SAMPLING
• Misalkan Y adalah suatu variabel random yang didefinisikan
sebagai fungsi dari X1, X2,…, Xn atau Y=u(X1,X2,…,Xn).
• Apabila pdf bersama dari X1, X2,…, Xn diketahui,bagaimana
menentukan pdf dari Y?
• Pada subbab sebelumnya, telah dibahas beberapa contoh
berikut:
(1). Jika n = 1
Misal X1 ~ N (, 2 ) , berdasarkan pembahasan di bab 3
diperoleh
Y
X1  

~ N (0,1)
(2).
Misal X1, X2, …, Xn variabel random yang saling
independen dan masing-masing mempunyai pdf
 p x (1  p)1 x , x  0,1
f ( x)  
0, untuk x yang lain
n
Jika Y   X i maka Y ~ b(n, p)
i 1
Y
X1  
Pada contoh (1),
, merupakan fungsi dari X1 yang

mengandung 2 parameter yang tidak diketahui ( ,  ) ,
sedangkan Y pada contoh 2 tidak bergantung pada parameter
p.
• DEFINISI
Suatu fungsi dari satu atau lebih variabel-variabel random yang
tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui disebut
statistik.
n
Berdasarkan definisi di atas, variabel random Y   X i adalah
i 1
suatu statistik,
sedangkan Y  X 1   apabila  dan  tidak diketahui, bukanlah

suatu statistik.
Walaupun statistik tidak tergantung pada parameter yang tidak
diketahui, tetapi distribusinya bisa saja tergantung pada parameter
yang tidak diketahui.
• KEGUNAAN STATISTIK
Misalkan X adalah suatu variabel random yang didefinisikan pada
suatu ruang sampel C . Misalkan ruang nilai dari X dinotasikan
dengan A.
Pada umumnya, distribusi dari X tidak lengkap diketahuinya.
Sebagai contoh, bisa saja distribusi dari X diketahui tetapi nilai dari
parameternya tidak diketahui.
Untuk mengatasi masalah tersebut , maka dilakukan suatu
percobaan random yang dilakukan berulangkali (n kali), dan
dilakukan di bawah kondisi yang sama.
• Misalkan variabel random Xi adalah fungsi dari hasil ke-i,
i=1,2,..n. Maka X1, X2,…,Xn disebut observasi-observasi dari
suatu sampel random dari suatu distribusi yang ditetapkan.
• Misalkan didefinisikan suatu statistik Y = u(X1,X2,…,Xn) yang
mempunyai pdf g(y). Pdf dari Y bisa menunjukkan bahwa
terdapat probabilitas yang cukup besar bahwa Y mempunyai
nilai yang cukup dekat dengan parameter yang tidak
diketahui.
• Artinya bila hasil eksperimennya adalah X1=x1, X2=x2,,Xn=xn,
maka y=u(x1,x2,..,xn) adalah suatu nilai yang diketahui.
Harapannya bahwa nilai itu dapat memberikan informasi
mengenai parameter yang tidak diketahui.
• DEFINISI
Misalkan X1,X2,…,Xn menotasikan n buah variabel random
yang independen, dan mempunyai pdf yang sama yaitu f(x).
Artinya pdf dari X1,X2,,Xn masing-masing adalah f1(x1)=f(x1),
f2(x2) = f(x2),…,fn(xn) = f(xn). Jika pdf bersama dari
X1,X2,…,Xn adalah f ( x1, x2 ,...,xn )  f ( x1 ) f ( x2 )...f ( xn ) maka
X1,X2,…,Xn disebut sampel random dari suatu distribusi yang
mempunyai pdf f(x).
Artinya observasi-observasi dari sampel random adalah
independen dan mempunyai distribusi yang sama (iid :
independent and identically distributed).
STATISTIK
• DEFINISI
Misalkan X1,X2,…,Xn adalah sampel random yang berukuran n
dari suatu distribusi yang diberikan . Statistik
n
X 1  X 2  ...  X n
X i disebut mean dari sampel random
X


n
n
dan statistik S  
i 1
sampel random.
2
X
i 1
n
n
X
i X
 i X2
n
i 1 n
2
2
disebut variansi dari
• Teori distribusi sampling random adalah suatu teori yang
membahas bagaimana mencari distribusi dari fungsi dari
observasi-observasi dari suatu sampel random. Salah satu
metodenya adalah dengan teknik fungsi distribusi.
• Misalkan X1,X2,…,Xn variabel-variabel random, distribusi dari
Y=u(X1,X2,…,Xn) ditentukan dengan menghitung fungsi
distribusi dari Y,
G( y)  Pr(u( X1, X 2 ,..., X n )  y).
• Contoh:
Misalkan X1,X2,X3 adalah sampel random yang3 berukuran 3
dari suatu distribusi normal standar. Misal Y   X i 2 , tentukan
i 1
distribusi dari Y!