Transcript FUNGSI KONTINU SERAGAM Oleh: Dr. RIYADI, M.Si. PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET FUNGSI KONTINU SERAGAM Definisi Diketahui E  R tak kosong dan f : E.

FUNGSI KONTINU SERAGAM
Oleh:
Dr. RIYADI, M.Si.
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Definisi
Diketahui E  R tak kosong dan f : E  R.
Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada E jika untuk setiap bilangan  > 0
terdapat bilangan  > 0 sehingga untuk setiap x, y  E dengan x  y  
berakibat f x  f  y   .
Contoh
Diberikan fungsi f: R  R dengan aturan f(x) = 5x.
Buktikan bahwa fungsi f tersebut kontinu seragam pada R.
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Pembahasan:
Diambil sebarang bilangan  > 0 dan dipilih bilangan  =

.
5
Untuk setiap x, y  R dengan x  y   berlaku:
f x   f  y  =
5x  5 y = 5

x  y < 5. = .
5
Hal ini berarti fungsi f tersebut kontinu seragam pada R.
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Contoh
1
x2
Diberikan a > 0 dan fungsi f: [a, )  R dengan aturan f(x) =
Apakah fungsi f tersebut kontinu seragam pada [a, )?
Pembahasan:
Diambil sebarang bilangan  > 0 dan dipilih bilangan  =
Untuk setiap x, y  [a, ) dengan x  y   berlaku:
f x   f  y  =

1
1

x2 y2
=
1 1 1 1


x y x y
x y 1 1
  
a2  a a 
=
2x y
a3
=
x y
xy
<
2
a3
 a3
2
.
1 1
  
x y
=
Hal ini berarti fungsi f tersebut kontinu seragam pada [a, ).
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Definisi
Diketahui E  R tak kosong dan f : E  R.
Fungsi f dikatakan tidak kontinu seragam pada E, jika terdapat bilangan
 o > 0 sehingga untuk setiap  > 0 terdapat x, y  E dengan x  y   dan
f x   f  y    o .
Contoh
Diberikan fungsi f: R  R dengan aturan f(x) = x2.
Apakah fungsi f tersebut kontinu seragam pada R?
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Pembahasan:
Diambil bilangan  = 1, dan sebarang bilangan  > 0.
2 4
Dipilih p, q  R dengan p  q  <  dan q 
.
2
4

Selanjutnya diperoleh:
p 2  q 2 = p  q . p  q = p  q . p  q  2q
= p  q . 2q   p  q  p  q . 2q  p  q
1
=  . 2.
2
1
q  pq
2
1
=  . 2.
2
1
q 
4
2 4 
 2  4  2

≥.
= .
= 1.
4
4
4
Hal ini berarti fungsi f tidak kontinu seragam pada R.
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Teorema
Diketahui E  R tak kosong dan f : E  R.
Fungsi f kontinu seragam pada E jika dan hanya jika untuk setiap dua
barisan xn  ,  yn   E sehingga xn  yn  0 untuk n   berakibat
f xn   f  yn   0 untuk n   .
Bukti:
()
Diambil sebarang bilangan  > 0 dan dua barisan xn  ,  yn   E sehingga
xn  yn  0 untuk n   .
Karena f kontinu seragam pada E, berakibat terdapat  > 0 sehingga jika
x, y  E dengan x  y   berlaku f x  f  y   ............................. (*)
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Karena xn  yn  0 untuk n   , berakibat terdapat bilangan bulat positif No
sehingga jika n  No berlaku xn  yn < .
Akibatnya berdasarkan (*) jika n  No berlaku f xn   f  yn    .
Hal ini berarti f xn   f  yn   0 untuk n   .
() Andaikan f tidak kontinu seragam pada E.
Diambil sebarang dua barisan xn  ,  yn   E sehingga jika xn  yn  0 untuk
n   berakibat f xn   f  yn   0 untuk n   .
Karena f tidak kontinu seragam pada E, berakibat terdapat bilangan  o > 0 sehingga
untuk setiap  > 0 terdapat x, y  E dengan x  y   dan f x  f  y    o .
1
Diambil  n  , n = 1, 2, 3, ....
n
FUNGSI KONTINU SERAGAM
1 = 1  ada x1 , y1  E dengan x1  y1  1 dan f x1   f  y1    o .
1
1
 ada x2 , y2  E dengan x2  y 2  dan f x2   f  y2    o .
2
2
1
1
=  ada x3 , y3  E dengan x3  y3  dan f x3   f  y3    o .
3
3
2 =
3

n =
1
1
 ada xn , yn  E dengan xn  y n  dan f xn   f  yn    o .
n
n

Berarti terdapat dua barisan xn  ,  yn   E sehingga xn  yn  0 untuk n  
tetapi f xn   f  yn 
0 untuk n   .
Kontradiksi dengan yang diketahui.
Jadi pengandaian salah, yang benar yaitu f kontinu seragam pada E.
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Teorema (Kriteria Ketidakkontinuan Seragam)
Diketahui E  R tak kosong dan f : E  R.
Fungsi f tidak kontinu seragam pada E jika dan hanya jika terdapat
bilangan  o > 0 dan dua barisan xn , yn   E sehingga
lim xn  y n   0 , tetapi f xn   f  yn    o untuk setiap bilangan asli n.
n 
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Contoh
Diberikan fungsi f: R+  R+ dengan aturan f(x) =
1
.
x
Buktikan bahwa fungsi f tersebut kontinu pada R+ tetapi tidak kontinu
seragam pada R+.
Pembahasan:
Mudah utuk dibuktikan bahwa f kontinu pada R+.
Akan dibuktikan bahwa f tidak kontinu seragam pada R+ sebagai berikut.
Diambil dua barisan xn , yn   R+ dengan xn 
1
1
dan y n  untuk setiap
n 1
n
bilangan asli n.


xn  y n   lim
Jelas bahwa lim
n 
n
1
1
  = 0.
 n 1 n 
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Di lain pihak diperoleh f xn  = n + 1 dan f  yn  = n, akibatnya diperoleh
f xn   f  yn  = n + 1 – n = 1 untuk setiap bilangan asli n.
Hal ini berakibat f xn   f  yn   1 untuk setiap bilangan asli n.
Berdasarkan Teorema Kriteria Ketidakkontinuan Seragam fungsi f tidak
kontinu seragam pada R+.
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Teorema
Diketahui E  R interval tertutup dan terbatas , dan f : E  R fungsi.
Jika f kontinu pada E, maka f kontinu seragam pada E.
Bukti:
Andaikan f tidak kontinu seragam pada E.
Oleh karena itu menurut Teorema Kriteria Ketidakkontinuan Seragam
terdapat bilangan  o > 0 dan dua barisan xn  ,  yn   E sehingga xn  y n  ,
dan f xn   f  yn    o untuk setiap bilangan asli n.
1
n
Menurut yang diketahui E interval tertutup dan terbatas, berakibat barisan
xn  terbatas.
Oleh karena itu menurut Teorema Bolzano-Weirstrass, terdapat barisan
x nk  x 0 dan karena E
bagian xn  yang konvergen ke suatu x0 , yaitu lim
k 
k
tertutup, maka x0  E .
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Fungsi f kontinu pada E, akibatnya f kontinu di x0  E dan karena
lim x nk  x 0 , maka lim f x n   f x0  .
k 
k 
k
xn  y n   0 , dan karena yn  xn  yn  xn
Berdasarkan hasil di atas lim
n 
k
berakibat:
lim y nk
k 
=
k
k
lim xn  yn  xn 
k
k
k
k 

xnk + lim ynk  xnk
= lim
k 
k 

=
x0
f  y n   f  x0  .
Fungsi f kontinu pada E, hal ini berakibat lim
k 
k
k

Berdasarkan uraian di atas, kedua barisan  f xn
f xo  , yang berakibat
k
    
lim f ynk  f xnk
k 
=
f xo 

 dan  f y  konvergen ke
nk
f xo  = 0
Kontradiksi, karena f xn   f  yn    o untuk setiap bilangan asli n.
Dengan demikian pengandaian salah, maka yang benar adalah f kontinu
seragam pada E.
Contoh
Diberikan fungsi f: [a, b]  R dengan aturan f(x) = x2.
Apakah fungsi f tersebut kontinu seragam pada [a, b] ?
Pembahasan:
Mudah untuk ditunjukkan bahwa f kontinu pada [a, b].
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa f kontinu seragam pada [a, b] sebagai
berikut.

Diambil sebarang bilangan  > 0, dan pilih  
> 0 dengan
2M
M = maks {|a|, |b|}.
Jika x, y  [a, b] dengan | x – y | < , maka:
f x   f  y  = x 2  y 2 = x  y . x  y

x  y .2M
<

2M

x  y . x  y 
.2M = 
Hal ini berarti fungsi f kontinu seragam pada [a, b].
FUNGSI KONTINU SERAGAM
Definisi
Diketahui E  R tak kosong dan f : E  R fungsi.
Fungsi f dikatakan memenuhi kondisi Lipschitz pada E jika terdapat
bilangan K > 0 sehingga f x  f  y  K x  y untuk setiap x, y  E.
Teorema
Diketahui E  R tak kosong dan f : E  R fungsi.
Jika f memenuhi kondisi Lipschitz pada E, maka f kontinu seragam pada E.