Transcript FUNGSI KONTINU Oleh: Dr. RIYADI, M.Si. PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET FUNGSI KONTINU Definisi Diketahui E  R tak kosong dan f : E  R. 1).

FUNGSI KONTINU
Oleh:
Dr. RIYADI, M.Si.
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
FUNGSI KONTINU
Definisi
Diketahui E  R tak kosong dan f : E  R.
1). Fungsi f dikatakan kontinu di suatu titik p  E jika untuk
setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan  > 0 sehingga jika
x  p   dan x  E berakibat f x  f  p   .
2). Fungsi f dikatakan kontinu pada E jika f kontinu di setiap titik
p  E.
FUNGSI KONTINU
Contoh 1:
Buktikan bahwa fungsi f : R  R dengan aturan: f x  2 x  5 kontinu
pada R
Pembahasan:
Diambil sebarang bilangan real p  R dan sebarang  > 0.



Dipilih
, oleh karena itu, jika x  R dan x  p   , maka:
2
f x  2 p  5 = 2x  5  2 p  5
= 2x  2 p
= 2x p

< 2    = .
2
Hal ini berarti bahwa fungsi f kontinu di p  R.
Karena p sebarang, berakibat f kontinu pada R.
FUNGSI KONTINU
Teorema
Diketahui I  R interval terbuka, p  I dan f : I  R.
f x  .
Fungsi f kontinu di p  I jika dan hanya jika f  p   lim
x p
Bukti:
() Diambil sebarang  > 0.
Karena E interval terbuka, berakibat setiap titiknya merupakan titik limit.
Dengan demikian p merupakan titik limit E.
Karena f kontinu di p  E, berakibat terdapat  > 0 sehingga jika x  E dan
x  p   berlaku f x  f  p   .
Jika x  E, dan x  p, maka 0 < x  p   .
Hal ini berakibat f x  f  p   .
f x 
Hal ini berarti f  p   lim
x p
FUNGSI KONTINU
() Diambil sebarang  > 0.
f x .
Menurut yang diketahui f  p   lim
x p
Hal ini berarti f mempunyai titik limit di p.
Oleh karena itu terdapat  > 0 sehingga jika x  E dan 0 < x  p   , maka
f x  f  p   ........................................................................................... (*)
Karena p  E, berakibat p  p = 0 < , dan f terdefinisi di p, sehingga
diperoleh f  p  f  p = 0 <  .......................................................... (**)
Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh: jika x  E dan x  p   berakibat
f x   f  p    .
Hal ini berarti f kontinu di p.
Teorema
Diketahui f : E  R dan p  E.
lim f  x   f  p   untuk setiap barisan
x p
pn   E dengan
lim p n  p , berakibat
n 
f  pn   f  p 
barisan  f  pn  konvergen ke f(p) atau lim
n 
Bukti:
() Diambil sebarang bilangan  > 0.
Karena f kontinu di p  E, berakibat terdapat bilangan  > 0 sehingga
jika x  E dengan x  p   , maka f x  f  p   .
Karena barisan pn   E konvergen ke p, dengan adanya bilangan  > 0
terdapat bilangan asli N o sehingga untuk n  N o berlaku pn  p   .
Akibatnya, untuk n  N o berlaku f  pn   f  p   .
Jadi terdapat bilangan asli N o sehingga untuk n  N o berlaku f  pn   L   ,
f  pn   f  p 
yang berarti lim
n 
() Andaikan lim f x   f  p 
x p
Berarti terdapat bilangan  >0 sehingga untuk setiap bilangan  > 0, terdapat
x  E dengan x  p   dan f x  f  p   .
1
n
Diambil  n  , n = 1, 2, 3, ....
1 = 1  ada p1  E dengan p1  p  1 dan f  p1   f  p   .
2 =
1
1
 ada p2  E dengan p2  p  dan f  p2   f  p   .
2
2
3 =
1
1
 ada p3  E dengan p3  p  dan f  p3   f  p   .
3
3

n =
1
1
 ada pn  E dengan pn  p  dan f  pn   f  p   .
n
n

Berarti terdapat barisan pn   E konvergen ke p, dengan pn  p tetapi
barisan  f  pn  tidak konvergen ke f(p).
Kontradiksi dengan yang diketahui. Jadi pengandaian salah, yang benar
f x   f  p  .
yaitu lim
x p
FUNGSI DISKONTINU
Definisi
Diketahui E  R tak kosong dan f : E  R.
Jika fungsi f tidak kontinu di titik p  E, maka dikatakan bahwa f diskontinu
di titik p  E.
Jenis-jenis Diskontinuitas
1). Jika f diskontinu di p, tetapi lim f x  dan lim f x  masing-masing ada,
x p 
x p 
maka f dikatakan mempunyai diskontinuitas jenis pertama.
2). Jika f diskontinu di p, tetapi lim f x  tidak ada atau lim f x  tidak ada,
x p 
x p 
maka f dikatakan mempunyai diskontinuitas jenis kedua.
FUNGSI DISKONTINU
Contoh 1
1 jika x  1
Diketahui fungsi f : R  R dengan aturan f x   
2 jika x  1
Tentukan jenis diskontinuitas fungsi f tersebut di atas.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa lim f  x  = 1 dan lim f  x  = 2,
x 1
x 1
tetapi lim f  x   lim f  x  .
x 1
x 1
Hal ini berarti f mempunyai diskontinutas jenis pertama.
FUNGSI DISKONTINU
Contoh 2
 x 2

Diketahui fungsi f : R  R dengan aturan f x    1
 x
Tentukan jenis diskontinuitas fungsi f tersebut di atas.
jika x  0
jika x  0
Pembahasan:
Perhatikan bahwa lim f  x  = 0 tetapi lim f  x  tidak ada.
x 0 
x 0 
Hal ini berarti f mempunyai diskontinutas jenis kedua.
Teorema (Kriteria Diskontinu)
Diketahui f : E  R dan p  E.
pn  p ,
Fungsi f tidak kontinu di p  Terdapat barisan pn   E dengan lim
n 
f  pn   f  p 
tetapi barisan  f  pn  tidak konvergen ke f(p) atau lim
n 
Teorema
Diketahui E  R tak kosong, titik p E dan f, g : E  R.
Jika f dan g kontinu di titik p  E, maka f + g, f.g dan kf kontinu di titik
p  E untuk suatu k  R.
f
Lebih lanjut, jika g(x)  0 untuk setiap x  E, maka kontinu
g
di titik p.
Teorema
Diketahui A  R, f : A  R dan fungsi | f | didefinisikan dengan
f x = f x  untuk setiap x  A.
Jika f kontinu di c  A, maka | f | kontinu di c  A.
Teorema
Diketahui A  R, f : A  R, f x   0 untuk setiap x  A dan fungsi
didefinisikan dengan aturan  f x = f x untuk setiap c  A.
Jika f kontinu di c  A, maka
f kontinu di c  A.
f
Teorema
Diketahui E, F  R tak kosong, p  E, f: E  R dan g : F  R dengan
f E   F .
Didefinisikan fungsi h: E  R dengan h  g  f , yaitu h(x) = g(f(x)) untuk
setiap x  E.
Jika f kontinu di titik p  E dan g kontinu di f(p), maka h kontinu di titik
p  E.
Bukti:
Ambil sebarang  > 0.
Karena g kontinu di f(p), berakibat terdapat  > 0 sehingga jika y  f(E)
dengan y  f  p   berlaku g y  g f  p   .
Karena f kontinu di p, dengan adanya  > 0, terdapat  > 0 sehingga jika
x  E dengan x  p   berlaku f x  f  p   .
Karena f x  f  p   untuk x  E dengan x  p   , maka diperoleh:
hx  h p = g f x  g f  p < 
Hal ini berarti h  g  f kontinu di p.
FUNGSI KONTINU
Definisi
Diketahui E  R tak kosong. Fungsi f : E  R dikatakan terbatas
pada E jika terdapat bilangan M  0 sehingga berlaku f x  M
untuk semua x  E.
Teorema
Diketahui
fungsi.
E  a, b
 R interval tertutup dan terbatas, dan f : E  R
Jika f kontinu pada E, maka f terbatas pada E.
Lebih lanjut, jika
M  sup f x 
xE
dan
m  inf f  x ,
xE
maka terdapat titik-
titik ,   E sehingga f    M dan f    m .
FUNGSI KONTINU
Bukti:
Andaikan f tidak terbatas pada E, oleh karena itu untuk setiap
bilangan asli n, terdapat xn  E sehingga f xn   n .
Hal ini berarti terdapat barisan xn   E sehingga
setiap bilangan asli n.
f xn   n
untuk
Dengan kata lain terdapat barisan xn   E sehingga barisan  f xn 
tidak konvergen.
Selanjuntnya, karena
barisan xn  terbatas.
E  a, b
interval tertutup dan terbatas, maka
Oleh karena itu menurut Teorema Bolzano-Weirstrass, terdapat barisan
x nk  x 0 dan karena E
bagian xn  yang konvergen ke suatu x0 , yaitu lim
k 
k
tertutup, maka x0  E .
FUNGSI KONTINU
Fungsi f kontinu pada E, akibatnya f kontinu di x0  E dan karena
lim x nk  x 0 , maka lim f x n   f x0  .
k 
k 
k
f x n   f x0  untuk suatu x0  E . Kontradiksi.
Hal ini berakibat lim
k 
k
Dengan demikian pengandaian salah, maka yang benar adalah f terbatas
pada E.
Selanjutnya, diperhatikan bahwa himpunan  f x | a  x  b
merupakan himpunan yang terbatas.
Berdasarkan sifat kelengkapan bilangan real, sup  f x | a  x  b
ada, dan namakan M = sup  f x | a  x  b.
Karena M = sup  f x | a  x  b, maka untuk setiap bilangan asli n,
terdapat y n  E sehingga berlaku M  1  f  yn   M .
n
FUNGSI KONTINU
Oleh karena itu, berdasarkan Teorema Limit Apit diperoleh
lim f  y n   M .
n 
Barisan yn  merupakan barisan titik-titik di dalam E yang tertutup dan
terbatas, oleh karena itu menurut Teorema Bolzano-Weirstrass terdapat
barisan bagian yn   yn  yang konvergen ke suatu titik , yaitu
lim y n   .
k 
k
k
Karena E tertutup, berakibat   E.
Fungsi f kontinu pada E dan   E, maka f kontinu di   E.
y n   , dan karena f kontinu
Berdasarkan hasil tersebut di atas lim
k 
k
f y n   f   .
di   E berakibat lim
k 
k
f  y n   lim f  y n   M .
Hal ini berarti f    lim
k 
n 
k
k
Dengan kata lain, terdapat titik   E sehingga M  sup f x  .
xE