Transcript SIFAT-SIFAT FUNGSI DISTRIBUSI

SIFAT-SIFAT FUNGSI DISTRIBUSI
Sifat-sifat fungsi distribusi adalah sbb :
1. 0  F ( x)  1 karena 0  Pr(X  x)  1
2. F(x) adalah fungsi yang tidak turun
Bukti :
Jika x '  x ' ' maka {x : x  x' '}  {x : x  x'} {x : x'  x  x' '}
sehingga Pr(X  x' ' )  Pr(X  x' )  Pr(x'  X  x' ' )
 Pr( X  x ")  Pr( X  x ')  Pr( x '  X  x '')
 F ( x ")  F ( x ')  Pr( x '  X  x '')
karena Pr( x '  X  x '')  0 maka F ( x ")  F ( x ')  0 atau F ( x ")  F ( x ')
Jadi , jika x '  x " maka F ( x ")  F ( x ') .
Terbukti bahwa F ( x) adalah fungsi yang tidak turun.
3. a. F ()  1 dan F ()  0 karena {x : x  } adalah seluruh
ruang berdimensi satu dan {x : x  } adalah himpunan
kosong.
b. Pr(a  X  b)  F (b)  F (a)
Bukti :
{x : x  b}  {x : x  a} {x : a  x  b}
 Pr( X  b)  Pr( X  a)  Pr(a  X  b)
Pr( X  b)  Pr( X  a)  Pr(a  X  b)
 F (b)  F (a)  Pr(a  X  b)
Jadi, Pr(a  X  b)  F (b)  F (a)
3.c. Pr( X  b)  F (b)  F (b)
Bukti :
Pr(b  h  X  b)  lim[ F (b)  F (b  h)]
Untuk h > 0, lim
h 0
h 0
Untuk h  0 maka {x : b  h  x  b}  {x : x  b}
Pr(b  h  X  b)  Pr( X  b) atau Pr( X  b)  lim[ F (b)  F (b  h)]
Jadi lim
h 0
h 0
sehingga Pr( X  b)  F (b)  lim F (b  h)  F (b)  F (b) dimana F(b-)
adalah limit kiri.
Kalau F(x) kontinu di b maka Pr( X  b)  F (b)  F (b)  F (b)  F (b)  0
h 0
4. F(x) kontinu kanan
Bukti :
Untuk h > 0, {x : x  a  h}  {x : x  a} {x : a  x  a  h} maka
untuk h  0 {x : x  a}  {x : x  a} 
Berarti
untuk
h0
Pr(a  X  a  h)  Pr()  0
Berdasarkan bag (3),
lim Pr( a  X  a  h)  lim[ F ( a  h)  F ( a)]
h 0
h 0
0  lim F ( a  h)  F ( a )
h0
0  F ( a )  F ( a )
Jadi, F (a )  F (a) dimana F (a) limit kanan, shg F kontinu kanan
di a.