Transcript BAB 10 DISTRIBUSI TEORITIS

BAB 10
DISTRIBUSI TEORITIS
Distribusi Teoritis
Pada eksperimen statistik seringkali yang lebih menarik
perhatian untuk diamati adalah nilai-nilai yang ditentukan
oleh titik sampel,bukan titik sampel itu sendiri.
Pandanglah kembali ruang sampel S yang menunjukkan semua
hasil yang mungkin terjadi dari pelemparan dua uang logam
berisi muka (m) dan besisi belakang (b) berikut ini
S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)}
Pada S kita dapat mengamati kejadian banyaknya muncul
muka (m) yang kita sebut sebagai variabel X,dengan memakai
relasi X pada S ke himpunan bagian bilangan riil Rx seperti
berikut :
B. Distribusi Probabilitas
Pada ruang sampel S = {(b,b),(b,m), (m,b),(m,m) yang merupakan
kumpulan semua hasil yang mungkin terjadi dari pelemparan dua
uang logam tersebut,kita dapat menentukan probabilitas dari nilainilai variabel acak X, sebab titik sampel titik sampel S mempunyai
nilai probabilitas
Pada ruang sampel S tersebut nilai X menyatakan banyaknya
muncul muka pada S, dan nilai dari X adalah X = 0, X=1, dan X =2.
Nilai X = 0, berkaitan dengan titik sampel (b,b) dengan probabilitas
P (X = 0 ) = P {(b,b)} = ¼
Nilai X =1, berkaitan dengan titik sampel (b,m) atau (m,b) dengan
probabilitas :
P (X=1) = P {(b,m)} + P{(m,b)} = ¼ + ¼ = ½
Nilai X = 2, berkaitan dengan titik sampel (m,m) dengan probabilitas :
P(X = 2) = P {(m,m)} = P {m,m)} = ¼
Pasangan nilai-nilai variabel acak X dengan probabilitas dari nilai-nilai X,
yaitu P (X=x) dapat dinyatakan dalam Tabel 10.1 seperti berikut :
X=x
0
1
2
P(X=x)
¼
½
¼
Bisa juga pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan
probabilitas dari nilai-nilai X, yaitu P(X=x) dituliskan dengan
pasangan terurut, yaitu :
{X1,P(X=x1)},{(x2,P(X=x2)},{x3,P(X=x3)},……………
Gambar dari distribusi probabilitas X untuk pelemparan dua uang
logam di atas adalah sebagai berikut :
P(X=x)
¾
2/4
¼
X
0
1
2
Contoh 10.1
Pada pelemparan tiga uang logam, bila X menyatakan
banyaknya muncul muka (m),tentukanlah :
a. Ruang sampel S
b. nilai-nilai variabel acak X;
c. Distribusi probabilitas X;
d. Gambarlah distribusi probabilitas X!
Contoh 10.2
Pada pelemparan dua dadu, misal X
adalah kejadian yang menyatakan
jumlah 2 dadu, maka distribusi
probabilitasnya adalah…?
C. DISTRIBUSI FUNGSI X DAN DISTRIBUSI
KUMULATIF X
• Jika X adalah variabel acak dan P(X=x) adalah distribusi
probabilitas dari X, maka fungsi f(x) = P(X=x) disebut fungsi
probabilitas X atau fungsi frekuensi X
• Sedangkan fungsi distribusi kumulatif X adalah F(x):
P(a≤X≤b) = F(b) – F(a)
D. NILAI HARAPAN MATEMATIS
Bila variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x) =
P(X = x), maka harapan atau Ekspektasi Matematis X ditulis
E(X) adalah:
∑xf(x) = ∑xP(X = x), jika X diskrit
E(X) =
+∞
∫ Xf(x) dx, jika X kontinu
-∞
Sifat-sifat dari Harapan Matematis:
1. E (c) = c
2. E(bX) = bE(X)
3. E(a + bX) = a + bE(X)
Contoh 10.5.
Pada pelemparan dua dadu, tentukan harapan matematis
jumlah muka dua dadu!
E. KEGUNAAN NILAI HARAPAN MATEMATIS
SALAH SATU MANFAAT YANG SANGAT PENTING DARI
HARAPAN MATEMATIS ADALAH UNTUK MENENTUKAN MEAN (μ) DAN
STANDAR DEVIASI (σ) DARI PARAMETER POPULASI.
SOAL-SOAL
1.
Tentukan mean dan standar deviasi dari banyaknya muka
pada pelemparan tiga uang logam!
2.
Diketahui variabel acak mempunyai distribusi probabilitas
sbb:
X
8
12
16
20
24
P(X)
¼
1/12
1/6
1/8
3/8
Tentukanlah:
a. Mean X
b. Standar deviasi X
c. E { (2X – 3)2 }
3. Jika seseorang membeli sebuah lotere, maka ia dapat
memenangkan hadiah pertama sebesar Rp.50.000.000 atau hadiah
kedua sebesar Rp.20.000.000 dg probabilitas masing-masing 0,001
dan 0,003. Berapakah Seharusnya harga yang fair untuk lotere tsb?
4. Dalam suatu bisnis, seseorang dpt mendapat keuntungan sebesar
Rp.3.000.000 dengan probabilitas 0,6 atau menderita kerugian
sebesar Rp.1.000.000 dg prob. 0,4. Tentukan nilai harapannya!
5. Suatu pengiriman 6 pesawat televisi, berisi 2 yang rusak. Sebuah
hotel membeli 3 pesawat TV secara acak dari kiriman itu.
Bila X menyatakan banyaknya TV rusak yang dibeli, tentukan:
a. distribusi prob. X
b. nilai harapan X
c. simpangan baku X