Transcript DISTRIBUSI TEORETIS

DISTRIBUSI
TEORETIS
Variabel Random/ Acak
variabel yg nilai-nilainya ditentukan oleh
kesempatan/ variabel yang bernilai numerik yg
didefinisikan dlm suatu ruang sampel
Variabel Random diskrit
Variabel random yg tdk mengambil seluruh
nilai yg ada dlm sebuah interval/ variabel
yg hanya memiliki nilai tertentu
2. Variabel Random kontinu
Variabel random yg mengambil seluruh nilai
yg ada dlm sebuah interval/ variabel yg
dpt memiliki nilai-nilai pd suatu interval
tertentu
1.
Pengertian dan Jenis-Jenis Distribusi
Teoretis
Distribusi teoretis : suatu daftar yg
disusun berdasarkan probabilitas dr
peristiwa2 bersangkutan
 Misal :
Sebuah mata uang logam dgn permukaan
I = A dan permukaan II = B
dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali.
Buatkan distribusi teoritisnya

Jenis-jenis distribusi teoretis
Distribusi teoretis diskrit
Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel
random diskrit dgn probabilitas terjadinya
masing-masing nilai tsb
Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi
probabilitas/ distribusi dr variabel random
diskrit jk memenuhi syarat:
a.
f(x) ≥ 0, x Є R
b. f(x) = 1
c.
P(X=x) = f(x)
1.
Contoh soal

Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola
biru dan 2 bola kuning. Secara acak
diambil 3 bola. Tentukan distribusi
probabilitas X, jika X menyatakan
banyaknya bola kuning yang terambil
Jawab
Jumlah titik sampel = C36= 20 titik sampel
 Banyaknya cara mendapatkan bola kuning
adalah Cx2
 Banyaknya cara mendapatkan bola biru
adalah
 Distribusi probabilitasnya
P(X=x) =

Distribusi yg tergolong ke dlm
distribusi ini antara lain :
a.
b.
c.
Distribusi binomial
Distribusi hipergeometrik
Distribusi Poisson
2. Distribusi teoretis kontinu
Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai
variabel random kontinu dgn probabilitas
terjadinya masing-masing nilai tsb
 Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi
probabilitas/ distribusi probabilitas
variabel random kontinu x, jk memenuhi
syarat:
a. f(x) ≥ 0, x Є R
b.  f ( x) dx  1



c.
b
P (a  X  b)   f ( x) dx
a
Contoh soal :

Suatu variabel random kontinu X yg
memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3
memiliki fungsi yg dinyatakan oleh :
2(1  x)
f ( x) 
21

Tentukan nilai P(X<2)
Distribusi yg tergolong distribusi
teoritis kontinu antara lain :
a.
b.
c.
d.
Distribusi
Distribusi
Distribusi
Distribusi
normal
2
F
t
DISTRIBUSI BINOMIAL
Suatu distribusi teoretis yg
menggunakan variabel random diskrit
yg tdr dr dua kejadian yg
berkomplementer spt sukses-gagal,
ya-tidak, baik-buruk, kepala-ekor dsb
 Pengambilan sampel dilakukan dgn
pengembalian

Ciri-ciri :
1.
2.
3.
4.
Setiap percobaan hanya memiliki dua
peristiwa spt ya-tidak, sukses-gagal
Probabilitas satu peristiwa adl tetap,
tidak berubah utk setiap percobaan
Percobaannya bersifat independent
artinya peristiwa dr suatu percobaan
tdk mempengaruhi/ dipengaruhi
peristiwa dlm percobaan lainnya
Jml/ banyaknya percobaan yg mrp
komponen percobaan binomial hrs
tertentu
Rumus binomial suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa dpt dihitung
dgn mengalikan kombinasi susunan dgn
probabilitas salah satu susunan
P( X  x)  b( x; n, p)  C . p .q
n
x

x
n
p
q
x
n x
Keterangan :
= banyaknya peristiwa sukses
= banyaknya percobaan
= probabilitas peristiwa sukses
= 1- p = probabilitas peristiwa gagal
Contoh soal

a.
b.
c.
Sebuah dadu dilemparkan ke atas
sebanyak 4 kali. Tentukan
probabilitas dari peristiwa berikut:
Mata dadu 5 muncul 1 kali
Mata dadu genap muncul 2 kali
Mata dadu 1 atau 4 muncul sebanyak
4 kali
Jawab

P= 1/6 ; q= 5/6; n= 4; x = 1 (muncul 1 kali)
P (X=1) =
= 4 .(1/6).(5/6)3
= 0.386
P = 3/6; q = ½; n =4; x =2
P(x=2) =
= 6.(1/2)2.(1/2)2
= 0.375
Probabilitas binomial kumulatif

Probabilitas dr peristiwa binomial lebih
dr satu sukses
n
PBK   C xn . p x q n  x
x 0
n
  P( X  x)
x 0
 P( X  0)  P( x  1)  P( x  2)  ...  P( x  n)
Contoh soal

a.
b.
c.
Sebanyak 5 mahasiswa akan
mengikuti ujian sarjana dan
diperkirakan probabilitas
kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah
probabilitas :
Paling banyak 2 org lulus
Yang akan lulus antara 2 sampai 3
Paling sedikit 4 diantaranya lulus
Jawab
a)
n =5 ; p =0.7 ; q =0.3; x = 0,1,dan 2
P(x <2 )= P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)
b) n =5 ; p = 0.7; q=0.3; x = 2 dan 3
P(2<x<3) = P(x=2) + P(x=3)
c)
n = 5; p = 0.7; q=0.3; x = 4 dan 5
P(X>4) = P(x=4) + P(x=5)
Rata-rata, Varians, Simpangan Baku
Distribusi Binomial
rata  rata (  )  n . p
varians ( )  n . p . q
2
sim panganbaku ( )  n . p . q
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK


Menggunakan variabel diskrit dgn 2 kejadian
yg berkomplementer
Pengambilan sampel dilakukan tanpa
pengembalian
k
x
N k
n x
N
n
C C
P( X  x)  h( x; N , n, k ) 
C
Keterangan :
N = ukuran populasi
n = ukuran sampel
k = banyaknya unsur yg sama pd populasi
x = banyaknya peristiwa sukses

Contoh soal

Sebuah kotak berisi 50 bola, 5
diantaranya pecah. Apabila diambil 4
bola, berapa probabilitas dua
diantaranya pecah?
N = 50 ; n=4; k=5; x=2

Distribusi hipergeometrik dpt
diperluas. Jk dr populasi yg berukuran
N terdpt unsur yg sama yi k1,
k2,…dan dlm sampel berukuran n
terdpt unsur yg sama x1, x2,... Dgn
k1+k2+…= N dan x1+x2+…=n,
distribusi hipergeometrik dirumuskan :
P( X  x1 , x 2 ,...) 
k1
x1
C C
C
N
n
k2
x2
DISTRIBUSI POISSON

Distribusi nilai-nilai bagi suatu
variabel random X yi banyaknya hasil
percobaan yg tjd dlm suatu interval
wkt tertentu/ di suatu daerah
tertentu
Ciri-ciri



Banyaknya hsl percobaan yg tjd dlm suatu
interval wkt/ suatu daerah tertentu tdk tgt
pd banyaknya hsl percobaan yg tjd pd interval
wkt/ daerah lain yg terpisah
Probabilitas tjdnya hsl percobaan slm suatu
interval wkt yg singkat/ dlm suatu daerah
kecil, sebanding dgn panjang interval wkt/
besarnya daerah tsb dan tdk bergantung pd
banyaknya hsl percobaan yg tjd di luar
interval wkt/ daerah tsb
Probabilitas lebih dr satu hsl percobaan yg tjd
dlm interval wkt yg singkat/ dlm daerah yg
kecil dpt diabaikan
Distribusi Poisson byk digunakan dlm hal:

1.
2.
3.
4.

Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa
mnrt satuan wkt, ruang, luas, panjang tertentu
spt menghitung probabilitas dr :
Banyaknya telepon per menit/ banyaknya
mobil yg lewat selama 5 menit di suatu ruas
jalan
Banyaknya bakteri dlm 1 tetes/ 1 L air
Banyaknya kesalahan ketik per halaman
Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama
seminggu
Menghitung distribusi probabilitas binomial
apabila nilai n besar (n ≥30) dan p kecil (p<0,1)
Rumus probabilitas poisson suatu peristiwa
P( X  x) 
 
x

x!
Keterangan:
  rata  rata terjadinyasuatu peristiwa
  bilanganalam  2,71828
Contoh soal

a.
b.
Sebuah toko alat-alat listrik
mencatat rata-rata penjualan lampu
TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika
permintaan akan lampu tsb mengikuti
distribusi poisson, berapa
probabilitas untuk penjualan berikut?
0 lampu TL
3 lampu TL
Probabilitas terjadinya suatu
kedatangan dirumuskan:
P( X  x) 

 t
(t )
x!
x
Keterangan:
  tingkat kedatan gan rata  rata per satuan waktu
t  banyaknyasatuan waktu
x  banyaknyakeda tan gan dalamt satuan waktu
Probabilitas distribusi poisson
kumulatif
x 

PPK  
x!
x 0
n
n
  P( X  x)
x 0
 P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  ....  P( X  n)
Contoh soal

a.
b.
Sebuah toko alat-alat listrik
mencatat rata-rata penjualan lampu
TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika
permintaan akan lampu tsb mengikuti
distribusi poisson.
Tentukan probabilitas penjualan
paling banyak 2 lampu
Andaikata persediaan lampu sisa 3,
berapa probabilitas permintaan lebih
dari 3 lampu
Distribusi poisson sbg
pendekatan distribusi binomial
(np) . 
P( X  x) 
x!
x
 np