Transcript Pertemuan 7

DISTRIBUSI PROBABILITAS
YANG UMUM
Pertemuan 6 dan 7
Distribusi Binomial
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
Percobaan Bernoulli :
Sifat-sifat sebagai berikut :
 Percobaan itu terdiri dari n pengulangan
 Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat
diidentifikasi sukses atau gagal
 Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap
konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke
pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal
adalah q = 1- p
 Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling
bebas.
Distribusi Binomial

Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu
percobaan bernoulli disebut sebagai variabel
random Binomial, sedangkan distribusi
probabilitasnya disebut distribusi Binomial
dan nilainya dinyatakan sebagai :
b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, n
 n  x n x
b( x; n, p )    p q
 x
n!
x n x
P( X  x ) 
p q
x! (n  x )!
Rata-rata dan Variansi Distribusi
Binomial :


Rata-rata =
Variansi =
  np
2
  npq
Contoh
 Probabilitas bahwa seorang pasien
sembuh dari penyakit darah yang langka
adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah
terkena penyakit ini, berapakah probabilitas :




Paling sedikit 10 orang yang selamat
Dari 3 sampai 8 orang yang selamat
Tepat 5 orang yang selamat
Hitung rata-rata dan variansinya
Jawab
Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh
Diket : p = 0.4 n = 15
a). P(X  10)  1  P(X  10)  1  P(X  0)  P(X  1)  P(X  9)
1
9
 b(x;15; 0.4)
 lihat tabel
x 0
1  0.9662
 0.0338
Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh =
0.0338
b) P(3  X  8)  P(X  8)  P(X  2)

8
2
x 0
x 0
 b(x;15, 0.4)   b(x;15, 0.4)  lihat tabel
 0.9050  0.0271
 0.8779
Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh =
0.8779
c)
P(X  5)  b(5;15; 0.4)  P(X  5)  P(X  4)

5
4
x 0
x 0
 b(x;15, 0.4)   b(x;15, 0.4)  lihat tabel
 0.4032 - 0.2173
 0.1859
Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859
Latihan
PT. Moertad Jaya mengirim dus kabel ke Toko
elektronik. Dengan jaminan kualitas yang baik,
maka 90% kabel yang dikirim lolos seleksi. PT.
Moertad Jaya setiap hari mengirim 15 dus kabel
dengan berat 5-6 Kg.
a). Berapa probabilitas 15 dus kabel diterima?
b). Berapa probabilitas 13 dus kabel diterima?
c). Berapa probabilitas 10 dus kabel diterima?
Distribusi Hipergeometrik
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
Distribusi Hipergeometrik (1)
Distribusi binomial digunakan pada populasi
yang tidak terbatas, sehingga proporsi sukses
diasumsikan diketahui.
Distribusi probabilitas hipergeometrik
digunakan untuk menentukan probabilitas
kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa
pengembalian.
Variabel random hipergeometrik adalah jumlah
sukses (x) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari
sebuah populasi terbatas N , dimana D diantaranya
adalah sukses dan (N-D) adalah gagal.
Distribusi Hipergeometrik (2)



Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik
diturunkan dengan menghitung kombinasikombinasi yang terjadi.
Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi
berukuran N untuk sampel berukuran n adalah
kombinasi C(N,n).
Jika sebuah variabel random (diskrit) X
menyatakan jumlah sukses, selanjutnya dapat
dihitung kombinasi diperoleh x sukses dari
sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahui
yaitu C(D,x), dan demikian pula halnya dapat dicari
(n-x) kombinasi gagal dari sisanya (N-D), yaitu
kombinasi C((N-D),(n-x)).
Distribusi Hipergeometrik (3)
Sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah
sukses dalam percobaan bernoulli dan total jumlah
sukses D diketahui dari sebuah populasi berukuran N,
maka dikatakan x mengikuti distribusi hipergeometrik
dengan fungsi kemungkinan :
 D  N  D 
 

x  n  x 

p( x) 
,
N
 
 
n
0
x  1,2,, min( n, D)
otherwise
Distribusi kemungkinan hipergeometrik sering pula
disimbolkan dengan h(x;N;n;D).
Penerapan untuk distribusi
hipergeometrik
Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling
sering digunakan dalam penarikan sampel
penerimaan barang, pengujian elektronik,
jaminan mutu, dsb.
 Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan
terhadap barang yang diuji yang pada akhirnya
barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak
dapat dikembalikan. Jadi, pengambilan sampel
harus dikerjakan tanpa pengembalian

Contoh:





Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang
serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang
cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu
pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,
Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah
yang cacat.
Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah
yang cacat.
Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) =
3/28
Hitung nilai rata-rata X.
15
Jawab (1):



Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai
banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli
oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :
X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli
oleh sekolah
= 0, 1, 2
Sehingga dapat dihitung :
 3  5 
  
0 2
10
f (0)  P( X  0)     
28
8 
 
 2
 3  5 
  
1 1
15
f (1)  P( X  1)     
28
8 
 
 2
Rumus distribusi probabilitas adalah

 3  5 
  
2 0
3
f (2)  P( X  2)     
28
8 
 
 2
 3  5 
 .

x   2  x 

P( X  x)  f ( x) 
, untuk x  0,1,2
8
 
 2
Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah
x
f(x)
0
10/28
1
15/28
2
3/28
16
Jawab (2):
Distribusi kumulatif F(x) adalah :
F(0) = f(0) = 10/28
F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28
F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28
=1
Sehingga :
0
, untuk x < 0
F(x) =
10/28 , untuk 0  x < 1
25/28 , untuk 1  x < 2
1
, untuk x  2

17
Jawab (3):
Dengan menggunakan F(x), maka
f(2) = F(2) – F(1)
= 1 – 25/28
= 3/28
 Nilai Ekspektasi X adalah
E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.f(2)
= (0). (10/28) + (1). (15/28) +
(2). (3/28)
= 21/28

18
Contoh

Suatu pabrik ban melaporkan bahwa dari
5 ban yang dikirimkan ke suatu toko terdapat 2 ban yang cacat. Bila seseorang
membeli 3 ban, maka hitung:
◦ Probabilitas terdapat 1 ban cacat yang dibeli
◦ Probabilitas tidak ada ban cacat yang dibeli
Distribusi Poisson
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
Percobaan Poisson :

Jika suatu percobaan menghasilkan
variabel random X yang menyatakan
banyak-nya sukses dalam daerah tertentu
atau selama interval waktu tertentu,
percobaan itu disebut percobaan Poisson.
Distribusi Poisson
Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu
percobaan Poisson disebut Variabel random
Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut
distribusi Poisson.
 Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi
,  adalah rata-rata banyaknya sukses yang
terjadi dalam interval waktu atau daerah
tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi
Poisson adalah :

e   x
p( x;  ) 
,
x!
x  0,1,2,......
Rata-rata dan Variansi Distribusi
Poisson

Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi
Poisson adalah .
Catatan :
 Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk
pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar ,
sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan.
 Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi
Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan
probabilitas Binomial, dengan
  np
Contoh

Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6
kecelakaan sebulan, maka hitunglah
probabilitas :
◦ Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu
terjadi 7 kecelakaan
◦ Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan
terjadi minimal 4 kecelakaan
◦ Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu
terjadi 4 kecelakaan
Contoh
Rata-rata banyaknya partikel
radiaoaktif yang melewati suatu
penghitung selama 1 milidetik
dalam suatu percobaan di
laboatorium adalah 4. Berapa
probabilitas 6 partikel melewati
penghitung itu dalam 1 milidetik
tertentu?
Latihan soal:

Suatu proses produksi menghasilkan
sejumlah barang yang cacat sebanyak 10%.
Bila 100 barang diambil secara random,
maka hitung probabilitas :
◦ Banyaknya cacat melebihi 13
◦ Antara 5 s/d 10 yang cacat
◦ Tepat 10 yang cacat
Latihan soal:

Dalam suatu proses produksi yang
menghasilkan barang dari gelas, terjadi
gelembung atau cacat yang menyebabkan
barang tersebut sukar dipasarkan. Ratarata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan
mempunyai satu atau lebih gelembung.
Hitung probablitas dalam sampel random
sebesar 8000 barang akan berisi kurang
dari 7 yang bergelembung.
Latihan soal:

Sekelompok orang terdiri dari 50 orang
dan 3 orang diantaranya lahir pada tanggal
31 Desember. Bila secara acak dipilih 5
orang, berapa peluang orang yang terpilih
itu:
(a) tidak terdapat yang lahir pada tanggal
31 Desember
(b) tidak lebih dari 1 orang yang lahir
pada tanggal 31 Desember
Latihan soal:

Jika 20% dari baut-baut yang diproduksi
oleh suatu mesin rusak, tentukan peluang
bahwa dari 4 baut yang dipilih secara acak
terdapat:
(a) 1yang rusak
(b) tidak ada yang rusak
(c) kurang dari 2 yang rusak
Latihan soal:

Seorang pengusaha sepatu memproduksi 2000 pasang
sepatu dan ternyata 2 pasang sepatu diantaranya tidak
memenuhi standar mutu. Pengusaha itu mendapat
pesanan sebanyak 3000 pasang sepatu dari Pak Togar
yang akan menjualnya kembali. Berapakah probabilitas:
(a) Pak Togar mendapat paling banyak 2 pasang sepatu
yang tidak memenuhi standar mutu
(b) Pak Togar mendapat lebih dari 3 pasang sepatu
yang tidak memenuhi standar mutu
(c) Berapa rata-rata dan simpangan baku dari sepatu
yang tidak memenuhi standar mutu yang diperintah
Pak Togar
Distribusi Normal
(Distribusi Probabilitas Kontinu)
Kurva Normal dan Variabel Random
Normal
Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting
adalah distribusi normal dan grafiknya disebut
kurva normal.
 Variabel random X yang distribusinya berbentuk
seperti lonceng disebut variabel random
normal.




x
Sifat kurva normal, yaitu :





Kurva mencapai maksimum pada x  
Kurva setangkup terhadap garis tegak yang
melalui x  
Kurva mempunyai titik belok pada x    
Sumbu x merupakan asimtot dari kurva
normal
Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x
adalah 1
Distribusi Normal

Variabel random X berdistribusi normal,
dengan mean dan variansi mempunyai
fungsi densitas
1
 ( x   ) 2 ( 2 2 )
n( x; , ) 
e
 2
  x  
luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan :
 P(x1  X  x 2 )

X1
P( x1  X  x 2 ) 
x2
 n(x;, )dx  
x1

1
x2
e
2 x
x
X2
 ( x   ) 2 ( 2 2 )
1
1
 ( x   ) 2 ( 2 2 )
P(   X   ) 
e
dx  1

 2  
dx
Distribusi Normal Standar (1)
apabila variabel X ditransformasikan
dengan substitusi Z  x  

 maka :

P(z1  Z  z 2 ) 
1
 2
z2

1
 z2
e 2 dz 
z1
1
2
z2

z1
1
z2
 z2
e 2 dz  n (z;0,1)dz

z1
x
ternyata substitusi Z 

menyebabkan distribusi normal n (z; , ) menjadi
n( z;0,1)
,
yang disebut distribusi normal standar.
Distribusi Normal Standar (2):

Karena transformasi ini, maka selanjutnya
nilai P(x  X  x )
1
2
ini dapat dihitung dengan menggunakan
tabel distribusi normal standar.
Contoh

Diketahui variabel random X mempunyai
distribusi normal dengan rata-rata 18 dan
standar deviasi 2,5. Hitunglah:
(a) P(X<15)
(b) P(17<X<21)
(c) Nilai k sehingga P(X<k) = 0,2578
Contoh

Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM
adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg.
Berapakah banyaknya mahasiswa yang
mempunyai berat
◦ kurang dari 53 kg
◦ di antara 53 kg dan 57 kg

Bila nilai ujian statistika mempunyai mean 74
dan deviasi standar 7.9, hitunglah
◦ Nilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan nilai
10% terendah mendapat E.
◦ Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa
dengan nilai 5% tertinggi men-dapat A .
Latihan

Dari 200 mahasiswa yang mengikuti ujian
Kalkulus di suatu Universitas, diperoleh
bahwa nilai rata-rata adalah 60 dan standar
deviasi adalah 10. Bila distribusi nilai
menyebar secara normal, berapa:
(a) persen yang mendapat nilai A, jika nilai
A ≥ 80
(b) persen yang mendapat nilai C, jika nilai
C terletak antara interval 56 ≤ C ≤ 68
(c) persen yang mendapat nilai E, jika nilai
E < 45
Hubungan Distribusi Normal dan Distribusi
Binomial:

Jika n besar dan p atau q menuju 0, maka
distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi
normal, sehingga bila X adalah variabel random
yang berdistribusi Binomial dengan mean   np
dan variansi  2  npq
maka
Z
X  np
npq
berdistribusi normal standar