Transcript P(x=2) - SRIKANDI KUMADJI

PROBABILITAS (PELUANG)
PENGERTIAN PROBABILITAS
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata
probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan
dengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).
Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian Statistika kita akan mendapat nilai
A; (2) mungkin nanti hari akan hujan.
Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan
minimum 0 dan maksimum 1. Sedangkan simbol untuk kemungkinan
tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu = 1- P.
Pengertian Peluang
Kalau P = 0: Berarti peristiwa itu tidak mungkin terjadi, atau mustahil.
Misalnya: timbulnya matahari di malam hari adalah mustahil,
maka mempunyai peluang sama dengan 0.
Kalau P = 1: Berarti peristiwa itu pasti terjadi, tidak mungkin tidak terjadi.
Misalnya: peluang darah mengalir di dalam badan orang
yang masih hidup adalah 1.
Dalam kehidupan sehari-hari peristiwa-peristiwa yang kita jumpai
mempunyai peluang antara 0 dan 1 (jarang yang tepat 0 atau
tepat 1).
PROBABILITAS
(PELUANG)
PENGERTIAN PROBABILITAS
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata
probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan
dengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).
Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian statistik kita akan mendapat nilai A;
(2) mungkin nanti hari akan hujan.
Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan
minimum 0 dan maksimum1. Sedangkan simbol untuk kemungkinan
tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu = 1- P.
Definisi Klasik (Classical
Definition of Probability)
Apabila dalam sebuah ruang sampel yang berisi N buah titik sampel yang
equally likely dan mutually exclusive terdapat a buah titik sampel yang
menyokong suatu peristiwa A, maka peluang terjadinya peristiwa A
didefinisikan sebagai:
P(A) = a/N
Contoh 1:
Sebuah mata uang logam (coin) yang mempunyai dua permukaan (A dan B)
dilemparkan ke atas satu kali, maka probabilitas munculnya permukaan
A atau permukaan B di atas:
P(A) = ½ = 0,5 dan P(B) = ½ = 0,5.
Contoh 2:
Sebuah dadu yang mempunyai 6 permukaan yang sama, dilemparkan satu kali,
maka probabilitas munculnya satu permukaan di atas:
P(1) = 1/6; P(2) = 1/6
Contoh 3:
Dalam suatu permainan kita memilih sebuah kartu dari sebanyak 52 kartu bridge
yang ada, maka probabilitas akan terpilih:
a. Satu kartu berwarna hitam: P(H) = 26/52 = 0,5
b. Satu kartu King: P(K) = 4/52
Definisi Empirik atau Statistik
(Empirical /Statistical Definition of Probability)
Probabilitas ditentukan berdasarkan observasi, ditentukan berdasarkan
pengalaman atau peristiwa-peristiwa yang telah terjadi
Apabila dari N buah rentetan peristiwa terdapat t buah peristiwa A, maka
peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai:
P(A) = Lim t/N
N→~
Contoh 1:
Berdasarkan pengalaman puluhan tahun lamanya di bidang kedokteran, dari
100 orang yang terkena penyakit kanker paru-paru, 99 orang meninggal.
Pada suatu saat Tuan A terkena penyakit ini. Pertanyaan: Berapa
peluang dia akan meninggal karena penyakit tersebut?
P(A) = 99/100 = 0,99
Definisi Subyektif
(Subjective Definition of Probability)
Probailitas ditentukan berdasarkan perasaan atau kira-kira peneliti. Jadi
cara ini dipengaruhi oleh pribadi seseorang sehingga bersifat subyektif
Hukum-hukum Peluang
(The Law of Probability)
1.
Suatu peristiwa A yang pasti terjadi dan memenuhi:
P(A) = 1
2. Suatu peristiwa A yang tidak mungkin terjadi dan memenuhi : P(A) = 0
3. Akibat dari hukum 1 dan 2 maka untuk setiap peistiwa A yang sembarang,
akan memenuhi keadaan:
0  P(A)  1
4. Apabila A merupakan komplemen dari peristiwa A, maka berlaku:
P(A) = 1 - P(A) atau P(A) + P(A) = 1
5. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa, maka berlaku:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)
6. ...........
Hukum-hukum Peluang
(The Law of Probability)
6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, maka
berlaku:
P(A U B) = P(A) + P(B)
7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B/A)
8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B)
Hukum-hukum Peluang
(The Law of Probability)
6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, maka
berlaku:
P(A U B) = P(A) + P(B)
7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B/A)
8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku:
P(A dan B) = P(A) * P(B)
MATHEMATICAL EXPECTATION
(HARAPAN MATEMATIK)
Apabila P merupakan probabilitas dari seseorang untuk memperoleh suatu jumlah
Q, maka harapan matematik dari orang tersebut adalah PQ (Q dapat berupa jumlah
barang maupun uang). Apabila suatu gejala deskrit yang diambil secara random
diberi simbul X dengan harga-harga X1, X2, ……… Xn dan probabilitas untuk
mendapatkan harga-harga tersebut P(X1), P(X2) ……… P(Xn) maka harapan
matematik dari X dinyatakan dengan rumus:
E(Xi)
= X1 . P(X1) + X2 . P(X2) + ……. + Xn . P(Xn)
=  X . P(X).
Contoh:
Apabila hujan terus-menerus, seorang penjual payung akan untung Rp. 80.000,00
seharinya, tetapi apabila cuaca baik dia akan rugi Rp. 20.000,00 seharinya. Berapa
harapan matematiknya apabila probabilitas hari akan hujan adalah 0,4.
Jawab:
X1
= Rp. 80.000,00 dengan P(X1) = 0,4
X2
= Rp. 20.000,00 dengan P(X2) = 1 – 0,4 = 0,6
E(A)
= P(X1) . X1 – P(X2) . X2
= 0,4(80.000) – 0,6(20.000)
= 32.000 – 12.000
= Rp. 20.000,00
Contoh:
Seorang pengusaha bakso akan membuka cabangnya di salah satu kampus UB atau
UMM. Ia telah memperhitungkan dengan teliti dengan dibukanya cabang di UB akan
menghasilkan Rp. 8.000.000,00 tiap tahun dengan kemungkinan 0,70, jika usahanya
gagal ia akan menderita rugi tiap tahun Rp. 3.500.000,00.
Kemungkinan berhasil apabila ia membuka cabangnya di UMM adalah 60% dengan
mendapatkan laba tiap tahun Rp. 9.000.000,00 bila gagal akan menderita rugi
Rp.
3.000.000,00 tiap tahun. Di mana sebaiknya ia harus membuka cabang?
DISTRIBUSI
BINOMIAL
Srikandi Kumadji
Ciri-ciri Distribusi Binomial




Tiap percobaan memiliki dua hasil saja
yakni: Sukses atau Gagal.
Probabilitas sukses pada tiap-tiap
percobaan haruslah sama dan dinyatakan
dengan p.
Setiap percobaan harus bersifat
independent (bebas)
Jumlah percobaan yang merupakan
komponen eksperimen binomial harus
tertentu.
RUMUS
P(x,n) =
n  x
  P (1- P)n -x
 X
N!
N x
x
P X  x  
p 1  p  ....
x!N  x !
x = 0, 1, 2, ...., N
0<p<1
Keterangan Rumus






n = Banyaknya peristiwa
p = Besarnya peluang terjadinya
sukses
! =
faktorial
n! =
n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)
0! =
1
1! =
1
Misal : 3! = 3x2x1 = 6
Contoh 1
Dua buah mata uang dilempar
satu kali
Hitunglah:
a. Probabilitas tidak diperolehnya
permukaan B
b. Probabilitas memperoleh satu
permukaan B
c. Probabilitas memperoleh
duapermukaan B
Dik : n = 2;
X = 0, 1, 2
a. Probabilitas tidak mendapat permukaan B
 2
2
0
2
  x 0,5 x 0,5 
x 1 x 0,25
 P(0;2) =
0!(2! )
0
= 0,25
b. Probabilitas
 P(1;2) =
satu permukaan B
 2
2
  x 0,51 x 0,51 
x 0,50 x 0,50
1!(1! )
1 
= 0,50
c. Probabilitas mendapat 2 permukaan B

P(2;2) =
 2
2
2
0
  x 0,5 x 0,5 
x 1 x 0,25 x 1
2!(0! )
 2
= 0,25
Contoh 2
Kalau 3 buah mata uang dilemparkan satu
kali. Hitunglah Probabilitas memperoleh:
a. Tidak ada permukaan B
b. 1 permukaan B
c. 2 permukaan B
d. 3 permukaan B
e. Paling sedikit 1 permukaan B
f. Paling banyak 2 permukaan B
 3
3!
  x 0,512 xx 0,5
0,520 
xx 0,5
1 x 0,25
x 0,25
1
0
1!
0!(2!
(3!))
 

Dik: n = 3; X = 0, 1, 2, 3
3
3!
0
a. P(0;3) = 0  x 0,5 x 0,53 0!(3!) x 1 x 0,125
= 0,125
b. P(1;3) =
 3
3!
1
2
  x 0,5 x 0,5 
x 0,5 x 0,25
1!(2! )
1 
= 0,375
 3
3!
  x 0,512 xx 0,5
0,5201 
xx 0,5
10,5
x 0,25
xx 0,25
0,25
1
0
2
1!
2!
0!(2!
(1!
(3!))
 
c. P(2;3) = 3  x 0,5 2 x 0,51  3! x 0,5 x 0,25
 2
2!(1! )
 
= 0,375
d. P(3;3) =
 3
3!
  x 0,53 x 0,50 
x 0,125 x1
3!(0! )
 3
= 0,125
 3
3!
  x 0,512 xx 0,5
0,5201 
xx 0,5
10,5
x 0,25
xx 0,25
0,25
1
0
2
1!
2!
0!(2!
(1!
(3!))
 
e.P(x≥1) = P(x=1) + P(x=2) +
P(x=3)
= 1 - P(x=0)
= 1 - 0,125 = 0, 875
f. P(x ≤ 2) = P(x=0) + P(x=1) +
P(x=2)
= 0,125 + 0,375 + 0,375
= 0,875
Srikandi Kumadji
Pengertian
 Distribusi
peristiwa yang jarang
terjadi (distribution of rare events)
adalah distribusi kemungkinan
teoritis dengan variasi random
discrete. Distribusi ini dianggap
sebagai pendekatan pada distribusi
binomial apabila n (banyaknya
percobaan) adalah besar,
sedangkan P (Probabilitas sukses)
sangat kecil.
RUMUS
P(X)=
μ .e
x!
x
-u
 = n . p
X = variabel random discrete 0,1,2,3 ……..
X! = X . (X – 1) . (X – 2) ….. 2 . 1
e = bilangan irrational yang besarnya 2,71828
0! = 1
Contoh
Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat
kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat
iklan tersebut kita misalkan mempunyai
100.000 pembaca. Jika kemungkinan seorang
akan membalas iklan tersebut 0,00002.
Ditanyakan :
a. Berapa orangkah diharapkan akan
membalas iklan tersebut?
b. Berapa kemungkinannya bahwa yang
membalas iklan tersebut hanya seorang?
c.
Berapa kemungkinannya tidak ada yang
membalas?
jawaban
Dik: n =
100.000,p = 0,00002
a. μ = n . p
= 100.000 . 0,00002
= 2
Rata-rata ada 2 orang yang
membalas iklan tersebut.
2 (0,13534)
1
1
2 e
1!
0
-2
2
e
c. P(x=0)=
0!
2 (0,13534)
=
=
1 b. P(x=1)= 0,27068
-2
=
1 (0,13534)
1
=0,13534
Contoh2
Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit
TBC adalah 0,001. Dari 2.000 orang penderita penyakit
tersebut berapa probabilitas :
Tiga orang akan mati
Yang mati tidak lebih dari satu orang
Lebih dari dua orang mati
Dik: n =
 =
a.
0,27068
0,4060
b.
2.000,
p = 0,001
2.000 x 0,001 = 2
( 2) 3 e -2
P(x=3)= 3!
=
8 . (0,13534)
3 . 2 .1
= 0,18045
P(x≤1) = P(0) + P(1) =
P(x=0) =
P(x=1) =
( 2) 0 e -2
0!
(2)1 e -2
1!
= 0,13534
= 0,27068
= 0,4060

c. P(X > 2) = 1 -P(0) 
P(x=2)
=
( 2) 2 e -2
2!
=
P(1)  P(2)
0,27068
Jadi P(X > 2) = 1 – (0,13534 + 0,27068 + 0,27068)
=
1 – 0,67670 = 0,3233
Mean dan Standard Deviasi Poisson

 = n . P

=
n.p