Transcript 11B - SAP Universitas Tarumanagara

Bab 11B
Nonparametrik: Data Frekuensi 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bab 11B
NONPARAMETRIK: DATA FREKUENSI 2
A. Pengujian Hipotesis Kecocokan Distribusi Probabilitas
1. Kecocokan Distribusi Probabilitas
Uji hipotesis apakah sampel berasal dari populasi yang memiliki
distribusi probabilitas yang cocok dengan distribusi probabilitas
tertentu
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Distribusi Probabilitas Sasaran Pengujian
Pengujian kecocokan dilakukan terhadap beberapa distribusi
probabilitas
• Distribusi probabilitas seragam
• Distribusi probabilitas binomial
• Distribusi probabilitas normal
Pembahasan dibatasi pada distribusi probabilitas seragam dan
distribusi probabilitas normal
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Metoda Pengujian
Ada tiga metoda pengujian yang dibahas berupa
• Metoda khi-kuadrat (syarat φ  5)
• Metoda Kolmogorov-Smirnov (K-S)
• Metoda Liliefors
Metoda khi-kuadrat berdasarkan kecocokan kategori sedangkan
metoda lainnya berdasarkan kumulasi kategori
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------B. Uji Hipotesis melalui Khi-kuadrat
1. Cara pengujian
• Sampel dan hipotesis nol dibagi menjadi sejumlah bagian
• Bagian yang sama pada sampel dan hipotesis nol dicocokkan
• Jika selisih mereka kecil maka sampel berasal dari populasi H0 (H0
diterima
• Jika selisih mereka besar maka sampel tidak berasal dari populasi
H0 (H0 ditolak)
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Sampel dan hipotesis nol
Sampel
Hipotesis H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Distribusi probabilitas pensampelan
• Selisih sampel dengan hipotesis membentuk distribusi probabilitas
pensampelan
• Distribusi probabilitas pensampelan berbentuk distribusi probabilitas
multinomial
• DPP didekatkan ke distribusi probabilitas 2 (syarat φ cukup besar,
patokan 5)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------3. Statistik uji
Untuk  > 1
 
( f   )2
Untuk  = 1
 
(| f   | 0,5) 2
2
2
f = frekuensi pada sampel


φ = frekuensi pada H0
Diuji pada taraf signifikansi  dengan  = k – m – 1
k = banyaknya bagian
m = jumlah parameter penentu pada distribusi probabilitas
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Pencocokan Distribusi Probabilias Seragam
• Pada distribusi probabilitas seragam, probabilitas adalah sama untuk k sel
sehingga
p=1/k
• Pada lempar koin dengan muka dan belakang, k =2 sehingga p = 1 / 2
• Pada lempar dadu dengan 6 mata, k = 6 sehingga p = 1 / 6
• Untuk n data atau n lemparan, pada probabilitas seragam, frekuensi setiap sel
adalah
 = np = n / k
• Pada distribusi seragam, tidak ada parameter penentu sehingga m = 0 dan
 = k  m  1 = k 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 1
Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah dadu masih seimbang, apabila sampel
acak menunjukkan
mata
frekuensi
1
16
2
24
3
23
4
15
5
17
6
25
• Hipotesis
H0 : Dadu seimbang (distribusi probabilitas seragam)
H1 : Dadu tidak seimbang
• Sampel
n = 120
f1 = 16 f2 = 24
f4 = 15 f5 = 17
1 = 20 2 = 20
4 = 20 5 = 20
f3 = 23
f6 = 25
3 = 20
6 = 20
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Distribusi probabilitas pensampelan
Distribusi probabilitas khi-kuadrat
Derajat kebebasan m = 0 sehingga  = k  1 = 6  1 = 5
• Statistik uji
mata
1
2
3
4
5
6
f
16
24
23
15
17
25

(f  )2 / 
20
0,80
20
0,80
20
0,45
20
1,25
20
0,45
20
1,25
2 = 5,00
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Kriteria pengujian
Taraf signifikansi 0,05
Pengujian pada ujung atas
Nilai kritis 2(0,95)(5) = 11,1
Tolak H0 jika 2 > 11,1
Terima H0 jika 2  11,1
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 2
Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah koin masih seimbang. Sampel 80
lemparan koin menampilkan M = muka dan B = belakang
Sisi
Frek
M
56
B
24
• Hipotesis
H0 : Koin seimbang (distribusi probabilitas seragam)
H1 : Koin tidak seimbang
• Sampel
fM = 56
m = 40
fB = 24
b = 40
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Distribusi probabilitas pensampelan
Distribusi probabilitas khi-kuadrat
Derajat kebebasan m = 0 sehingga  = k – 1 = 2 – 1 = 1
• Statistik uji
Karena  = 1, maka perlu koreksi Yates
Sisi
M
B
fi I (|fi – i| –0,5)2 / I
56 40
6,00625
24 40
6,00625
2 = 12,0125
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Kriteria pengujian
Taraf signifikansi 0,05
Nilai kritis 2(0,95)(1) = 6,0135
Tolak H0 jika 2 > 6,0135
Terima H0 jika 2 ≤ 6,0135
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 3 (dikerjakan di kelas)
Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah dadu seimbang unutk sampel acak
mata 1
2
3
4
5
6
frek 3407 3631 3176 2916 3448 3422
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 4 (dikerjakan di kelas)
Distribusi kelamin lelaki dan perempuan diduga adalah seragam. Dugaan
ini duji pada taraf signifikansi 0,05. Sampel acak menunjukkan
Kelamin
Frekuensi
lelaki perempuan
61
39
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 5
Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah X berdistribusi probabilitas seragam untuk
sampel
X
Frek
X1
13
X2
6
X3
0
X4
3
X5
11
X6
3
Contoh 6
Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah kelahiran bayi dari Januari sampai
Desember berdistribusi probabilitas seragam untuk sampel acak
Bulan
J F M A M J
Kelahiran 80 70 86 82 83 78
Bulan
J A S O N D
Kelahiran 79 76 78 76 72 76
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 7
Setiap siswa memilih sebarang 3 angka dari 11 sampai 30. Pada taraf signifikansi
0,05, uji apakah semua angka sama terpilihnya. Sampel pilihan 70 siswa adalah
Angka 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Frek 11 10 20 8 13 9 21 9 16 8
Angka 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Frek 12 8 15 10 10 9 12 8 13 9
Contoh 8
Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah X berdistribusi probabilitas seragam.
Sampel acak
X
X1
Frek 60
X2
73
X3 X4
80 65
X5
81
X6
69
X7
62
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 9
Pada suatu pemilihan umum, suatu suami dan istri diduga seragam.
Sampel acak menunjukkan
Suara
Frekuensi
suami
1350
istri
650
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Pencocokan Distribusi Probabilitas Normal
• Pencocokan dilakukan untuk memastikan apakah sampel berasal dari populasi
berdistribusi probabilitas normal
• Pengujian dilakukan dengan membandingkan sampel dengan distribusi
probabilitas normal
• Perbedaan di tiap pasangan sel (sampel dan H0) digunakan untuk pengujian
kecocokan
frekuensi
sampel
X
n(z;0,1)
Distr prob normal H0
z
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Ada beberapa hal yang perlu disesuaikan sebelum dapat dibandingkan
• Sampel menggunakan data mentah X, tetapi H0 menggunakan data
nilai baku z; mereka perlu disamakan (biasanya data X ke z)
• Sampel menggunakan frekuensi f, tetapi H0 menggunakan
probabilitas n(z; 0,1); mereka perlu disamakan (biasanya
probabilitas ke frekuensi)
• Sampel dan H0 terbagi ke dalam sel (dapat ditentukan dengan
kaidah Sturges) sehingga perlu ditentukan batas bawah, batas
atas, dan nilai
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Penentuan batas dan nilai sel
140
144 145
144,5
149,5
142
sel
batas
bawah
140  144
139,5
145 – 149
144,5
150 – 154
149,5
batas nilai
atas
sel
144,5 142
149,5 147
154,5 152
Nilai sel adalah median pada sel
Batas bawah dan atas terletak di tengah antara sel
Pada distribusi probabilitas normal di H0
batas bawah menjadi zbawah
batas atas menjadi zatas
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------• Penentuan frekuensi di distribusi probabilitas normal H0
Pada tabel fungsi distribusi dari distribusi probabilitas normal, ditemukan
Dari zatas ditemukan atas
Dari zbawah ditemukan bawah

Luas sel  = atas  bawah
Frekuensi = n 
zbawah
bawah
atas
zatas
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Pengujian hipotesis
Selisih frekuensi di antara sel sampel dan sel pada distribusi probabilitas
normal (H0) didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat
2
(
f

n


)
2  
n
(φ  5)
Distribusi probabilitas normal baku memerlukan 2 parameter penentu yakni
 dan  sehingga pada derajat kebebasan m = 2
=k–m–1=k–2–1=k–3
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 10
Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi berdistribusi probabilitas normal.
Sampel acak menunjukkan (setelah dikelompokkan menurut kaidah Sturges)
Kelompok
(sel)
140 – 144
145 – 149
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
Frekuensi
f
7
10
16
23
21
17
6
100
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Hipotesis
H0 : Populasi berdistribusi probabilitas normal
H1 : Populasi tidak berdistribusi probabilias
normal
• Sampel
Kelompok
(sel)
140 – 144
145 – 149
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
Nilai Batas
sel
bawah
142 139,5
147 144,5
152 149,5
157 154,5
162 159,5
167 164,5
172 169,5
Batas Frek
atas
f
144,5
7
149,5 10
154,5 16
159,5 23
164,5 21
169,5 17
174,5
6
Rerata
= 157,8
Simpangan baku sX = 8,09
Ukuran sampel n = 100
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Nilai baku batas sel pada sampel
Dengan rerata dan simpangan baku, ditemukan
Kelompok
(sel)
140 – 144
145 – 149
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
Batas
bawah
139,5
144,5
149,5
154,5
159,5
164,5
169,5
Batas
atas
144,5
149,5
154,5
159,5
164,5
169,5
174,5
zbawah
zatas
2,26
1,64
1,03
0,41
0,21
0,83
1,45
1,64
1,03
0,41
0,21
0,83
1,45
2,06
Selanjutnya perlu ditentukan frekuensi sel pada distribusi probabilitas normal
(H0)
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Dengan bantuan tabel fungsi distribusi bawah pada distribusi probabilitas
normal
Dari tabel fungsi distribusi probabilitas normal baku
Kelompok
(sel)
140 – 144
145 – 149
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
bawah
atas
0,0119
0,0505
0,1515
0,3409
0,5832
0,7967
0,9265
0,0505
0,1515
0,3409
0,5832
0,7967
0,9265
0,9803

0,0386
0,1010
0,1894
0,2423
0,2135
0,1298
0,0538
frekuensi
n 
3,86
10,10
18,94
24,23
21,35
12,98
5,38
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Distribusi probabilitas pensampelan
Selisih frekuensi f– n  didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat
melalui
( f  n ) 2
 
n
2
  k  m 1
• Untuk distribusi probabilitas normal
m = 2 (rerata dan simpangan baku)
=k–2–1=k-3
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------• Statistik uji
Kelompok
140 – 144
145 – 149
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
f
7
10
16
23
21
17
6
• Kriteria pengujian
n
(f– n )2 / n
3,86
2,5543
10,10
0,0010
18,94
0,4564
24,23
0,0624
21,35
0,0057
12,98
1,2450
5,38
0,0714
2 = 4,3963
derajat kebebasan  = 7 – 3 = 4
Taraf signifikansi 0,05
Nilai kritis 2(0,95)(4) = 9,488
Pengujian di ujung atas
Tolak H0 jika 2 > 9,488
Terima H0 jika 2  9,488
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 11
Pada taraf signifikansi 0,05, uji normalitas populasi hasil ujian siswa. Sampel
acak menunjukkan
87 76 80 87 77 86 77 86 77 92 80 78
84 77 81 77 75 81 75 92 80 80 84 72
80 92 72 77 78 76 68 78 92 68 80 81
Catatan:
kelompokkan menggunakan kaidah Sturges k = 1 + 3,322 log n
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 12
Pada taraf signifikansi 0,05 uji apakah populasi berdistribusi probabilitas
normal. Sampel acak
kelompok
37 – 39
34 – 36
31 – 33
28 – 30
25 – 27
22 – 24
frek
3
15
7
17
6
36
kelompok
19 – 21
16 – 18
13 – 15
10 – 12
7 9
4 – 6
frek
23
34
16
25
5
13
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 13
Pada taraf signifikansi 0,05 uji apakah populasi berdistribusi probabilitas normal.
Sampel acak
kelompok
84 – 90
77 – 83
70 – 76
63 – 69
56 – 62
49 – 55
42 – 48
frek
3
5
6
20
20
18
29
kelompok
35 – 41
28 – 34
21 – 27
14 – 20
7 – 13
0– 6
frek
17
14
13
12
13
30
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
C. Cara Pengujian Kecocokan melalui Uji Kolmogorov-Smirnov (K-S)
1. Cara Pengujian
• Akan diuji apakah sampel X berasal dari distribusi probabilitas tertentu, maka
distribusi probabilitas seragam dijadikan H0
H0 : Distribusi probabilitas X adalah distribusi probabilitas tertentu
H1 : Distribusi probabilitas X bukan distribusi probabilitas tertentu
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Prosedur pengujian
• Pada cara kecocokan kumulatif ini sampel X dikumulasikan
• Distribusi probabilitas H0 juga dikumulasikan
• Kumulasi sampel dan kumulasi distribusi probabilitas H0
dibandingkan
• Selisih di setiap bagian di dalam perbadingan ini adalah selisih
kumulasi
• Selisih terbesar di antara mereka dijadikan patokan pada
pengujian hipotesis
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Sampel X dan distribusi probabilitas normal, kedua-duanya dikumulasikan, baru
dibandingkan
Sampel X
Kumulasi sampel X
Distribusi probabilitas sesuatu
Kumulasi distribusi probabilitas sesuatu
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Pembandingan kumulasi sampel X dengan kumulasi distribusi probabilitas
sesuatu
Selisih
Selisih mereka juga adalah selisih kumulasi sehingga pembandingan didasarkan
kepada selisih terbesar (maksimum)
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Perbandingan kumulasi, selisih bawah dan selisih atas
a2
a1
a2
a1
a1 selisih bawah
a2 selisih atas
a dalam nilai mutlak
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------3. Pengujian hipotesis
Ketidakcocokan secara kumulatif ditunjukkan oleh a1 dan a2
Cari ketidakcocokan kumulatif maksimum amaksimum
Jika amaksimum terlalu besar maka tidak cocok (tolak H0)
Ada tabel khusus uji Kolmogorov-Smirnov atabel
Tolak H0 jika amaksimum > atabel
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
 = 0,20
0,900
0,684
0,565
0,493
0,447
0,410
0,381
0,359
0,339
0,323
0,308
0,296
0,285
0,275
0,266
 = 0,10  = 0,05  = 0,02  = 0,01
0,950
0,975
0,990
0,995
0,776
0,842
0,900
0,929
0,636
0,708
0,785
0,829
0,565
0,624
0,689
0,734
0,509
0,563
0,627
0,669
0,468
0,519
0,577
0,617
0,436
0,483
0,538
0,576
0,410
0,454
0,507
0,542
0,387
0,430
0,480
0,513
0,369
0,409
0,457
0,486
0,352
0,391
0,437
0,468
0,338
0,375
0,419
0,449
0,325
0,361
0,404
0,432
0,314
0,349
0,390
0,418
0,304
0,338
0,377
0,404
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov
n
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
 = 0,20
0,258
0,250
0,244
0,237
0,232
0,226
0,221
0,216
0,212
0,208
0,204
0,200
0,197
0,193
0,190
 = 0,10  = 0,05
0,295
0,327
0,286
0,318
0,279
0,309
0,271
0,301
0,265
0,294
0,259
0,287
0,253
0,281
0,247
0,275
0,242
0,269
0,238
0,264
0,233
0,259
0,229
0,254
0,225
0,250
0,221
0,246
0,218
0,242
 = 0,02
0,366
0,355
0,346
0,337
0,329
0,321
0,314
0,307
0,301
0,295
0,290
0,284
0,279
0,275
0,270
 = 0,01
0,392
0,381
0,371
0,361
0,352
0,344
0,337
0,330
0,323
0,317
0,311
0,305
0,300
0,295
0,290
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov
n
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
 = 0,20
0,177
0,165
0,156
0,148
0,142
0,136
0,131
0,126
0,122
0,118
0,114
0,111
0,108
0,106
 = 0,10  = 0,05
0,202
0,224
0,189
0,210
0,179
0,198
0,170
0,188
0,162
0,180
0,155
0,172
0,149
0,166
0,144
0,160
0,139
0,154
0,135
0,150
0,131
0,145
0,127
0,141
0,124
0,137
0,121
0,134
Pendekatan 1,07/√n
 = 0,02
0,251
0,235
0,222
0,211
0,201
0,193
0,185
0,179
0,173
0,167
0,162
0,158
0,154
0,150
 = 0,01
0,269
0,252
0,238
0,226
0,216
0,207
0,199
0,192
0,185
0,179
0,174
0,169
0,165
0,161
1,22/√n 1,36/√n 1,52/√n
1,63/√n
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Pencocokan Distribusi Probabilitas Normal
Dengan metoda Kolmogorov-Smirnov dapat diuji hipotesis tentang
kecocokan distribusi probabilitas melalui sampel untuk berbagai
distribusi probabilitas
Di sini, dibicarakan pencocokan untuk distribusi probabilitas normal
melalui sampel
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 14
Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Kolmogorov-Smirnov, uji
apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak
menghasilkan
X
Frek
Hipotesis
5
1
6
3
7
8
8
5
9
3
H0 : Populasi X berdistribusi probabilitas normal
H1 : Populasi X tidak berdistribusi probabilitas normal
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Sampel
Kumulasi proporsi sampel
X
5
6
7
8
9
f
1
3
8
5
3
20
p
0,05
0,15
0,40
0,25
0,15
p
0,05
0,20
0,60
0,85
1,00
n = 20
= 7,3
sX = 1,081
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Kumulasi pada distribusi probabilitas normal
Perhitungan nilai baku serta pencarian di tabel fungsi distribusi
X
5
6
7
8
9
zX
 2,13
 1,20
 0,28
0,65
1,57

0,0166
0,1151
0,3897
0,7422
0,9418
p
0,05
0,20
0,60
0,85
1,00
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Statistik uji
X
5
6
7
8
9
p
0
0,05
0,20
0,60
0,85
1,00

0,0166
0,1151
0,3897
0,7422
0,9418
a1
0,0166
0,0651
0,1897
0,1422
0,0918
amaks = 0,2103
a2
0,0334
0,0849
0,2103
0,1078
0,0582
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Dalam bentuk grafik
1,0
0,9418
0,7422
0,2103
0,5
0,3895
0,1895
0,1151
5
6
7
8
9
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Kriteria pengujian
n = 20
 = 0,05
atabel = 0,294
Tolak H0 jika amaks > 0,294
Terima H0 jika amaks  0,294
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 15 (dikerjakan di kelas)
Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Kolmogorov-Smirnov, uji apakah
populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan
21 21 22 23 24 25 26 26 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 30 31
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 16
Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Kolmogorov-Smirnov, uji apakah
populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan
17 27 23 20 17 30 22 26 17 17 27 23 15 20 18 22 28 17 24 17
26 19 18 28 16 19 24 15 20 29 16 18 26 25 15 16 24 26 15 18
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 17
Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Kolmogorov-Smirnov, uji apakah
populasi X berdistribusi probabilitan normal. Sampel acak adalah
81 74 77 81 75 80 75 80 75 82 77 76 79 75 78 75 73 78 73 82
77 77 79 72 77 82 72 75 76 74 71 76 82 71 77 78
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------D. Cara Pengujian Kecocokan melalui Uji Liliefors
1. Cara Pengujian
• Seperti pada uji K-S, kumulasi proporsi dibandingkan dengan fungsi distribusi
pada distribusi probabilitas normal
• Fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal ditemukan melalui tabel
sehingga data perlu ditranformasi ke nilai baku
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Selisih maksimum dalam bentuk harga mutlak
T = Sup |  Σp|
menjadi statistik uji (sup = supremum)
• Terdapat tabel khusus untuk pengujian hipotesis
Tolak H0 jika T > Ttabel
Terima H0 jika T  Ttabel
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel Nilai Kritis Uji Liliefors
n
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
 = 0,80  = 0,85
0,300
0,319
0,285
0,299
0,265
0,277
0,247
0,258
0,233
0,244
0,223
0,233
0,215
0,224
0,206
0,217
0,199
0,212
0,190
0,202
0,183
0,194
0,177
0,187
 = 0,90  = 0,95  = 0,99
0,352
0,381
0,417
0,315
0,337
0,405
0,294
0,319
0,364
0,276
0,300
0,348
0,261
0,285
0,331
0,249
0,271
0,311
0,239
0,258
0,294
0,230
0,249
0,284
0,223
0,242
0,275
0,214
0,234
0,268
0,207
0,227
0,261
0,201
0,220
0,257
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel Nilai Kritis Uji Liliefors
n
16
17
18
19
20
25
30
> 30
 = 0,80  = 0,85  = 0,90
0,173
0,182
0,195
0,169
0,177
0,189
0,166
0,173
0,184
0,163
0,169
0,179
0,160
0,166
0,174
0,142
0,147
0,158
0,131
0,136
0,144
 = 0,95  = 0,99
0,213
0,250
0,206
0,245
0,200
0,239
0,195
0,235
0,190
0,231
0,173
0,200
0,161
0,187
0,736/√n 0,768/√n 0,805/√n 0,886/√n 1,031/√n
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Uji Hipotesis Pencocokan Distribusi Probabilitas Normal
Contoh 18
Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Liliefors, uji apakah populasi X
berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan
X
Frek
Hipotesis
5
1
6
3
7
8
8
5
9
3
H0 : Populasi X berdistribusi probabilitas normal
H1 : Populasi X tidak berdistribusi probabilitas normal
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Sampel
Kumulasi proporsi sampel
X
5
6
7
8
9
f
1
3
8
5
3
20
p
0,05
0,15
0,40
0,25
0,15
p
0,05
0,20
0,60
0,85
1,00
n = 20
= 7,3
sX = 1,081
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Kumulasi pada distribusi probabilitas normal
Perhitungan nilai baku serta pencarian di tabel fungsi distribusi
X
5
6
7
8
9
zX
 2,13
 1,20
 0,28
0,65
1,57

0,0166
0,1151
0,3897
0,7422
0,9418
p
0,05
0,20
0,60
0,85
1,00
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Statistik uji
X
5
6
7
8
9
p
0,05
0,20
0,60
0,85
1,00

0,0166
0,1151
0,3897
0,7422
0,9418
T
0,0334
0,0849
0,2103
0,1078
0,0582
amaks = 0,2103
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Kriteria pengujian
Taraf signifikansi 0,05
Pada tabel nilai kritis uji Liliefors
T()(n) = 0,190
Tolak H0 jika T > 0,190
Terima H0 jika T  0,190
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 19 (dikerjakan di kelas)
Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Liliefors, uji apakah populasi X
berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan
21 21 22 23 24 25 26 26 27 27
27 28 28 28 28 29 29 29 30 31
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 20
Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Liliefors, uji apakah populasi X
berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan
17 27 23 20 17 30 22 26 17 17 27 23 15 20 18 22 28 17 24 17
26 19 18 28 16 19 24 15 20 29 16 18 26 25 15 16 24 26 15 18
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 11B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 21
Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Liliefors, uji apakah populasi X
berdistribusi probabilitan normal. Sampel acak adalah
81 74 77 81 75 80 75 80 75 82 77 76 79 75 78 75 73 78 73 82
77 77 79 72 77 82 72 75 76 74 71 76 82 71 77 78