Transcript dm10

‫به نام خدا‬
‫تجزیه و تحلیل تصمیم گیری‬
‫فهرست مطالب‬
‫‪ ‬یادآوری‬
‫◦ برنامه ریزی آرمانی‬
‫◦ روش ‪STEM‬‬
‫‪ ‬روشهای یافتن راه حلهای موثر مسائل ‪MODM‬‬
‫‪ ‬روش پارامتری در حل مسائل ‪MOLP‬‬
‫‪ ‬روش پایه های مجاور )‪(ADBASE‬‬
‫یادآوری ( برنامه ریزی آرمانی)‬
‫‪ ‬روشی معمول در تصمیم گیری چندهدفه است‪.‬‬
‫‪ ‬برای هر هدف مقدار آرمانی مشخص می شود‪.‬‬
‫‪ ‬مقدار انحراف از آرمان با توجه به اولویتهای تصمیم‬
‫گیرنده حداقل می شود‪.‬‬
‫) ‪Min D    j h j (d  , d ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪s.t : g i ( x)  0,‬‬
‫‪l  1,...,k .‬‬
‫‪f l ( x)  d l  d l  bl‬‬
‫‪x, d  , d   0‬‬
‫‪l  1,...,k .‬‬
‫‪d l .d l  0‬‬
‫یادآوری‬
‫مثال‪ :1‬فرض کنید آرمانهایی به ترتیب نزولی به صورت زیر باشند‪:‬‬
‫آرمان ‪ :1‬میزان انحراف ‪ 3x1+2x2‬از مقدار هدف ‪ 60‬حداقل شود ( مقدار کمتر و بیشتر هردو‬
‫نامطلوبند)‬
‫آرمان ‪ :2‬میزانی که ‪ 2x1+x2‬کمتر از مقدار هدف ‪ 44‬است حداقل شود‪.‬‬
‫آرمان ‪ :3‬میزانی که ‪ 7x1+3x2‬بیشتر از مقدرا هدف ‪ 84‬است حداقل شود‪.‬‬
‫مساله را به شکل یک مدل برنامه ریزی آرمانی مناسب فرموله کنید‬
‫روش ‪STEM‬‬
‫* این روش برای حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفه کاربرد دارد‪:‬‬
‫}‪Max {C1t .x,...,Ckt .x‬‬
‫‪s.t :‬‬
‫‪Ax  b‬‬
‫‪x0‬‬
‫* در حل این مساله ابتدا ماتریس بهره وری با بهینه سازی هر هدف بطور جداگانه بدست مي آید‪:‬‬
‫‪f k1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ki ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫*‬
‫‪f k ‬‬
‫‪f i1‬‬
‫‪f 21‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫*‪f i‬‬
‫‪f 2i‬‬
‫‪‬‬
‫‪fi k‬‬
‫‪‬‬
‫‪f 2k‬‬
‫*‪ f1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪ f1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪ f1‬‬
‫روش ‪STEM‬‬
‫سپس قدم هاي زیر متوالیا ً تا رسیدن به راه حل برتر مساله تکرار می شود‪:‬‬
‫قدم یکم‪ -‬مساله ‪ LP‬زیر را در تکرار ‪ m‬ام حل کنید‪:‬‬
‫‪Min : ‬‬
‫‪j  1,...,k‬‬
‫‪s.t :   ( f j*  f j ( x)). j‬‬
‫‪m‬‬
‫‪xS‬‬
‫‪ 0‬‬
‫مجموعه محدودیت های اصلی مساله بعالوه‬
‫محدودیت هایی که در هر تکرار ‪ m‬به مساله‬
‫اضافه می شود‬
STEM ‫روش‬
j
j 
i
i
 f j*  f jmin
.

*
fj


 j   min
*
f

f
j
 j
.
min
 fj

‫با توجه به ماتریس بهره وری‬
1
2
c
 ij
f j*  0
i
1
2
c
 ij
i
f j*  0
‫روش ‪STEM‬‬
‫قدم دوم‪ -‬مرحله تصمیم‪ ،‬راه حل قدم یکم در اختیار تصمیم گیرنده قرار می گیرد‪ DM .‬مقدار‬
‫بعضی از اهداف را در مقایسه با مقدار ایده آل آنها رضایت بخش تشخیص داده مقدار تعدیل هریک‬
‫از آنها را در جهت بهبود سایر اهداف مشخص می کند‪ .‬ناحیه عملی مساله به صورت زیر تغییر می‬
‫کند‪:‬‬
‫‪j by DM‬‬
‫‪l  j‬‬
‫‪‬‬
‫‪Sm‬‬
‫‪‬‬
‫‪m 1‬‬
‫‪S   f j ( x)  f j ( x m )  f j‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪‬‬
‫ستون‪ ،‬توابع رضایت بخش را از ماتریس بهره وری حذف می کنیم‪ m=m+1 ،‬و به قدم یکم باز‬
‫می گردیم‪ .‬این فرایند تکرار می شود تا تمام اهداف مورد رضایت ‪ DM‬قرار گیرد‪.‬‬
‫روش ‪STEM‬‬
‫مقادیر تعدیل توابع هدف را می توان براساس تحلیل حساسیت مدل خطی بدست آورد‪.‬‬
‫مثال‪( :‬صفحه ‪ 123‬کتاب دکتر اصغرپور)‬
:
𝑚𝑎𝑥: 𝑓1 = 0/4𝑋1 + 0/3𝑋2
𝑚𝑎𝑥: 𝑓2 = 𝑋1
𝑠. 𝑡: 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 400
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 500
𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0
βj
-1
:
𝑓1
STEM
𝑓2
𝑋1
𝑋2
𝑓1
130*
100
100
300
𝑓2
100
250*
250
0
:
𝛼1 =
𝑓1∗ − 𝑓1𝑚𝑖𝑛
𝑓1∗
1
2
2
𝑐11
+ 𝑐12
=
130 − 100
130
=
250 − 100
250
1
0/42 + 0/32
= 0/4615
𝛼2 =
𝑓2∗ − 𝑓2𝑚𝑖𝑛
𝑓2∗
1
2
2
𝑐21
+ 𝑐22
= 0/6
𝛼1
= 0/4348
𝛼1 + 𝛼2
𝛼1
𝛽2 =
= 0/5652
𝛼1 + 𝛼2
𝛽1 =
1
12 + 0 2
𝛽𝑗
:
STEM
30
:
:
𝑚𝑖𝑛 𝛾
𝑠. 𝑡: 𝛾 ≥
𝛾 ≥
130 −
0.4𝑋1 + 0.3𝑋2
(0.4348)
250 − (𝑋1 ) (0/5652)
𝛾 ≥ 0
𝑋 ∈ 𝑆1
:
𝑋1 = 230,40
𝐹 1 = 𝑓11 , 𝑓21 = (104,230)
:
𝑆1
𝑆2 =
𝑓2 𝑋
= 𝑋1 ≥ 𝑓2 𝑋1
𝑓1 𝑋
≥ 𝑓1 𝑋1 104
− ∆𝑓2 = 230 − 30 = 200
0/4𝑋1 + 0/3𝑋2 ≥ 104
:
𝛽1 = 1
𝛽2 = 0
:
𝑚𝑖𝑛: 𝛾
𝑠. 𝑡: 𝑋 ∈ 𝑆 2
𝛾 ≥
𝑓1∗ − 𝑓1 (𝑋) 𝛽1 =
𝑋1 ≥ 200
130 − (0/4𝑋1 + 0/3𝑋2 ) (1)
𝛾 ≥ 0
:
𝛽2 𝛽1
‫راه حل موثر‬
‫• راه حل موثر راه حلي است که راه حل مسلط بر آن وجود ندارد‪ .‬هیچ راه حلي وجود ندارد که در‬
‫تمامي اهداف بهتر یا معادل راه حل موثر باشد ( و دستکم در یک هدف کامالً برتر باشد‪.).‬‬
‫• با شروع از یک راه حل موثر امکان بهبود یک تابع هدف بدون کاهش یک یا چند هدف دیگر وجود‬
‫ندارد‪.‬‬
‫• نامهاي دیگر ( راه حل غیر مغلوب‪ ،‬راه حل بهینه پارتو)‬
‫‪f2‬‬
‫‪f1‬‬
‫یافتن راه حلهاي موثر ( روشها)‬
‫𝑘‬
‫روش پارامتري (وزین)‬
‫‪max‬‬
‫)𝑋( 𝑗𝑓 𝑗𝜔‬
‫‪𝑗 =1‬‬
‫𝑆 ∈ 𝑋 ‪𝑠. 𝑡:‬‬
‫‪𝜔𝑗 = 1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪𝜔𝑗 ≥ 0,‬‬
‫‪C‬‬
‫‪L‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫در صورتیکه ناحیه جواب در فضاي اهداف محدب نباشد روش پارامتري ( وزین) نمي تواند تمامي راه‬
‫حل هاي موثر مساله را بیابد‪.‬‬
‫در مسانل ‪ MOLP‬ناحیه جواب محدب بوده لذا از این روش مي توان براي یافتن تمامي راه حل هاي‬
‫موثر استفاده کرد‪.‬‬
‫یافتن راه حلهاي موثر ( روشها)‬
‫روش مربوط به محدودیتهاي ‪ ( bL‬روش ‪ -ε‬محدودیت)‬
‫)𝑋( 𝑖𝑓 ‪max‬‬
‫𝑆 ∈ 𝑋 ‪𝑠. 𝑡:‬‬
‫𝑖≠𝑗‬
‫;‬
‫𝑘 ‪𝑗 = 1,2, … ,‬‬
‫𝑗𝐿𝑏 ≥ 𝑋 𝑗𝑓‬
‫;‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫*‬
‫∗‬
‫∗‬
‫‪o‬‬
‫∗‬
‫‪o‬‬
‫روشهاي حل مسائل ‪MOLP‬‬
‫‪ ‬روش پارامتري ( وزین)‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫ترکیب وزني مثبت اهداف را به عنوان تابع هدف درنظر‬
‫مي گیریم‪.‬‬
‫مساله تک هدفه حاصله را حل مي کنیم و به اولین راه حل‬
‫موثر مساله مي رسیم‪.‬‬
‫به کمک روشهاي تحلیل حساسیت‪ ،‬دامنه بهینه بودن راه‬
‫حل فعلي را مشخص مي کنیم‪.‬‬
‫با خروج از این دامنه راه حل موثر بعدي را مي یابیم‪.‬‬
‫مراحل فوق تا پوشش تمام فضاي اوزان تکرار مي شود‪.‬‬
‫مثال‪ :‬مساله برنامه ریزي خطي دوهدفه زیر را به روش پارامتري حل کنید‪:‬‬
‫‪Max f1=X1‬‬
‫‪Max f2=X2‬‬
‫‪s.t:‬‬
‫‪X1+2X2<=8‬‬
‫‪2X1+ X2<=8‬‬
‫‪X1,X2>=0‬‬
‫حل‪:‬‬
‫‪Max f1=X1+λX2‬‬
‫‪s.t:‬‬
‫‪X1+2X2<=8‬‬
‫‪2X1+ X2<=8‬‬
‫‪X1,X2>=0‬‬
‫• چنانچه ضریب تابع هدف دوم یک دوم باشد‪ ،‬مساله جواب بهینه چندگانه خواهد داشت‪ ،‬که یکي از‬
‫آنها جواب فعلي و دیگري راه حل موثر جدید است‪(x1=x2=2.66).‬‬
‫• جواب جدید به ازاي چه مقادیري از الندا بهینه باقي مي ماند؟)‪(0.5<λ<2‬‬
‫• براي مقادیر بزرگتر این ضریب راه حل موثر گوشه اي سوم حاصل مي شود‪(X1=0,X2=4) :‬‬
‫روشهاي حل مسائل ‪MOLP‬‬
‫یافتن پایه هاي موثر مجاور )‪ (ADBASE‬یا نقاط گوشه اي موثر مجاور‪:‬‬
‫• قدم اول‪ :‬تعیین یک راه حل گوشه اي ( براي مثال با استفاده از روش پارامتري)‬
‫• قدم دوم‪ :‬تعیین یک راه حل موثر گوشه اي ( اگر از روش پارامتري استفاده شود‪ ،‬راه حل قدم اول‬
‫موثر نیز خواهد بود‪).‬‬
‫• قدم سوم‪ :‬یافتن پایه هاي موثر مجاور یا جوابهاي گوشه اي موثر مجاور ( اگر مساله تباهیده نباشد‬
‫تعداد پایه هاي موثر مجاور و نقاط گوشه اي مجاور برابر خواهند بود)‬
‫• موثر بودن راه حل فعلي یا پایه مجاور بوسیله تست هاي ریاضي مشخص مي شود ‪:‬‬
‫𝑋 𝑛×𝑘𝐶 ‪max‬‬
‫𝑏 = 𝑋 𝑛× 𝑚𝐴 ‪𝑠. 𝑡:‬‬
‫‪X≥0‬‬
‫تست یکم‪ ( :‬موثر بودن یک پایه)‬
‫𝑝 ‪max: 𝑒 𝑡 .‬‬
‫‪𝑠. 𝑡: 𝑊 𝑦 + 𝐼𝑃 = 0‬‬
‫‪𝑦, 𝑝 ≥ 0‬‬
‫در مدل فوق‪ W ،‬ماتریس ( منفي) هزینه هاي کاهنده متغیرهاي غیر پایه اي در ‪ k‬هدف مساله‬
‫است‪ Y .‬بردار متغیرهاي غیر پایه اي ‪ I ،‬ماتریس هماني‪ e ،‬بردار واحد و ‪ P‬بردار متغیرهاي‬
‫کمکي محدودیتها مي باشد‪.‬‬
‫چنانچه مقدار بهینه تابع هدف فوق صفر باشد‪ .‬پایه مربوطه موثر خواهد بود‪.‬‬
‫‪max: f_1 (X)=0.4X1+0.3X2‬‬
‫‪max: f_2 (X)==X1‬‬
‫‪s.t: X1+X2≤400‬‬
‫‪2X1+X2≤500‬‬
‫‪X1,X2≥0‬‬
‫موثر بودن راه حل پایه اي زیر را بررسي کنید‪:‬‬
‫‪X2=300, X1=100‬‬
‫𝑝 ‪max: 𝑒 𝑡 .‬‬
‫‪𝑠. 𝑡: 𝑊 𝑦 + 𝐼𝑃 = 0‬‬
‫‪𝑦, 𝑝 ≥ 0‬‬
‫𝑝 ‪max: 𝑒 𝑡 .‬‬
‫‪0 𝑝1‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪1 𝑝2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.1 𝑦1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1 𝑦2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪𝑦, 𝑝 ≥ 0‬‬
‫با توجه به اینکه مقدار بهینه تابع هدف مساله فوق صفر است‪ ،‬راه حل فعلي موثر است‪.‬‬
‫تست دوم‪ ( :‬موثر بودن پایه مجاور حاصل از پایه اي کردن متغیر غیر پایه اي ‪)Xj‬‬
‫𝑝 ‪max: 𝑒 𝑡 .‬‬
‫‪𝑠. 𝑡: 𝑊 𝑦 − 𝑤𝑗 . 𝑣 + 𝐼𝑃 = 0‬‬
‫‪𝑦, 𝑝, 𝑣 ≥ 0‬‬
‫در مدل فوق‪ Wj ،‬ستون نظیر متغیر ‪ Xj‬در ماتریس ‪ W‬است‪ .‬و ‪ v‬یک متغیر جدید است‪.‬‬
‫مساله‪ :‬در مساله قبل‪ ،‬پایه اي کردن متغیر کمکي محدودیت دوم ما را به یک راه حل پایه اي جدید مي‬
‫رساند‪ ،‬موثر بودن آنرا بررسي کنید‪.‬‬
‫𝑝 ‪max: 𝑒 𝑡 .‬‬
‫‪0.2 0.1 𝑦1‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪1 0 𝑝1‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑣‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪−1 1 𝑦2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 1 𝑝2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑦, 𝑝, 𝑣 ≥ 0‬‬
‫با توجه به اینکه مقدار بهینه تابع هدف مساله فوق صفر نمي باشد‪ ،‬پایه مجاور موثر نیست‪.‬‬
‫تست سوم‪ ( :‬موثر بودن پایه هاي تباهیده)‬
‫𝑝 ‪max: 𝑒 𝑡 .‬‬
‫‪𝑠. 𝑡: 𝑊 𝑦 + 𝐼𝑃 = 0‬‬
‫‪(𝐵−1 . 𝑁)𝐷 . 𝑦 + 𝐼𝑉 = 0‬‬
‫‪𝑦, 𝑝, 𝑣 ≥ 0‬‬
‫به طوري كه ‪D‬نشان دهنده ردیف هاي تباهیده شده بوده و بردار ( ‪V‬متغیرهاي مجازي) نقش‬
‫متغیرهاي پایه اي موجود در ردیف هاي تباهیده را دارد ‪.‬‬