Transcript dm10
به نام خدا
تجزیه و تحلیل تصمیم گیری
فهرست مطالب
یادآوری
◦ برنامه ریزی آرمانی
◦ روش STEM
روشهای یافتن راه حلهای موثر مسائل MODM
روش پارامتری در حل مسائل MOLP
روش پایه های مجاور )(ADBASE
یادآوری ( برنامه ریزی آرمانی)
روشی معمول در تصمیم گیری چندهدفه است.
برای هر هدف مقدار آرمانی مشخص می شود.
مقدار انحراف از آرمان با توجه به اولویتهای تصمیم
گیرنده حداقل می شود.
) Min D j h j (d , d
j
s.t : g i ( x) 0,
l 1,...,k .
f l ( x) d l d l bl
x, d , d 0
l 1,...,k .
d l .d l 0
یادآوری
مثال :1فرض کنید آرمانهایی به ترتیب نزولی به صورت زیر باشند:
آرمان :1میزان انحراف 3x1+2x2از مقدار هدف 60حداقل شود ( مقدار کمتر و بیشتر هردو
نامطلوبند)
آرمان :2میزانی که 2x1+x2کمتر از مقدار هدف 44است حداقل شود.
آرمان :3میزانی که 7x1+3x2بیشتر از مقدرا هدف 84است حداقل شود.
مساله را به شکل یک مدل برنامه ریزی آرمانی مناسب فرموله کنید
روش STEM
* این روش برای حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفه کاربرد دارد:
}Max {C1t .x,...,Ckt .x
s.t :
Ax b
x0
* در حل این مساله ابتدا ماتریس بهره وری با بهینه سازی هر هدف بطور جداگانه بدست مي آید:
f k1
f ki
*
f k
f i1
f 21
*f i
f 2i
fi k
f 2k
* f1
i
f1
k
f1
روش STEM
سپس قدم هاي زیر متوالیا ً تا رسیدن به راه حل برتر مساله تکرار می شود:
قدم یکم -مساله LPزیر را در تکرار mام حل کنید:
Min :
j 1,...,k
s.t : ( f j* f j ( x)). j
m
xS
0
مجموعه محدودیت های اصلی مساله بعالوه
محدودیت هایی که در هر تکرار mبه مساله
اضافه می شود
STEM روش
j
j
i
i
f j* f jmin
.
*
fj
j min
*
f
f
j
j
.
min
fj
با توجه به ماتریس بهره وری
1
2
c
ij
f j* 0
i
1
2
c
ij
i
f j* 0
روش STEM
قدم دوم -مرحله تصمیم ،راه حل قدم یکم در اختیار تصمیم گیرنده قرار می گیرد DM .مقدار
بعضی از اهداف را در مقایسه با مقدار ایده آل آنها رضایت بخش تشخیص داده مقدار تعدیل هریک
از آنها را در جهت بهبود سایر اهداف مشخص می کند .ناحیه عملی مساله به صورت زیر تغییر می
کند:
j by DM
l j
Sm
m 1
S f j ( x) f j ( x m ) f j
m
f
(
x
)
f
(
x
)
l
l
ستون ،توابع رضایت بخش را از ماتریس بهره وری حذف می کنیم m=m+1 ،و به قدم یکم باز
می گردیم .این فرایند تکرار می شود تا تمام اهداف مورد رضایت DMقرار گیرد.
روش STEM
مقادیر تعدیل توابع هدف را می توان براساس تحلیل حساسیت مدل خطی بدست آورد.
مثال( :صفحه 123کتاب دکتر اصغرپور)
:
𝑚𝑎𝑥: 𝑓1 = 0/4𝑋1 + 0/3𝑋2
𝑚𝑎𝑥: 𝑓2 = 𝑋1
𝑠. 𝑡: 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 400
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 500
𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0
βj
-1
:
𝑓1
STEM
𝑓2
𝑋1
𝑋2
𝑓1
130*
100
100
300
𝑓2
100
250*
250
0
:
𝛼1 =
𝑓1∗ − 𝑓1𝑚𝑖𝑛
𝑓1∗
1
2
2
𝑐11
+ 𝑐12
=
130 − 100
130
=
250 − 100
250
1
0/42 + 0/32
= 0/4615
𝛼2 =
𝑓2∗ − 𝑓2𝑚𝑖𝑛
𝑓2∗
1
2
2
𝑐21
+ 𝑐22
= 0/6
𝛼1
= 0/4348
𝛼1 + 𝛼2
𝛼1
𝛽2 =
= 0/5652
𝛼1 + 𝛼2
𝛽1 =
1
12 + 0 2
𝛽𝑗
:
STEM
30
:
:
𝑚𝑖𝑛 𝛾
𝑠. 𝑡: 𝛾 ≥
𝛾 ≥
130 −
0.4𝑋1 + 0.3𝑋2
(0.4348)
250 − (𝑋1 ) (0/5652)
𝛾 ≥ 0
𝑋 ∈ 𝑆1
:
𝑋1 = 230,40
𝐹 1 = 𝑓11 , 𝑓21 = (104,230)
:
𝑆1
𝑆2 =
𝑓2 𝑋
= 𝑋1 ≥ 𝑓2 𝑋1
𝑓1 𝑋
≥ 𝑓1 𝑋1 104
− ∆𝑓2 = 230 − 30 = 200
0/4𝑋1 + 0/3𝑋2 ≥ 104
:
𝛽1 = 1
𝛽2 = 0
:
𝑚𝑖𝑛: 𝛾
𝑠. 𝑡: 𝑋 ∈ 𝑆 2
𝛾 ≥
𝑓1∗ − 𝑓1 (𝑋) 𝛽1 =
𝑋1 ≥ 200
130 − (0/4𝑋1 + 0/3𝑋2 ) (1)
𝛾 ≥ 0
:
𝛽2 𝛽1
راه حل موثر
• راه حل موثر راه حلي است که راه حل مسلط بر آن وجود ندارد .هیچ راه حلي وجود ندارد که در
تمامي اهداف بهتر یا معادل راه حل موثر باشد ( و دستکم در یک هدف کامالً برتر باشد.).
• با شروع از یک راه حل موثر امکان بهبود یک تابع هدف بدون کاهش یک یا چند هدف دیگر وجود
ندارد.
• نامهاي دیگر ( راه حل غیر مغلوب ،راه حل بهینه پارتو)
f2
f1
یافتن راه حلهاي موثر ( روشها)
𝑘
روش پارامتري (وزین)
max
)𝑋( 𝑗𝑓 𝑗𝜔
𝑗 =1
𝑆 ∈ 𝑋 𝑠. 𝑡:
𝜔𝑗 = 1
L
A
O
𝜔𝑗 ≥ 0,
C
L
B
A
O
در صورتیکه ناحیه جواب در فضاي اهداف محدب نباشد روش پارامتري ( وزین) نمي تواند تمامي راه
حل هاي موثر مساله را بیابد.
در مسانل MOLPناحیه جواب محدب بوده لذا از این روش مي توان براي یافتن تمامي راه حل هاي
موثر استفاده کرد.
یافتن راه حلهاي موثر ( روشها)
روش مربوط به محدودیتهاي ( bLروش -εمحدودیت)
)𝑋( 𝑖𝑓 max
𝑆 ∈ 𝑋 𝑠. 𝑡:
𝑖≠𝑗
;
𝑘 𝑗 = 1,2, … ,
𝑗𝐿𝑏 ≥ 𝑋 𝑗𝑓
;
F
F
*
∗
∗
o
∗
o
روشهاي حل مسائل MOLP
روش پارامتري ( وزین)
◦
◦
◦
◦
◦
ترکیب وزني مثبت اهداف را به عنوان تابع هدف درنظر
مي گیریم.
مساله تک هدفه حاصله را حل مي کنیم و به اولین راه حل
موثر مساله مي رسیم.
به کمک روشهاي تحلیل حساسیت ،دامنه بهینه بودن راه
حل فعلي را مشخص مي کنیم.
با خروج از این دامنه راه حل موثر بعدي را مي یابیم.
مراحل فوق تا پوشش تمام فضاي اوزان تکرار مي شود.
مثال :مساله برنامه ریزي خطي دوهدفه زیر را به روش پارامتري حل کنید:
Max f1=X1
Max f2=X2
s.t:
X1+2X2<=8
2X1+ X2<=8
X1,X2>=0
حل:
Max f1=X1+λX2
s.t:
X1+2X2<=8
2X1+ X2<=8
X1,X2>=0
• چنانچه ضریب تابع هدف دوم یک دوم باشد ،مساله جواب بهینه چندگانه خواهد داشت ،که یکي از
آنها جواب فعلي و دیگري راه حل موثر جدید است(x1=x2=2.66).
• جواب جدید به ازاي چه مقادیري از الندا بهینه باقي مي ماند؟)(0.5<λ<2
• براي مقادیر بزرگتر این ضریب راه حل موثر گوشه اي سوم حاصل مي شود(X1=0,X2=4) :
روشهاي حل مسائل MOLP
یافتن پایه هاي موثر مجاور ) (ADBASEیا نقاط گوشه اي موثر مجاور:
• قدم اول :تعیین یک راه حل گوشه اي ( براي مثال با استفاده از روش پارامتري)
• قدم دوم :تعیین یک راه حل موثر گوشه اي ( اگر از روش پارامتري استفاده شود ،راه حل قدم اول
موثر نیز خواهد بود).
• قدم سوم :یافتن پایه هاي موثر مجاور یا جوابهاي گوشه اي موثر مجاور ( اگر مساله تباهیده نباشد
تعداد پایه هاي موثر مجاور و نقاط گوشه اي مجاور برابر خواهند بود)
• موثر بودن راه حل فعلي یا پایه مجاور بوسیله تست هاي ریاضي مشخص مي شود :
𝑋 𝑛×𝑘𝐶 max
𝑏 = 𝑋 𝑛× 𝑚𝐴 𝑠. 𝑡:
X≥0
تست یکم ( :موثر بودن یک پایه)
𝑝 max: 𝑒 𝑡 .
𝑠. 𝑡: 𝑊 𝑦 + 𝐼𝑃 = 0
𝑦, 𝑝 ≥ 0
در مدل فوق W ،ماتریس ( منفي) هزینه هاي کاهنده متغیرهاي غیر پایه اي در kهدف مساله
است Y .بردار متغیرهاي غیر پایه اي I ،ماتریس هماني e ،بردار واحد و Pبردار متغیرهاي
کمکي محدودیتها مي باشد.
چنانچه مقدار بهینه تابع هدف فوق صفر باشد .پایه مربوطه موثر خواهد بود.
max: f_1 (X)=0.4X1+0.3X2
max: f_2 (X)==X1
s.t: X1+X2≤400
2X1+X2≤500
X1,X2≥0
موثر بودن راه حل پایه اي زیر را بررسي کنید:
X2=300, X1=100
𝑝 max: 𝑒 𝑡 .
𝑠. 𝑡: 𝑊 𝑦 + 𝐼𝑃 = 0
𝑦, 𝑝 ≥ 0
𝑝 max: 𝑒 𝑡 .
0 𝑝1
0
=
1 𝑝2
0
0.1 𝑦1
1
+
1 𝑦2
0
0.2
−1
𝑦, 𝑝 ≥ 0
با توجه به اینکه مقدار بهینه تابع هدف مساله فوق صفر است ،راه حل فعلي موثر است.
تست دوم ( :موثر بودن پایه مجاور حاصل از پایه اي کردن متغیر غیر پایه اي )Xj
𝑝 max: 𝑒 𝑡 .
𝑠. 𝑡: 𝑊 𝑦 − 𝑤𝑗 . 𝑣 + 𝐼𝑃 = 0
𝑦, 𝑝, 𝑣 ≥ 0
در مدل فوق Wj ،ستون نظیر متغیر Xjدر ماتریس Wاست .و vیک متغیر جدید است.
مساله :در مساله قبل ،پایه اي کردن متغیر کمکي محدودیت دوم ما را به یک راه حل پایه اي جدید مي
رساند ،موثر بودن آنرا بررسي کنید.
𝑝 max: 𝑒 𝑡 .
0.2 0.1 𝑦1
0.1
1 0 𝑝1
0
𝑣−
+
=
−1 1 𝑦2
1
0 1 𝑝2
0
𝑦, 𝑝, 𝑣 ≥ 0
با توجه به اینکه مقدار بهینه تابع هدف مساله فوق صفر نمي باشد ،پایه مجاور موثر نیست.
تست سوم ( :موثر بودن پایه هاي تباهیده)
𝑝 max: 𝑒 𝑡 .
𝑠. 𝑡: 𝑊 𝑦 + 𝐼𝑃 = 0
(𝐵−1 . 𝑁)𝐷 . 𝑦 + 𝐼𝑉 = 0
𝑦, 𝑝, 𝑣 ≥ 0
به طوري كه Dنشان دهنده ردیف هاي تباهیده شده بوده و بردار ( Vمتغیرهاي مجازي) نقش
متغیرهاي پایه اي موجود در ردیف هاي تباهیده را دارد .