Transcript Haqiqiy sonlar. Koordinatalar usuli.

Qarshi Muhandislik Iqtisodiyot instituti
"Oliy matematika" kafedrasi assistenti
Eshonqulov Javohir Sobirovichning
"Haqiqiy sonlar. Koordinatalar usuli."
mavzusidagi dars
Taqdimoti
1-слайд
1-ma‘ruza. Mavzu: Haqiqiy
sonlar. Koordinatalar usuli.
1-ma‘ruza. Mavzu: Haqiqiy sonlar. Koordinatalar usuli.
Reja:
1. Haqiqiy sonlar.
2. Haqiqiy sonlarning geometrik tasviri. To’g’ri chiziq nuqtalarining
koordinatalari.
3. Haqiqiy sonning absolyut(mutloq) qiymati.
4. To’g’ri chiziqning ikki nuqtasi orasidagi masofa.
5. Dekartning tekislikdagi koordinatalar sistemasi.
6. Tekislikning ikki nuqtasi orasidagi masofa.
7. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.
8. Fazodagi nuqtaning koordinatalari. Koordinatalar usuli.
9. Ikki o’q orasidagi burchak.
10. Qutb koordinatalar sistemasi.
11. Dekart va qutb koordinatalari orasidagi bog’lanish.
12. Koordinatalarni almashtirish.
Tayanch iboralar:
Natural son, butun son, ratsional
son, irratsional son, haqiqiy son, son
o’qi, masshtab, sonning absolyut
qiymati, Dekart sistemasi, nuqtaning
koordinatalari, koordinata sistemasi,
abssissa, ordinata, applikata, oktant,
qutb koordinatalari, koordinatalarni
almashtirish.
1.1. Haqiqiy sonlar.
Narsalarni, buyumlarni sanash zaruryati tufayli natural sonlar
to’plami ={1,2,3...} paydo bo’ladi. Bu to’plamga natural sonlarga
qarama-qarshi sonlarni hamda
nolni qo’shish (birlashtirish)
natijasida butun sonlar to’plami
Z={...,-n,...,-3,-2,-1,0,1,2,...,n,...}
yuzaga keldi. Keyinchalik ikkita butun sonlarning nisbati
ko’rinishida tasvirlanadigan ratsional sonlar to’plami Q={p/q}
(bunda p,qZ,) kiritildi. Har qanday р butun sonni ko’rinishda
tasvirlash mumkin bo’lganligi uchun butun sonlar ham ratsional
sonni tashkil etadi. Istalgan sonni ikkita butun sonlarning nisbati
ko’rinishda tasvirlash mumkinmi, degan savolga yo’q degan javob
olindi. Masalan, tomonlari bir birlikka teng kvadratning diagonali
uzunligi , shuningdek aylana uzunligining uning diametriga nisbati
() kabi sonlarni ikkita butun sonlarning nisbati ko’rinishida
tasvirlab bo’lmasligi isbotlandi. Ratsional bo’lmagan sonlar
irratsional sonlar deyiladi.
Har qanday ratsional son chekli yoki cheksiz davriy o’nli kasr
shaklida tasvirlanishini irratsional son esa cheksiz davriy
bo’lmagan o’nli kasr shaklida tasvirlanishni eslatib o’tamiz.
Masalan, 1/4=0,25 chekli o’nli kasr, 7/9=0,777...=0,(7) cheksiz
davriy kasr, =3,14159..., е=2,7182818284... cheksiz davriy
bo’lmagan o’nli kasrlardir.
Ratsional va irratsional sonlar to’plamlarining birlashmasi
haqiqiy sonlar to’plamini tashkil etadi va u R orqali belgilanadi.
• 1.2. Haqiqiy sonlarning geometrik tasviri. To’g’ri chiziq
nuqtalarining koordinatalari.
• Sonlar o’qi yoki o’q deb sanoq boshi-koordinatalar boshi,
musbat yo’nalish hamda uzunligi bir birlikka teng
sanaluvchi kesma-o’lchov birligi tanlangan to’g’ri chiziqqa
aytiladi.
• Yo’nalish chizmada strelka orqali belgilanadi. Agarda sonlar
o’qi
1-chizmada ko’rsatilganidek tanlansa, musbat
х haqiqiy songa sonlar o’qining sanoq boshi
•
1-chizma.
• 0 dan o’ngdagi undan х masofada bo’lgan nuqtasi, manfiy
songa 0 sanoq boshidan chapdagi undan –х masofada
bo’lgan nuqtasi mos keladi; 0 songa sonlar o’qining sanoq
boshi mos keladi. х haqiqiy son sonlar o’qida uni
tasvirlovchi M nuqtaning koordinatasi deb aytiladi va M(X)
ko’rinishda yoziladi.
•
2-chizma.
2-chizmada –5, -2.5, 1.5,  haqiqiy sonlarni sonlar
o’qida mos ravishda tasvirlovchi M1(-5), М2(-2.5),
М3(1.5) va М4(), nuqtalar ko’rsatilgan.
Shunday qilib, istalgan х haqiqiy songa
sonlar o’qining aniq bitta М nuqtasi va aksincha
sonlar o’qining istalgan М nuqtasiga bitta haqiqiy
son shu nuqtaning koordinatasi х mos kelar ekan.
Boshqacha aytganda haqiqiy sonlar to’plami
bilan sonlar o’qining nuqtalari orasida o’zaro bir
qiymatli moslik mavjud ekan.
Haqiqiy sonlar to’plamining muhim
xossalaridan biri uning tartiblanganligi, ya‘ni
istalgan ikkita o’zaro teng bo’lmagan X1 va X2
haqiqiy sonlar uchun X1 > X2 va X1 < X2
munosabatlardan faqatgina biri bajariladi xolos.
Agar sonlar o’qi 1-chizmada ko’rsatilganidek
ya‘ni gorizontal joylashtirilgan bo’lib yo’nalish
chapdan o’ngga tayinlangan bo’lsa, katta haqiqiy
sonni tasvirlovchi nuqta kichik haqiqiy sonni
tasvirlovchi nuqtadan o’ngda yotadi.
• 1.3. Haqiqiy sonning absolyut (mutloq) qiymati.
• 0 haqiqiy sonning absolyut qiymati (moduli) deb
shu sonning o’ziga, x<0 sonning absolyut qiymati
deb - x songa aytiladi. x haqiqiy sonning
absolyut qiymati x kabi yoziladi.
• Shunday qilib: x  x, agar х  0 bo' lsa,

 x, agar х  0 bo' lsa.
• Masalan, 8=8, 5=5, -5=5.
• Noldan farqli istalgan haqiqiy sonning moduli
musbat bo’lar ekan.
• Istalgan 0 uchun x va -x tengsizliklar
teng kuchliligini eslatib o’tamiz.
• Haqiqiy sonning absolyut qiymati quyidagi
xossalarga ega:
• 1. x1 + x2x1+x2.
• 2. x1 - x2x1-x2.
• 3. x1  x2  xn=x1x2xn.
• 4. х1
х1
х2

х2
• 1.4. To’g’ri chiziqning ikki nuqtasi
orasidagi masofa.
• Sonlar o’qining М1(x1) va М2(х2) nuqtalari
orasidagi masofa d ni topish uchun
formula chiqaramiz.
• Faraz qilaylik bo’lsin ( 3a -chizma)
•
3a -chizma.
• U holda ОМ1=х1, ОМ2=х2 bo’lib, d= ОМ2 –
ОМ1=х2-х1 bo’ladi. Shuningdek х2х1
bo’lganda (3б -chizma) d=х1-х2 bo’ladi.
• Shunday qilib har ikkala hol uchun ham
•
d=х2-х1
(1.1)
• formulaga ega bo’lamiz.
5-слайд
Dekart koordinatalar sistеmasi
:
y
x<0
y>0
x>0
y>0
o
x
x<0
y<0
x>0
y<0
OX - absissa o’qi,
OY - ordinata o’qi,
O - koordinata boshi,
OXY - koordinata
tеkisligi,
Mx - M nuqtaning
absissasi,
My - M nuqtaning
ordinatasi
6-слайд
Nuqtaning koordinatasi :
y
y0
.
0
x0
M(
x0 ,
y 0)
x
• 1.6. Tekislikning ikki nuqtasi orasidagi masofa.
•
0ху tekisligining berilgan М1(х1;у1) va М2(х2; у2) nuqtalari orasidagi
мasofani topish uchun formula chiqaramiz. М1М2 kesma
koordinata o’qlarining hech biriga parallel bo’lmasin(7-chizma).
•
7-chizma.
•
М1М2N uchburchak to’g’riburchakli bo’lganligi sababli Pifagor
teoremasiga binoan
d  (х 2 - х1 )  (у 2 - у1 )
2
2
• 1.7. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.
• М1М2 kesmani berilgan
  0 nisbatda bo’lish deganda
M 1M

MM 2
shu kesmada
munosabatni qanoatlantiruvchi
М(x;y) nuqtani topish tushuniladi.
• Izlanayotgan М nuqtani х va у koordinatalarini topish uchun
х1  х 2
х
,
1 
• formula foydalaniladi.
у1  у 2
у
,
1 
• 1.8. Fazodagi nuqtaning koordinatalari.
Koordinatalar usuli.
•
•
Fazodagi nuqtaning holati uchta son yordamida aniqlanishini
ko’rsatamiz.
Koordinata o’qlari 0х, 0у, 0z fazoda Dekartning to’g’ri burchakli
koordinatalar sistemasini tashkil etadi. М 0хуz fazoning ixtiyoriy
nuqtasi bo’lsin. Undan koordinata o’qlariga perpendikulyar uchta
tekislik o’tkazamiz. Tekisliklarning 0х, 0у va 0z o’qlar bilan
kesishish nuqtalari М1,М2 va М3 lar М nuqtaning mos o’qlardagi
proeksiyalari deyiladi (10-chizma). М1 nuqta 0х o’qda х
koordinataga, М2 nuqta 0у o’qda y koordinataga va М3 nuqta 0z
o’qda z koordinataga ega bo’lsin. х, у va z sonlar М nuqtaning
fazodagi to’g’ri burchakli (yoki dekart) koordinatalari deyiladi va
М(х,у,z) ko’rinishda yoziladi. Bunda х М nuqtaning abssissasi, у
ordinatasi, z esa applikatasi deyiladi.
1.9. Ikki o’q orasidagi burchak.
• Р tekislikda yotuvchi va 0 nuqtada kesishuvchi l1
va l2 o’qlarni qaraymiz.
• l1 bilan l2 o’qlar orasidagi burchak deganda l1
o’qni l2 bilan ustma-ust tushishi uchun l1 ni 0
nuqta atrofida soat milini yo’nalishiga teskari
yo’nalishda burilishi lozim bo’lgan burchakni
tushuniladi. l1 bilan l2 orasidagi burchakni (l1^l2)
kabi yoziladi. Ta‘rifga ko’ra (l1,^l2)(l2,^l1)
0≤(l1,^l2)≤ desak ikki o’q orasidagi burchak bir
qiymatli aniqlanadi (12-chizma).
•
1.10. Qutb koordinatalar sistemasi
• Tekislikda dekartning to’g’ri burchakli koordinatalar
sistemasidan keyin ko’p qo’llaniladigan koordinatalar
sistemalaridan biri qutb koordinatalar sistemasi bilan
tanishamiz.
•
13-chizma.
• Tekislikning 0 nuqtasini va undan chiquvchi l nurni
qaraymiz(13-chizma).
• Bu nurni qutb o’qi uning boshi 0 nuqtani qutb deb ataymiz.
М nuqta tekislikning qutbdan farqli ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin.
ОМ=r >0 masofani qutb radiusi, MOl= burchakni qutb
burchagi deb ataymiz, hamda 02 deb faraz qilamiz. r va
 lar М nuqtaning qutb koordinatalari deb ataladi va М(; r)
kabi yoziladi, qutb uchun r =0.
• 1.11. Dekart va qutb koordinatalari orasidagi bog’lanish.
x  r cos 

y  r sin  
r
x y
2
2
y
tg 
x
• 1.12. Koordinatalarni almashtirish.
• 1.Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish.
 х  х0  Х ,

 у  у0  У .
 х  Х  х0

 у  У  у0
• 2. Koordinata o’qlarini burish.
 x  X cos  Y sin  ,

 y  X sin   Y cos .
2-слайд
Фойдаланиладиган адабиётлар:
1. Соатов Ё.У Олий математика. Т., Ўқитувчи, 1995. 14 қисмлар.
2. Латипов Х.Р., Хаджиев Ш. Аналитик геометрия ва
чизиқли алгебра. Ташкент, “Ўзбекистон”. 1995.
3. Латипов Х.Р., Носиров Ф.У., Хаджиев Ш.А.
Аналитик геометрия ва чизиқли алгебрадан
масалалар ечиш бўйича қўлланма. Тошкент, Фан,
1999.