Transcript x - Saytga o`tish

MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI
QOSHIDAGI S.RAHIMOV NOMLI AKADEMIK LITSEYI
302 GURUH O’QUVCHISI XOLDAROVA GULJAHONNING MATEMATIKA
FANIDAN TAQDIMOT ISHI
MAVZU: LOGARIFM TEGLAMALAR
TEKSHIRDI: DOTSENT G’OZIEV SHUHRAT
Teorema.
Agar
log
a
x  log
a
b
bo’lsa, u holda x=b bo’ladi, bunda a>0, a1, x>0, b>0.
Shartga ko’ra
alogax=alogab
Asosiy logarifmik ayniyatga binoan bu tenglikning chap tarafi x ga, o’ng tarafi esa b ga teng
ekanini eslatib o’tish kifoya.
1-masala.
log5(3x-2)=log57 tenglamani yeching.
Isbotlangan teoremadan foydalanib, 3x-2=7 ni hosil qilamiz, bundan 3x=9, x=3.
2-masala. Quyidagi tenglamani eching:
log2(x+1)=log2(x+3)
x shunday sonki, unda (1) tenglik to’g’ri bo’ladi, ya’ni x (1) tenglamaning ildizi deb faraz qilaylik.
U holda logarifmning xossasiga ko’ra quyidagi tenglik bo’ladi:
log2(x+1)log2(x+3)=3
Bu tenglikdan logarifmning ta’rifiga ko’ra quyidagiga ega bo’lamiz
(x+1)(x+3)=8,
Bundan x2+4x+3=8 ya’ni x2+4x-5=8. Oxirgi tenglik x1=1 yoki x2=-5 ga teng bo’lganda to’g’ri.
Shunday qilib, xsonnu (1) tenglamaning ildizi deb faraz qilib, biz x yoki 1 ga, yoki -5 ga teng
bo’lishi mumkin ekanini ko’rdik.
Bu sonlar (1) tenglamaning ildizi bo’lish-bo’lmasligini tekshiramiz. Berilgan
tenglamaning chap qismiga x=1 ni qo’yib, log2(1+1)log2(1+3)=log22+log24=1+2=3
ni hosil qilamiz, ya’ni x=1 qiymat (1) tenglamaning ildizi.
X=-5 da x+1 va x+3 sonlar manfiy va shining uchun (1) tenglamaning chap gismi
ma’noga ega emas, ya’ni x=-5 berilgan tenglamaning ildizi emas.
Agar birinchi tenglamaning hamma ildizlari ikkinchi tenglamaning ildizlari
bo’lsa, u holda ikkinchi tenglama birinchi tenglamaning natijasi deyiladi
3-masala. Ushbu tenglamani eching:
lg( 2 x  4 x  12 )  lg( x  3 x )
2
2
lg(2x2-4x+12)=lgx+1lg(x+3)
Logarifmlar xossasiga ko’ra
Lg(2x2-4x+12)=lg(x2+3x)
Bundan
2x2+4x+12=x2+3x
x2-7x+12=0
X1=3, x2=4
Tekshirishlar x ning ikkala qiymati ham dastlabki tenglamaning ildizi ekanini
ko’rsatdi.
Javob. x1=3, x2=4
Ayni bir ildizlar to’plamiga ega bo’lgan tenglamalar teng kuchli tenglamalar
deb ataladi.
Ikkita teng kuchli tenglamadan istalgan biri ikkinchisining natijasi ekanini
ta’kidlaymiz.
Tenglamaning istalgan hadini uning bir qismidan ikkinchi qismiga ishorani qaramaqarshisiga almashtirib o’tkazish mumkin.
Umuman, teglamaning ikkala qismini noma’lum qatnashgan ifodaga bo’lishda ildiz
yo’qolishi mumkin. Shuning uchun ikkala qismi umumiy ko’paytuvchini o’z ichiga
olgan tenglamalar barcha hadlarini tenglamaning bir qismiga o’tkazish va
ko’paytuvchilarga ajratish bilan yechiladi.
2-misol. Log5(2x+3)=log5(x+1) tenglamani yechamiz
Bu tenglama x ning 2x+3>0 va x+1>0 tengsizliklar bajariladigan qiymatlaridagina
aniqlangan. Bu x lar uchun berilgan tenglama 2x+3=x+1 tenglamaga teng kuchli. Bunda
x=-2 ekanini topamiz. Ammo x=-2 soni x+1>0 tegsizlikni qanoatlantirmaydi. Binobarin,
berilgan tenglamaning ildizlari mavjud emas.
4-misol. Ushbu
log 1 ( 5  2 x )   2 (1)
tenglamani echamiz.
3
-2 soni log 9 ga teng. Shu sababali berilgan tengsizlikni
log 1 ( 5  2 x )  log 1 9 (2)
3
3
ko’rinishda yozish mumkin. log t funksiya t>0 da aniqlangan va R+ da kamayadi,
1
chunki <1. Binobarin, (2) tengsizlikni shunday x sonlar qanoatlantiradiki, ular
3
uchun
0<5-2x<9 shart bajariladi, bundan -2<x<2,5.
Shunday qilib berilgan yechimi (-2; 2,5) intervaldan iborat.
5-misol. log x-log x-3=0 tenglamani yeching.
2
5
5
Ikkinchi qo’shiluvchidan 5 asosga o’tamiz va t=log5 x o’zgaruvchini almashtirishni
bajaramiz, u holda
log x=
5
log
log
5
5
x
5

t
1
 2t
2
Endi berilgan tenglama t2-2t-3=0 ko’rinishda yoziladi. Bu kvadrat teglamanig ildizlari
3 va -1. log5x=3 va log5x=-1 almashtirish tenglamalarni yechib, x=53=125 va
x=5-1=0,2 ni topamiz.
Foydalanilgan adabiyotlar: 9-sinfi algebra darsligi