Transcript Document

Прямая на плоскости
Общее уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Угол между двумя прямыми
Расстояние от точки до прямой
Биссектриса углов между прямыми
Деление отрезка в заданном отношении
Общее уравнение прямой
Уравнение вида:
Ax  By  C  0
с произвольными коэффициентами А; В; С такими , что А и В не
равны нулю одновременно, называется общим уравнением
прямой.
М0(х0; у0 )
Теорема
Вектор
Если точка М0(х0; у0 ) принадлежит прямой, то
общее уравнение прямой превращается в
тождество: Ax0  By 0  C  0
Пусть задана прямая:
Ax  By  C  0
n  A; B будет ортогонален этой прямой.
Доказательство:
Пусть некоторая точка М0(х0; у0 ) принадлежит прямой:
Ax0  By 0  C  0
(2)
(1)
Общее уравнение прямой
Найдем разность уравнений (1) и (2):
 Ax  By  C  0


Ax0  By 0  C  0
Ax  x0   By  y 0   0 (3)
n
М (х; у )
М0(х0; у0 )
Пусть точки М0(х0; у0 ) и М (х; у ) лежат на данной прямой.
Рассмотрим векторы:
n  A; B и M0M  x  x0 ; y  y0 
Равенство (3) представляет собой скалярное произведение этих
векторов, которое равно нулю:
n  M0M  0

n  M0M
Таким образом, вектор n перпендикулярен прямой и называется
нормальным вектором прямой.
Равенство (3) также является общим уравнением прямой
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой называется полным, если все
коэффициенты А, В, и С отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.
Виды неполных уравнений:
1)
C  0;
Ax  By  0
2)
B  0;
Ax  C  0
3)
A  0;
By  C  0
4)
B  C  0;
Ax  0  x  0
5)
A  C  0;
By  0  y  0
y
0
х
Уравнение прямой в отрезках
Рассмотрим полное уравнение прямой:
Ax  By  C  0  Ax  By  C 
x
y
 C  C  1
A
B
C
C
Обозначим:
Получим:
a
b
A
B
Ax By

1
C C
x y
 1
a b
y
Уравнение в отрезках
Уравнение в отрезках
используется для построения
прямой, при этом a и b – отрезки,
которые отсекает прямая от осей
координат.
b
0
a
х
Каноническое уравнение прямой
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой,
называется направляющим вектором этой прямой.
Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную
точку М0(х0; у0 ) и параллельно заданному вектору q  l; m
 
Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на
прямой, только в том случае, если
векторы
q  l; m
и
M0 M  x  x0 ; y  y0 
q
М (х; у )
М0(х0; у0 )
коллинеарны.
По условию коллинеарности получаем:
x  x0
y  y0

l
m
Каноническое уравнение
прямой
Каноническое уравнение прямой
Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ) и М2(х2; у2 ).
q
М2(х2; у2 )
М1(х1; у1 )
Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом
уравнении можно взять вектор:
q  M1M2  x2  x1; y 2  y1
x  x1
y  y1

y 2m
 y1
x2 l x1
Уравнение прямой,
проходящей через две
заданные точки
Уравнение прямой с угловым
коэффициентом
Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий
вектор q  l; m , то угловой коэффициент k этой прямой
равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX.
y
 
mq
0
m
k  tg 
l

l

x  x0
y  y0

l
m
х

Уравнение прямой с
угловым коэффициентом
m
y  y0  k ( x  x0 )
l
y  y0  kx  kx0  y  kx  yb0  kx0

Уравнение прямой с
=b
угловым
коэффициентом
Пример
Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий
вектор: q  {1; 3}
Написать: каноническое, общее уравнение прямой, уравнение
прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом.
Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает
прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с
осью OX.
1. Каноническое уравнение:
2. Общее уравнение:
3x  y  5  0
x 1 y  2

1
3
N  {3;1}
x 1 y  2

1
3
 3 ( x  1)  ( y  2) 
Пример

3. Уравнение в отрезках: 3 x  y  5  0
3x y
 1
5 5

x y
 1
5
5
3
a
5
3
4. Уравнение с угловым коэффициентом:
3x  y  5
b5
3x  y  5  0
y  3 x  5
y
b
М
q
N
0
a
х


k  tg   3
Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
L2 :
A1x  B1y  C1  0
A2 x  B2 y  C2  0
L2
Угол между этими прямыми
определяется как угол между
нормальными векторами к этим прямым:
n1  A1;B1
n2
n1


n2  A2 ;B2 
n1  n2
cos  cos(n1; n2 ) 
n1  n2

A1  A2  B1  B2
A12  B12  A22  B22
A1  A2  B1  B2  0

L1  L2
A1 B1

A2 B2

L1 ll L2
L1
Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:
L1 :
L2 :
x  x1 y  y1

l1
m1
x  x2 y  y 2

l2
m2
L2
q2
Угол между этими прямыми определяется
как угол между направляющими векторами
q2  l 2 ;m2
к этим прямым: q1  l1;m1

cos  cos(q1; q2 ) 
l1  l 2  m1  m2  0
l1 m1

l 2 m2


q1  q2
q1  q2


q1


l1  l 2  m1  m2
l12  m12  l 22  m22

L1  L2

L1 ll L2
L1
Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами:
y
L
L1 :
y  k1x  b1
L2 :
y  k2 x  b2
2

  2  1
k1  tg1
k2  tg2
1
2
0
tg 2  tg1
k 2  k1
tg  tg ( 2  1 ) 

1  tg 2  tg1
1  k 2  k1
k1  k2  1
k1  k 2
 L1  L2
 L1 ll L2
х
L1
Расстояние от точки до прямой
Пусть необходимо найти расстояние от точки М0(х0; у0 ) до
прямой, заданной общим уравнением: Ax  By  C  0
М0(х0; у0 )
n
Пусть М1(х1; у1 ) – основание
перпендикуляра, опущенного из
точки М0 на прямую L.
d
М1(х1; у1 )
d  M1M0  x0  x1; y 0  y1
L
Найдем скалярное произведение векторов
n  A; B и M1M0
n  M1M0  n  M1M0  cos
0
или

n  M1M0   n  M1M0

cos  1
 n d
Найдем скалярное произведение в координатной форме:
n  M1M0  A( x0  x1 )  B(y0  y1 )  Ax0  Ax1  By 0  By1
Расстояние от точки до прямой
 Ax0  By 0  Ax1  By1 
Точка М1(х1; у1 ) принадлежит прямой L , следовательно:
Ax1  By1  C  0

Ax1  By 1  C
 n  M1M0  Ax0  By 0  C

 n  M1M0   n  d
Ax 0  By 0  C
d 
n

 n  d  Ax0  By 0  C
d
Ax 0  By 0  C
A2  B 2
Биссектриса углов между прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
A1x  B1y  C1  0
L2 :
A2 x  B2 y  C2  0
L2
M(x; y)
Если точка M(x; y) лежит на биссектрисе
угла между прямыми, то расстояние от
точки М до прямой L1 равна расстоянию до
прямой L2: d1  d 2
d1 
A1x  B1y  C1
A B
2
1
2
1
d2 
d2
A2 x  B2 y  C2
A22  B22
A1A
x1
y1y C
xB
1B
 1C1 AA2 2xxBB2 2yyCC2 2
 
2 2
2 2
22
22
A1A
B
A

B

B
A

B
1 1
22
22
1
d1
L1
Деление отрезка в заданном
отношении
Разделить отрезок М1М2 в заданном отношении λ > 0 значит найти
на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство:
M 1M
MM 2
  или M1M   MM2
M
M1
Пусть M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Найдем координаты точки М.
M1M    MM2
В координатной форме:
M1M  { x  x1; y  y1 }
x  x1    ( x2  x )
y  y1    ( y 2  y )
x  (1 )  x2  x1
y  (1 )  y 2  y1
MM2  {x2  x; y 2  y }


x  x2  x  x1
y  y 2  y  y1
x1  x 2
x
1 

y 1  y 2
y
1 
M2
Пример
Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13; 6)
Найти: Уравнения высоты, медианы и биссектрисы,
проведенных из вершины А.
1. Уравнение высоты:
x  10 y  13

(ВС):
13  10 6  13

x  10 y  13

3
7
А
  7x  70  3y  39  7x  3y  109  0
N  {7; 3}
(АН):
q  {7; 3}
3 x  7y  4  0
x 1 y 1

7
3

В
N q
Н
С
3 x  3  7y  7

Пример
В
2. Уравнение медианы:
т. М:  
BM
MC
xM 
x B  xC
2
yM 
y B  yC
2
1

А
10  13

 11.5 

2
  M (11.5; 9.5)
13  6


 9 .5 
2
x 1
y 1

11.5  1 9.5  1

8.5 x  10.5y  2  0
x 1 y 1

10.5 8.5

М
С
 8.5x  8.5  10.5y  10.5 
17 x  21y  4  0
Пример
В
4. Уравнение биссектрисы:
(АВ):
x 1 y 1

10  1 13  1

4 x  3y  1  0
x 1 y 1

(АС):
13  1 6  1
4  ( 3)
2
2
А
x 1 y 1

12
5


К
С
 5x  12y  7  0
5 x  5  12y  12


 12x  9y  3  0 
12x  12  9y  9
4 x  3y  1
x 1 y 1

9
12
5 x  12y  7
5  ( 12)
2
2

4 x  3y  1
5 x  12y  7

5
13
52x  39y  13  25x  60y  35

Пример
Для биссектрисы внутреннего угла треугольника должно
выполняться условие:
k AB  k AK  k AC
или
4 x  3y  1  0

5 x  12y  7  0

k AC  k AK  k AB
4
1
y  x

3
4
5
7
y  x

12
12
4
3
5

12
k AB 
k AC
27 x  21y  48  0 
9
16
9
y


x

9 x  7y  16  0 
k AK  
7
9
7
2) 52x  39y  13  (25 x  60y  35)  77 x  99y  22  0 
1) 52x  39y  13  25 x  60y  35
7 x  9y  2  0
7
2
y  x
9
9

k AK
7

9
5 7 4
 
12 9 3