Transcript Подготовка к ЕГЭ. Решение задач С

Подготовка к ЕГЭ.
Решение задач С – 2 методом
координат.
Угол между двумя прямыми.
Угол между прямой и плоскостью.
Уравнение прямой в пространстве
Направляющий вектор прямой b – любой ненулевой вектор
коллинеарный прямой.
М
.
M0
b
q
Пусть qq1; q2 ; q3  - направляющий
вектор, М0 (х0 ; у0; z0 ) - фиксированная
точка прямой b, М (х; у; z) –
произвольная точка прямой.
Используя условие коллинеарности векторов MM 0 и
записать уравнение прямой в следующем виде:
x  x0 y  y0 z  z0


q1
q2
q3
каноническое уравнение
прямой
q , можно
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
уравнение прямой, проходящей
через точки (х1; у1; z1 ) и (х2; у2; z2 )
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Угол между скрещивающимися прямыми
Косинус угла
по формуле:
 (0    90) между прямыми а и b определяется
cos  cos(a, b) 
( a, b)
, где a и b - направляющие векторы
коллинеарные прямым а и b.
ab
.
A1
a
B
.
b
a
C
.A
A1
.

a
180  
B1
b
b
.b
B
.A

.
.
B1
C
a
Если известны декартовы координаты векторов aa1; a2 ; a3 
и bb1 ; b2 ; b3  , то формула приобретает вид:
cos 
a1b1  a2b2  a3b3
a1  a2  a3  b1  b2  b3
2
2
2
2
2
2
Ненашева Н.Г. учитель математики
ГБОУ СОШ № 985
Уравнение плоскости в пространстве
Нормальный вектор плоскости – это любой ненулевой
вектор, перпендикулярный этой плоскости.


Пусть
- нормальный
n A; B; C
вектор плоскости
, М0 (х0; у0; z0 ) фиксированная точка плоскости.
М (х; у; z ) принадлежит плоскости в
том и только том случае, если
n

MM , n 0.
0
М

М0
Выражая скалярное произведение
векторов в координатах, получим
уравнение плоскости:
А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0 или
Ах + Ву + Сz + D = 0 – общее уравнение плоскости.
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Уравнение плоскости в пространстве
Пусть 1 и  2 - две плоскости, заданные уравнениями
А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2 z + D2 = 0. Тогда
A1 B1 C1
1. 1 //  2  n1 // n2 


;
A2 B2 C2
2. 1   2
(плоскости совпадают)
A1 B1 C1 D1




;
A2 B2 C2 D 2
3. 1   2  n1  n2  (n1 , n 2 )  0 

A1 A2  B1 B2  C1C2  0.
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Угол между прямой и плоскостью
Пусть в пространстве введена декартова система координат,
и плоскость  задана уравнением:
Ах + Ву + Сz + D = 0,
nA; B; C.
тогда вектор нормали плоскости
Пусть задан направляющий вектор прямой b:
b
b
n
В
В
90  
А1

qq1; q2 ; q3  .

С
А1
В1

А
А
Тогда синус угла
формулой:


С
90  
В1
n
между прямой и плоскостью определяется
sin   cos(n, q) 
(n, q)
nq

A  q1  B  q2  C  q3
A2  B 2  C 2  q1  q2  q3
2
2
2
.
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Уравнение плоскости
Задача 1. Написать уравнение плоскости
точки К (0; 1; 1), М (8; 2; - 1) и N (-5 ; 0; 2).
 , если ей принадлежат
Решение. Для нахождения уравнения плоскости  , проходящей
через точки К, М и N, подставим в уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 координаты указанных точек и получим
систему линейных уравнений:
 B  C  D  0,



8 A  2 B  C  D  0,



 5 A  2C  D  0
C  3 A,
 D   A,

 
 B  2 A,
 A  0.
Тогда уравнение плоскости
Ax – 2Ay + 3Az – A = 0
Ответ: x – 2y + 3z – 1 = 0.
или
 примет вид
x – 2y + 3z – 1 = 0.
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Уравнение плоскости
Задача 2. Написать уравнение плоскости  , проходящей
через точку Р ( - 1; 2; 1 ), если вектор её нормали n1;2;2 .
Решение. Уравнение плоскости с направляющим вектором
n1;2;2 имеет вид - х + 2у – 2z + D = 0.
Так как плоскость  проходит через точку Р, то координаты
точки удовлетворяют уравнению плоскости:
 (1)  2  2  2 1  D  0.
Следовательно, D = - 3, и уравнение плоскости
 имеет вид
- х + 2у – 2z – 3 = 0.
Ответ: х – 2у + 2z + 3 = 0.
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Угол между прямой и плоскостью
Задача 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1
(АВ = AD = 2, АА1 = 1). Найти угол между прямой АС1 и
плоскостью АВ1С.
Решение. Угол между прямой и плоскостью – это угол между
прямой и ее проекцией на плоскость; угол между нормалью к
плоскости и прямой дополняет его до 90°.
C1
z
D1
B1
Введем систему координат.
C (0;0;0), A(2;2;0) C1 0;0;1 B1 0;2;1
A1
Уравнение плоскости (АВ1С) и
координаты нормали к ней:

C
x  y  2 z  0 n1;1;2
B
у
D
A
х
Ответ:
6
arcsin
9






sin  AC1;  AB1C   cos AC1 ; n  







222
4  4 1  11 4

6
9
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Угол между прямой и плоскостью
Задача 4. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, боковые
ребра равны 2, а стороны основания – 1, найдите косинус угла между
прямой АС и плоскостью SAF.
Решение. Введём прямоугольную систему координат с
началом в точке О(0;0;0) – центре основания пирамиды.
1. Координаты точек:
z
 1
3  1 3 
A(1;0;0); С   ;
;0 ; F  ;
;0 ; S (0;0; 3 )
2  2 2 
 2
2. Координаты направляющего вектора:
 3
3 
AC ;
;0
2 
 2
3. Уравнение плоскости (SAF):
3x  y  z  3  0
4. Вектор нормали
имеет координаты:



n 3;1;1
x

2
sin ( AC; ( SAF)) | cos(AC; n ) |
5
1
5
cos( AC; ( SAF)) 

5
5
A
S
B
C
О
F
E
y
Ответ:
5
5
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
D
Угол между скрещивающимися прямыми
Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 AD = 2,
AB = 34 , AA1 = 2 15 . Найти угол между прямыми А1D и АC1.
Решение: введем систему координат, тогда
А (0;0; 2 15 ), D (2;0;0), A (0;0;0), C(2; 34;2 15) .
z
A1
Угол между прямыми АD и АС равен углу между
векторами A1 D и AC1 , если он острый, или
смежному с ним, если угол тупой.
B1

D1
C1
у
D
C


AC1 2; 34;2 15




cos A1 D; AC1   cos A1 D; AC1  






B
A
х

A1 D 2;0;2 15

4  0  60
4  60  4  34  60

1
2
Ответ: 45°
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Угол между скрещивающимися прямыми
Задача 6 . Найти угол между непересекающимися медианами
граней SBC и ABC правильного тетраэдра.
Решение. Введём прямоугольную систему координат.
Для определенности рассмотрим медиану SM грани SВС и
медиану BP грани АBC.
1. Координаты точек:
 3 1 
 3 1 2
А  0;0;0  , В  0;1;0  , С 
; ;0  , S 
; ;

2
2
6
2
3




 3 3 
 3 1 
М 
; ;0  , Р 
; ;0  .
 4 4 
 4 4 
2. Направляющие векторы прямых:


2
 3 1

 3 3 

SM  ; ; 
 , BP  ;  ;0  .
4 
3


 12 4

 4

3.
cos  SM , BP   cos ( SM , BP) 
( SM , BP)

3 3 1 3

  0
12 4 4 4
3
1 2
3 9
SM  BP
  
 0
1
1
144 16 3 16 16
cos   SM , BP   ,   SM , BP   arccos
61
6
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Ответ: arccos
6
Угол между прямой и плоскостью
Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все
рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АD и
плоскостью SDC.
Решение. Введём прямоугольную систему координат с началом в
точке О(0;0;0) – центре основания пирамиды.
2
2
2
2
;0;0), D(0;
;0), С (
,0;0), S (0;0;
),
1. Координаты точек: А(
2
2
2
2
2. Координаты направляющего вектора:
 2
2 
z
DA
;
;0.
 2
2

3. Уравнение плоскости (СDS):
2х  2 у  2z  1  0,
4. Вектор нормали имеет координаты:



n 2; 2; 2 .
sin ( DA; ( SDC)) 
О
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ
СОШ № 985
у
11
1 6

2
6
4
3
cos( DA; ( SDC))  1  
.
6
3
3
Ответ:
3
.
х
Угол между прямой и плоскостью
Задача 8. Все плоские углы тетраэдра АВСD при вершине D
прямые. Точки М и N – середины ребер АС и ВD. Найти угол
наклона прямой MN к плоскости АВС, если DA = 1, DB = DC = 2.
Решение. 1. Введем систему координат так, что D ( 0;0;0),
В (2;0;0), С (0;2;0), А (0;0;1).
Тогда М (0;1;0,5), N (1;0;0). MN1;1;0,5
z
Уравнение плоскости (АВС):
х + у + 2z – 2 = 0.
Координаты
нормали к плоскости (АВС):

A
M
n 1;1; 2
y
D
C
N


B
x
Ответ:



sin  MN ;  ABC  cos MN ; n 
111
6

9
1  1  0,25  1  1  4
6
arcsin
9
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
Угол между прямой и плоскостью
*
*
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
*
Угол между скрещивающимися прямыми
*
z
A1
D
B1
C1
y
A
B
x
C
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985
*
Угол между скрещивающимися прямыми
*
z
C
B
A
K
M
D
C1
B1
y
A1
x
D1
Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ № 985