Transcript Расстояния и углы в пространстве (презентация)

Задачи раздела С 2
Расстояния и углы в
пространстве
D1
А1
Елескина Н.Н.
МОУ «Лицей №1»
Киселёвск,
январь, 2011
C1
B1
1
C
D
1
А
B
1
Раздел 1. Угол между прямыми
Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью
Раздел 3. Угол между двумя плоскостями
Раздел 4. Расстояние от точки до прямой
Раздел 5. Расстояние от точки до плоскости
Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми
Методы решения задач

Поэтапно – вычислительный метод

Векторно-координатный метод

Метод объемов

Метод ключевых задач
Раздел 1
Угол между
прямыми
4
Задача 1
В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1и
ВС1.
Решение:
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между
параллельными им прямыми, проходящими через одну точку.
ОС1||АВ1, так как четырехугольник АВ1С1О является
параллелограммом.
Поэтому искомый угол - это угол
ОС1В. Из  ОС1В по теореме
косинусов, получаем, что
cosOC1 B 
2  2 1 3
  0,75
2 2 2 4
(Т.к. ОВ=1, ВС1=
2, ОС1= 2 )
Ответ: 0,75
5
Задача 2 В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между
прямыми AE и DE, где E и F – точки, расположенные на ребрах
CD и C1D1 так, что DE = 1/3 DC, C1F = 1/3 C1D1.
Решение:
Введём прямоугольную систему координат, как показано на
 1   2 
рисунке: А(0;0;0), D(1;0;0), E 1; ;0  , F 1; ;1 .
B1
 3   3 
z
F
A1
y
C1
D1
 1 
 2 
AE1; ;0 , DF0; ;1
 3 
 3 
B
C
cos 
AE DF
AE  DF

2
9
10 13

3
3

2
130

65
130
E
A
Ответ:
D
x
  arccos
130
65
6
Раздел 2
Угол между
прямой и
плоскостью
7
Задача 3 В кубе ABCDA B C D найдите угол
1 1 1 1
между прямой AA1 и плоскостью ВC1D.
z
Решение:
Введём прямоугольную систему
координат, как показано на рисунке и
примем ребро куба за 1.
C1(1;1;1)
D1
y
А1(0;0;1)
1 1 
ОС1  ; ;1
2 2 
В1
D
С

В(1;0;0)
Ответ:
2
2
АА10;0;1 ,
cos(АА1 , ( ВС1 D))  cos 
1 1
О( 2 ; 2 ;0)
А(0;0;0)
,
х
tg 
OC1  AA1
OC  AA1
1
2

3
3
1
2
1
1 
cos2 
3
1 
2
1
2

2
2

Раздел 1
Угол между
двумя
плоскостями
9
Ключевая задача:
Если
S – площадь фигуры Ф, расположенной в

плоскости
S
,
' - площадь проекции фигуры Ф на
плоскость
то справедлива формула
S
cos ( ,  ) 
S
,
Задача 4 В кубе ABCDA B C D найдите угол
1 1 1 1
между плоскостями AB1C и ABC.
Решение:
 - искомый угол.
S ABC  S AB C  cos , где
Пусть
C1
D1
B1
C
Примем ребро куба за 1.
1
S ABC
A1
D

1

2
АВ1С

2 

2
S AB1C
,
-
4
3
3

2
равносторонний.
Отсюда имеем:cos  1 : 3  1
B
2 2
A
Ответ: arccos 3
3
3
  arccos
3
3
Раздел 4
Расстояние
от точки до
прямой
12
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1
высота равна 2, сторона основания равна 1.
Найдите расстояние от точки B1 до прямой АС1 .
Задача 5
В1 Н 1
Искомое расстояние равно высоте
АВ1С1 , поскольку
равнобедренного
С1
М
В1
А1
С
2
АВ1  АС1 5
Дополнительно проведём высоту
и медиану АМ.
Н1
АМ  В1 А2  В1М 2  5 
А
В
1
Ответ:
95
10
1
19

4
2
1
1
B1C1  AM  AC 1  B1 H 1 ,
2
2
19
95
19
 5  B1H1 , B1H1  2 5  10
2
S B 1 AC1 
Раздел 5
Расстояние
от точки до
плоскости
14
В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 найдите
расстояние от точки С до плоскости ВDC1.
Решение:
Решим задачу методом объемов:
Искомое расстояние равно высоте CQ,
C1
опущенной в пирамиде BCDC1 из
вершины С на основание BDC1.
B1
1
1 1
1
V  S BCD  CC1   BC  CD  CC1 
C
3
3 2
6
Q
A1
С другой стороны,
Задача 6
D1
D
 
2
1
2  3
3
В V  1S

 CQ 
CQ
BC D  CQ 
3
3
4
6
3
1,
Получаем уравнение:
CQ 
1
А
Ответ:
3
3
3
CQ 
3
6
6
Раздел 6
Расстояние
между двумя
прямыми
16
Задача 7
В правильной 6-й призме A…F1,
ребра которой равны 1, найдите расстояние между
прямыми: AA1 и BC1.
Решение: О- центр описанной
окружности. ОВ=ОС=ВС=1
ОН АD, ОН  BC. ОН – высота
равнобедренного  ОВС.
ОН - искомое расстояние между
параллельными плоскостями
ADD1 и BCC1.
О
Н
Ответ:
3
2
3
ОН 
2
Задача 8
В единичном кубе A…D1 найдите
расстояние между прямыми AB1 и BC1.
Решение. Искомое расстояние
равно
расстоянию
между
параллельными плоскостями
AB1D1 и BDC1. Диагональ A1C
перпендикулярна
этим
плоскостям и делится в точках
пересечения на три равные
части.
Следовательно,
искомое
расстояние
равно
длине
3
отрезка EF и равно
3
Ответ:
3
.
3
.
18
Спасибо за внимание !
19
Задача
Основание прямой четырехугольной
призмы ABCDA1B1C1D1 -прямоугольник
ABCD, в котором АВ=12, АD= 31
Найдите косинус угла между плоскостью
основания призмы и плоскостью,
проходящей через середину ребра AD
перпендикулярно прямой BD1, если
расстояние между прямыми АС и B1D1
равно 5.
Ответ:
2
4