Transcript Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые в пространстве.
Две прямые в пространстве называются
перпендикулярными (взаимно перпендикулярными),
если угол между ними равен 900.
c a,
c a
a b,
a b
/
c
c
a
b
Лемма.
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая
перпендикулярна к этой прямой.
A
a
b
c
M
C
aIIb,
a c
D
№117.
В тетраэдре АВСD ВС АD.
Докажите, что АD  MN, где М и N
– середины ребер АВ и АС.
ВС  АD
BC II MN
N
А
M
B
C
 MN  AD
Определение. Прямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в этой плоскости.
a

a 
Построение прямых углов на местности с помощью
простейшего прибора,
который называется экер
Треножник
с
экером
В
Отвес Экера
перпендикулярен
плоскости земли.
А
1
О
Канат в спортивном зале
перпендикулярен
плоскости пола.
№119. Прямая ОА  OBC. Точка О является серединой
отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD.
По опр.
АD    AD  ОВ
A
O

С
D
В
№119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой
отрезка АD, ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
По опр.
АD    AD  ОВ, AD  ОС
A

O
С
D
В
№119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка
АD. ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
По опр.
АD    AD  ОВ, AD  ОС
A

O
С
D
В
№121. В треугольника АВС дано: С = 900, АС = 6 см, ВС = 8
см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК,
перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем
СК = 12 см. Найдите КМ.
По опр.
КС  ( АВС)  КС  СМ
К
А
12 см
6см
С
М
8 см
В
№121. Еще один эскиз к задаче
К
12 см
6см
А
С
8 см
М
В
№120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата,
a
сторона которого равна , проведена прямая ОК,
перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние
от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.
По опр.
К
В
КО  ( АВС)  КО  ОВ
b
С
O
А
a
a
D
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости.
a 
a
a1

Обратная теорема.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то
они параллельны.
a
a 
b 
b

a II b
Обратная теорема.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то
они параллельны.
a
b

M
a 
b 
a II b

c
b1
АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ –
перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона
треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до
вершин треугольника.
По опр.
МО  ( АВС)  МО  ОВ
М
1
В
А
3
O
С
Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость,
параллельная ВС, ВВ1 
и СС1  , СС1=4, АС1= 209
0
АВ1= 33, ВАС  60 . Найдите ВС.

В

С
4
В1

С1
33
А
209
ВВ1

СС1

Дано:
ОМ  (АВС)
Дано:
АВС –равносторонний
треугольник со стороной 6 3
О – точка пересечения
медиан. Найти расстояние
от точки М до вершин
треугольника.
ОМ  (АВС)
АВСD – квадрат со
стороной 4, О – точка
пересечения диагоналей.
Найти расстояние от точки
М до вершин квадрата.
М
М
1
2
А
В
В
4
С
4
O
6 3
6 3
С
O
А
4
4
D
№124. Прямая РQ параллельна плоскости . Через точки Р
и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости  ,
которые пересекают эту плоскость соответственно в точках
Р1 и Q1. Докажите, что РQ = P1Q1.
Р
Q
РР1

QQ1

PP1IIQQ1

P1
Q1
ABCD – параллелограмм. BE  (ABC),
Доказать: (АВЕ) II (СDF)
DF  (ABC)
Е
(АВС)
DF
(АВС)
ВЕ II DF
F
В
А
ВЕ
С
D
AB II DC
(ABЕ) II (CDF)
№125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости
, которые пересекают эту
плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Найдите Р1Q1.

15
Р
33,5
21,5

Q
P1
Q1
По опр.
РР1    РР1  Р1Q1 ,
РР1

QQ1

PP1IIQQ1