Transcript Document
p x1; y1; z1
p
а
q
q x2 ; y2 ; z2
b
cos a, b
-направляющие
вектора прямых
x1 x2 y1 y2 z1 z2
x y z
2
1
2
1
2
1
x2 y2 z2
2
2
2
№ 1. В правильной шестиугольной призме все
ребра равны 1. Найдите косинус угла между
прямыми АВ1 и ВF1
1 3
A ;
;0
z
2 2
1 3
B1 ;
;1
2 2
х
у
1 3
B ;
;0
2 2
F1 (- 1; 0;1)
AB1 1;0;1
3
3
BF1 ;
;1 -направляющие
2
2
вектора прямых
3
3
1 0
11
2
2
cos AB1 , BF1
1 0 1
2
Ответ:
2
8
2
2
2
3
3
2
1
2
2
2
2
8
№ 2. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между
прямыми PQ и EF, P – середина АА1, Q – середина С1D1 ,
Е – серединаz ВВ1, F – середина DC.
Q
Р (4; 0; 2)
Q (0; 2; 4)
P
F
E (4; 4; 2)
E
у
х
cos PQ, EF
1
Ответ:
3
F (0; 2; 0)
PQ 4;2;2
EF 4; 2; 2
4 4 2 2 2 2
1
2
2
2
2
2
2
3
4 2 2 4 2 2
№ 3. Ребро куба равно 3. Найдите угол между
1
1
прямыми AE и BF, если BE BC , C1 F C1 B1.
z
3
3
A (3; 0; 0)
Е (2; 3; 0)
F
AE 1;3;0
В (3; 3; 0)
E
cos AE, BF
х
AE, BF arccos
130
65
у
BF 2;0;3
F (1; 3; 3)
1 2 0 3 0 3
2
2
1
3
0
2
2
0
3
130
Ответ: arccos
65
2
2
2
130
65
№ 4. В правильной треугольной призме все ребра
равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и
z
С1
СB1.
1
В1
А1
С
А
х
В
A ;0;0
2
1
C1 ;0;1
2
1
C ;0;0
2
3
B1 0;
;1
2
у
AC1 1;0;1
1 3
CB1 ;
;1
2 2
1 3
CB1 ;
;1
2 2
AC1 1;0;1
3
1
1 0
1 1
2
2
cos AC1 , CB1
1
AC1 , CB1 arccos
1
Ответ: arccos
4
1
4
2
0 1
2
2
2
1 3
2
1
2
2
2
1
4
Углом между прямой и плоскостью называется угол
между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
α - угол между прямой и плоскостью
β
p
α
sin sin(90 ) cos
n
β – угол между прямой и
перпендикуляром
к плоскости
Чтобы найти синус угла между прямой
и плоскостью можно найти косинус угла
между прямой и перпендикуляром к
плоскости
ax by cz d 0
n a; b; c
уравнение плоскости
- вектор нормали к плоскости
p x1; y1; z1 - направляющий вектор прямой
n, p
sin
ax1 by1 cz1
a b c
2
2
2
x y z
2
1
2
1
2
1
№ 1 В единичном кубе найдите угол между
прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), где Е –
1
середина В1С1, BF BB1
3
A1 (1; 0; 1)
A (1; 0; 0)
z
E
1
F
1
х
у
1
Е (0,5; 1; 1)
B1 (1; 1; 1)
1
F 1;1;
3
p AB1
p 0;1;1
Запишем уравнение
плоскости (А1EF):
A1 (1; 0; 1)
Е (0,5; 1; 1)
1
F 1;1;
3
4
2
7
cx cy cz c 0
3
3
3
4
2
7
x yz 0
3
3
3
4 x 2 y 3z 7 0
ax by cz d 0
a c d 0
1
abcd 0
2
1
ab cd 0
3
- уравнение плоскости (А1EF).
4
a
c
3
2
b
c
3
7
d
c
3
4 x 2 y 3z 7 0
n 4; 2;3
p 0;1;1
- вектор нормали к плоскости
- направляющий вектор прямой
n, p
sin
4 0 2 1 3 1
4 2 3
2
5
arcsin
58
2
2
0 1 1
2
2
2
5
58
Ответ: arcsin 5
58
№ 2. В правильной шестиугольной призме все
ребра равны 1. Найдите синус угла между
прямой AВ1 и плоскостью (АСF1).
1 3 p AB
1
A ;
;0
z
2 2
1 3
B1 ;
;1
2 2
х
у
p 1;0;1
Запишем уравнение
плоскости (АСF1):
1 3
A ;
;0
2 2
C (1; 0;0)
ax by cz d 0
F1 (- 1; 0;1)
dx 3dy 2dz d 0
x 3 y 2 z 1 0
- уравнение плоскости (АСF1).
1
3
bd 0
a
2
2
a d 0
a c d 0
a d
b 3d
c 2d
x 3 y 2 z 1 0
n 1; 3; 2
p 1;0;1
- вектор нормали к плоскости
- направляющий вектор прямой
n, p
1 1 3 0 2 1
sin
2
1 3 2
2
2
1 0 1
2
2
Ответ: 3
4
2
3
4
№ 3. В правильной четырехугольной пирамиде
ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите
угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и
плоскостью (АDS).
B 2;2;0
z
p BE
E 1;1;3
E
p 3; 1;3
y
х
Запишем уравнение
плоскости (АSD):
A 2; 2;0
D 2; 2;0
ax by cz d 0
S 0;0;6
1
1
0dx dy dz d 0
2
6
0x 3 y z 6 0
- уравнение плоскости (АSD).
2a 2b d 0
2a 2b d 0
6c d 0
a 0
1
b d
2
1
c d
6
0x 3 y z 6 0
n 0;3; 1 - вектор нормали к плоскости
p 3; 1;3
- направляющий вектор прямой
n, p
sin
3 0 3 1 3 1
0 3 1
2
6
arcsin
190
2
2
3 1
Ответ:
2
2
3
6
arcsin
190
2
6
190
Угол между плоскостями равен углу между
перпендикулярами к этим плоскостям.
a1 x b1 y c1 z d1 0 уравнение плоскости
a2 x b2 y c2 z d2 0 уравнение плоскости
ma1 ; b1 ; c1
n
na2 ; b2 ; c2
cos m;n
m
a1a2 b1b2 c1c2
a b c
2
1
2
1
2
1
a b c
2
2
2
2
2
2
Например:
2 x 3 y 6 z 5 0 уравнение плоскости
4 x 4 y 2 z 7 0 уравнение плоскости
m 2;3;6
n 4; 4; 2
cos m;n
4 2 3 4 6 2
2 3 6
2
2
2
4 4 2
2
2
2
16
21
A (1; 0; 0) D1 (0; 0; 1)
C (0; 1; 0)
z
D (0; 0; 0) C1 (0; 1; 1)
B (1; 1; 0)
у
х
Запишем уравнения
плоскостей (АСD1) и
(BDC1):
ax by cz d 0
a d 0
b d 0
c d 0
a d
b d
c d
dx dy dz d 0
d 0
a b d 0
b c d 0
d 0
a b
c b
bx by bz 0
A (1; 0; 0)
C (0; 1; 0)
D1 (0; 0; 1)
D (0; 0; 0)
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
cos m;n
x y z 1 0
m 1;1;1 ACD1
x yz 0
n 1; 1;1 DBC1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
m; n arccos
2
1
3
2
2
2
2
Ответ: arccos
2
1
3
1
3
z
С1
В1
А1
С
А
х
В
3
1
; 0
A ;0;0 B 0;
2
2
1
C1 ;0;1
2
3
1
B1 0;
;1
A1 ;0;1
2
2
1
C ;0;0
2
Запишем уравнения
плоскостей (АBС1) и
у (A1B1C):
1
A ;0;0
2
3
B 0;
; 0
2
1
C1 ;0;1
2
1
A1 ;0;1
2
3
B1 0;
;1
2
1
C ;0;0
2
ax by cz d 0
1
2 a d 0
3
bd 0
2
1
2 a c d 0
1
2 a c d 0
3
bcd 0
2
1
2 a d 0
a 2 d
2
d
b
3
c 2d
2
dy 2dz d 0
3
2
2x
y 2z 1 0
3
2dx
2
m 2;
; 2 ABC1
3
a 2d
2
d
b
3
c 2d
2
2dx
dy 2dz d 0
3
2
2x
y 2z 1 0
3
2
n 2;
; 2 A1 B1C
3
2
n 2;
; 2
3
2
m 2;
; 2
3
cos m;n
2 2
22
22
3 3
2
1
2
2
7
2
2
2
2
2
22
2
2
3
3
1
m; n arccos
7
Ответ: arccos
1
7
z
1 3
B ;
;0
2 2
1 3
A1 ;
; 2
2 2
1 3
A ;
;0
2 2
1
3
E ;
;0
2
2
C (1; 0;0)
х
у
Запишем уравнения
плоскостей (А1BC) и
(AA1E):
ax by cz d 0
1 3
B ;
;0
2 2
1 3
A1 ;
; 2
2 2
C (1; 0;0)
1
3
bd 0
a
2
2
1
3
a
b 2c d 0
2
2
a d 0
1
1
dx
dy dz d 0
2
3
1
1
x
y z 1 0
2
3
a d
1
b
d
3
1
c
d
2
1 1
m 1;
; A1 BC
3 2
1
A ;
2
1
A1 ;
2
3
;0
2
3
; 2
2
1
3
E ;
;0
2
2
ax by cz d 0
1
a
2
1
a
2
1
a
2
3
bd 0
2
3
b 2c d 0
2
3
bd 0
2
2dx 0 y 0 z d 0
2x 0 y 0 z 1 0
n 2; 0; 0 A1 AE
a 2d
b 0
c 0
1 1
m 1;
;
3 2
cos m;n
n 2;0;0
1
1
1 2
0 0
2
3
2
2
1 1
2
2
2
12
2
0
0
3 2
12
19
12
m; n arccos
19
12
Ответ: arccos
19