Transcript Kal 3 MODUL 1

INTEGRAL LIPAT TIGA
g ( x)
b

•
•
•
Bentuk Umum :

G ( x, y )
 F ( x, y, z ).dz.dy.dx
x  a y  f ( x ) z U ( x , y )
•
Cara Menyelesaian Integral Lipat Tiga:
Diselesaikan dari dalam sebagai berikut :
Integralkan terhadap z dengan menganggap variable x dan y sebagai
konstanta dan diisikan batas dari z
Integralkan terhadap y dengan menganggap variable y sebagai
konstanta dan diisikan batas daru y
Integralkan terhadap x dan diisikan batas dari x.
•
•
Contoh soal :
Hitung integral lipat tiga berikut :
•
1.
1 3 2
 4 x  3 y.dz.dy.dx
0 10 0
=  (4 xz  3 yz) 2z  0 .dy.dx =  8 x  6 y  0.dy.dx
= (8 xy  3 y 2 )3y  0 .dx =

0
1 3
1 3
0 0
1
0 0
 24 x  27  0dx = 12 x
2
0
= 12 (1)2 + 27 (1) = 39
1
+ 27 x ]x  0
Contoh 2: Hitung Integral lipat tiga :
1 1 1
x
 xyz.e
2
y z
2
=
.dz.dy.dx
1 1 1
 xyz.e
x2
2
2
.e y .e z .dz.dy.dx
0 0 0
0 0 0
1
=1
1
x2 1
xy.e .e ( (e  1))dy.dx
(e  1)  xe ( (e  1)) dx

2
2
2
0
0 0
=1
=1
=1
1
1
1
1
(e  1) (e  1) xe x 2 dx
(e  1) (e  1)
(e  1)
(e  1) 3

2
2
2
2
2
8
0
1
z2
U dU
Catatan Misal U = x2 jadi :  z.e dz   z.e 2 z
0
dU = 2x dx
dU
dx=
  eU
dU
2
1
1
1
1
U
2x
e  e z ]1z  0  e1  e0
2
2
2
2
=1 1
•
2
x2
y2
2
1
 (e  1)
Menentukan Batas Integral Lipat Tiga:
2
• Misalkan diketahui Integral Lipat tiga :
• Sedangkan V adalah benda padat sebagai batas integral lipat tiga
seperti gambar berikut:
Gambar sbb:
•
Maka batas Integral lipat tiga dapat ditentukan sebagai berikut:
•  ( F ( x, y, z )dz.dy.dx =
V
b
•
=
g ( x)
 
g ( x, y )
  F ( x, y, z ).dz.dy.dx
R z  f ( x. y )
g ( x, y )
 F ( x, y, z )dz.dy.dx
x  a y  f ( x) z  f ( x, y )
•
Contoh :
dz , dy.dx
Tentukan batas integral Lipat tiga 
V
Jika V adalah paraboloida z = x2 + y2 dipotong oleh z = 8 – x2 – y2
Jawab :
•
Perpotongan kedua kurve berbentuk lingkaran dengan jari-jari=2:
z  x 2  y 2 dipotong.z  8  x 2  y 2
x2  y2  8  x2  y 2
2x2  2 y 2  8
x2  y2  4
•
2
Sehingga batas integral lipat tiga :

4 x 2

8 x 2  y 2
 dz.dy.dx
x  2 y   4  x 2 z  x 2  y 2