Transcript Document

Выполнил работу Мирошниченко Вячеслав
ученик 10 класса МБОУСОШ №1 х. Маяк
Изучить определения и свойства
вневписанной окружности.
 Исследовать приёмы решения задач на
вневписанную окружность.
 Составить сборник задач на вневписанную
окружность.

Соотношения сторон треугольника и радиуса вписанной окружности
№п/п
Вид треугольника
1.
Произвольный
2.
Остроугольный или тупоугольный
3.
Прямоугольный
4.
Равносторонний
Информация
Центр окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника (внутри
треугольника).
R =
S
p (p-
R=
abc
 pc
2
R=
а
2 3
полупериметр треугольника).
(p-полупериметр треугольника, a, b - катеты, с - гипотенуза).
.
Соотношения сторон треугольника и радиуса описанной окружности
№п/п
Вид треугольника
Информация
1.
Произвольный
Центр окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника:
- в остроугольном - внутри треугольника;
-в прямоугольном - в середине гипотенузы;
- в тупоугольном – вне треугольника.
2.
Произвольный
3.
Прямоугольный
4.
Равносторонний
a
R= с
2
R= а
3
5.
Равносторонний
b
c
abc
R= 4 S ; sin A  sin B  sin C  2 R .
R=R
2
(с – гипотенуза).
В
С
А
О
В
А
М
К
С
N
О





Каждый из отрезков касательных, проведённых из вершины треугольника,
противоположной стороне касания вневписанной окружности, равен полупериметру
треугольника.
Длины сторон треугольника и радиусы вписанной и вневписанной окружностей
связаны соотношением
Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен
отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны :
S
S
S
ra= p  a , rb= p  b , rc= p  c.
Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной
окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R
Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине,
1
1
1
1
обратной радиусу вписанной окружности:
ra


rb

rc

r
Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна
квадрату полупериметра треугольника: rarb+rbrc+rcra=p2
Таблица2
№п/п
Вид треугольника
1.
Произвольный
2.
Произвольный
Информация
Центр вневписанной окружности лежит в точке пересечения
биссектрис внешних углов при стороне касания и биссектрисы
внутреннего угла, противоположного стороне касания.
; ra =
S
pa
;
rb=
S
r=
p b , c
ra + rb + rc = r + 4R ; rarb+rbrc+rcra=p2
1
1
1
1



ra
rb
rc
r
3.
Прямоугольный
r = p (p- полупериметр)
4.
Равносторонний
r = h ( h- высота треугольника)
S
pc
Дано: ∆АВС
Вневписанная окр. (Оа; ra )
Доказать, что
АВ1 = АС1 = p
В1
В
Оа.
А1
Доказательство:
α/2
α/2
Т.к. Оа - центр вневписанной
окружности. Касательные, прове денные к окружности из
одной точки, равны между собой,
поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.
Значит,
2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1
т.е. АВ1 = АС1 = p.
Дано:
Треугольник АВС,
<А=300,
R-радиус окр.
В
О2
О1
О1О2-?
А
Н
С
M
Решение:
Пусть О1 и О2 – центры данных окружностей (R – радиус первой). По свойству
вневписанной окружности, центр вневписанной окружности лежит на пересечении
биссектрис внешних углов, поэтому МСО2=<О2СВ, аналогично АСО1=О1СВ =>
треугольник О1СО2 – прямоугольный.
Так как АО1 биссектриса, то <О1АС=150. Из ∆АО1H ,
<АО1Н= 900-150= 750.
Из ∆О1НС <НО1С= 900:2=450, <О2О1С=1800-(450+750)=600.
Следовательно,
О1О2С=750-450=300.
Из ∆ О2О1С, катет О1С лежит против угла в 300, значит О1О2=2О1С=2R.
Ответ: 2R
Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника 7 и 17. Найти расстояние между их центрами.
Случай1
одна из окружностей касается гипотенузы, а другая –катета.
Дано:
Треугольник АВС- прямоугольный
<В=900.
Вневписанные окружности
(О1;r) и (О2;R)
, где r-7см, R-17
Найти: О1О2
Решение:
О2
А
О1
М
К
В
С
МС=ВМ+ВС=7+17=24. О1К=МС=24, О2К= 17-7=10. Из прямоугольного
∆О1КО2 по теореме Пифагора: О1О2=
см
Доказать что, если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то треугольник будет
прямоугольным.
Дано:
Доказать:
треугольник прямоугольн
Доказательство:
L
O
A
K
C
B
M
Пусть вневписанная окружность (с центром О) треугольника АВС касается стороны АВ в точке К, а продолжений
сторон СА и СВ – в точках L и M соответственно. Обозначим через р полупериметр треугольника.
Тогда P=АВ+ВС+АС=(АК+КВ)+ВС+АС=(АL+ВM)+ВС+АС=(АL+АС)+(ВM+ВС)=
=СL+СM. Итак,СL+СМ=Р и ОL+ОМ= Р четырёхугольник ОLСМ–ромб, а т.к.ОL СL, то это квадрат.
Следовательно,<АСВ=900. Что и требовалось доказать.
Дано:
Точка О – центр вписанной окружности треугольника АВС,
а точка О1 – центр окружности, касающейся стороны ВС
и продолжений сторон АВ и АС.
Найдите расстояние между точками О и О1, если радиус
описанной окружности треугольника АВС = 6, а sin<
ВОС =