Transcript Презентация

Задачи В4
В треугольнике ABC угол C равен 90º , AB=10 ,
АС=8 . Найдите sin A.
B
противолежкатет
sin A 
гипотенуза
6
С
BC  102  8 2 
100 64  36  6
10
8
А
6
sin A 
 0 ,6
10
В треугольнике ABC угол C равен 90º , AC=10 ,
Высота СH=6. Найдите tg A.
В
Н
6
8
А
противолежкатет
tgA 
прилеж катет
С
10
AH  102  6 2 
100 36  64  8
6
tgA   0 ,75
8
В
В треугольнике ABC угол C равен 90º , sin A=3/20 ,
АС=√391 Найдите BC.
20 x
3x
3
BC 3 x
sin A  

; BC  3 x ; AB  20 x
20
AB 20 x
А
С
Тогда по Т Пифагора
AC  AB  BC  400x  9 x  391x
AC  391 (по условию)
AC  391x  391 Отсюда х=1
2
2
2
2
BC  3 x  3  1  3
Выгодно узнать и длину, и выражение через х одного и
того же отрезк а;это поможет узнать величину х.
В тупоугольном ∆АВС АВ=ВС, высота СН=4. Найдите
• синус внешнего угла при вершине А.
sinά=sin(180-A) =sin A=0,8
С
•косинус внешнего угла при вершине А.
5
4
Н
В
cosά=cos(180-A) =-cos A= -0,6
ά
А
•тангенс внешнего угла при вершине А.
tgά=tg(180-A) = - tg A= - 4/3
Вывод:если ά+β=180º, то sin ά = sin β, cos ά = - cos β,
tg ά = - tg β
•В параллелограмме АВСD высота, опущенная
на сторону АВ, равна 20, АD=25.Найдите синус
угла В.
D
25
А
А
20
В
Н
А +
С
В=180º
Значит, sinB =sinA=20/25=4/5=0,8
3
Н
4
А
В
5
С
Найдите tg A
Найдите соs A
Найдите sin A
HC=4
tgA=tg(90-B)= =ctg B =3/4=0,75
cosA=cos(90-B) =sin B =4/5=0,8
sinA=sin(90-B) =cos B =3/5=0,6
Вывод: если ά+β=90º, то sin ά=cos β, cos ά =sin β,
tg ά =ctg β
В треугольнике ABC угол C равен 90º, СH-высота ,
cos A=0,8 ,BC=6. Найдите CH..
В
Н
А
8x
Выгоднее знать одну из
тригонометрических функций
6 10x угла В:соs A=sin B=0,8 .
С
8
CH 8 x
sin В  

;
10
BC 10 x
CH  8 x ; BC  10 x
ВC  10 x  6
CH  8 x  8  0 ,6  4 ,8
Отсюда х =0,6
С
Найдите Sin В
Н
4
А
5
Sin B=sin A (т.к. A= B)
В
Sin B=sin A=4/5=0,8
С
5x
5
Sin C=0,6. Найдите АН.
Sin C=sin A=0,6=6/10=3/5
3x
Н
В
А
3
sin A  
5
CH 3 x
 ;
AC 5 x
CH  3 x ; AC  5 x
AC  5 x  5 , x  1
AH  25x  9 x  4 x
2
2
AH  4 x  4  1  4
Отрезки касательных к окружности, проведённые
из одной точки, равны и составляют равные углы
с прямой, проходящей через эту точку и центр
окружности.
AB,AC- касательныe,тогда
AB=AC, BAO= CAO
B
O
C
A
B4 (№ 54689) К окружности, вписанной в
треугольник ABC, проведены три касательные.
Периметры отсеченных треугольников равны 8,
29, 53. Найдите периметр данного треугольника.
M
N
NC+CM=8
NA+AP=29,
PB+BM=53.
PABC=8+29+53=90
P
Решите задачи 54309,54159
B4 (№ 54309) Окружность, вписанная в
равнобедренный треугольник, делит в точке касания
одну из боковых сторон на два отрезка, длины
которых равны 21 и 2, считая от вершины,
противолежащей основанию. Найдите периметр
треугольника
21
Р=(2+21)·2+(2+2)=50
2
(№ 54159) Радиус окружности,
вписанной в равнобедренный
прямоугольный треугольник,
равен 22. Найдите гипотенузу c
этого треугольника. В ответе 2
укажите
х
22
22  х 
2
 ( 2х )
2
Теорема
В четырёхугольник можно вписать окружность
тогда и только тогда, когда суммы
противоположных сторон равны.
M
A
B
AD+BC=
N
P
D
AB+DC=
K
C
B4 (№ 54599) В четырехугольник ABCD вписана окружность,
АВ=6, ВС=2, СД=14. Найдите четвёртую сторону.
A
B
D
C
AB+CD=AD+DC=
6+14=AD+2
AD=20-2=18
Решите задачи 54639,54359,54529,54429
№ 54639
54359
14х
M
9х
1х
1х+14х=9х+…
Р=30х=150, х=5
14х=14·5=70
3
54429
N
21
AD+BC=P:2=
МN=(DC+AB):2= 100:2=50
(AD+BC):2=
AD=50-31=19
(3+21):2=12
R=19:2=9,5
54529
M
N
МN=(DC+AB):2=
(P:2):2=172:2:2=
=86:2=43
Теорема
Центральный угол равен дуге,на которую опирается,
вписанный угол равен половине дуги, на которую
опирается.
F
O
O=˘AB
B
F=˘AB:2
Решите задачу:
A
Центральный угол на
28ºбольше острого
вписанного угла,
опирающегося на ту же дугу
окружности. Найдите
центральный угол. Ответ
дайте в градусах.
С=х, тогда O=2х
Разница 28º, т.е.
2х-х=28
Центральный угол 56º
Теорема
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая с
вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
C
B
OC=AB:2=AO=OB
O
OC=AB:2=AO=OB=R
(Заметим:AOC-равнобедренный)
A
Решите задачу:
Острые углы прямоугольного
треугольника24º и 66º.
Найдите угол между медианой
и высотой, проведенными с
вершины прямого угла.
C
66
24
M H
MCH=90-(24+24)=42
Теорема
Около четырёхугольника можно описать окружность
тогда и только тогда, когда суммы противоположных
углов равны
равны.180º.
А+ С= В+ D
В+ D=360º:2=180º
№ 54009.
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника
равны 22ºи 45º.Найдите больший из оставшихся
углов.
22+у=180
У=158º
Теорема
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
a
B
c
A
C
b
Сторона AB треугольника ABC
равна 26. Противолежащий ей
угол C равен 150º.Найдите
радиус окружности, описанной
около этого треугольника.
26
 2R
sin 150
.
26·2=2R
R=26