Transcript в виде презентации

Некоторые именные теоремы
о треугольниках
Борд Лиза 10М
Учитель: Муравьёва Анна Петровна
Теорема Чевы

Три чевианы
AA1,BB1,CC1
треугольника проходят
через одну точку тогда
и только тогда, когда
Теорема Менелая

Если точки A1,B1 и C1
лежат соответственно
на прямых BC,CA и AB
треугольника или на их
продолжениях, то они
лежат на одной прямой,
тогда и только тогда,
когда
AC 1 BA 1 CB 1


1
C 1 B A1C B1 A
A
C
B
1
1
A
1
B
C
Задача №1

Доказать, что отрезки, соединяющие
вершины тетраэдра с центроидами
противоположных граней,
пересекаются в одной точке и делятся
ей в отношении 3:1, считая от вершин.
Задача №1

Для ∆A1DD2 и прямой
AA2 по теореме
Менелая: A A  DO  D A  1
1
2
2
A 2 D OD 2
AA 1
Так как A2 – центроид
A A
1

BCD, то A D 2
 Так как D2 – центроид
ABC, то DAAA  23
 Поэтому DO  3

1
2
2
2
1
OD 2
1
Задача №1
Проведём теперь
медиану CC1и отрезок
CC2. Допустим что CC2
пересекает DD2 в
точке O1. Докажем что
О и О1 совпадают.
 ∆СС1С2 и прямая
DD2=>CO:OC2=3:1

О
Задача №1
Аналогично для ∆АА1А2 и
прямой
DD2=>AO:OA2=3:1
 Для ∆BB1B2 и прямой
DD2=>BO:OB2=3:1


Замечание: Для
правильного тетраэдра
его центроид является
центром вписанных и
описанных шара и сферы.
Теорема Ван-Обеля

Пусть на сторонах АВ,
ВС и АС взяты
соответственно точки
С1, А1 и В1. Если
прямые АА1, ВВ1 и СС1
пересекаются в точке
О, то имеет место
CO
CA 1 CB 1
равенство


OC 1
A1 B
B1 A
Доказательство
Построим А2В2ΙΙАВ
 ∆OCB2~∆OC1B;
∆OCA2~∆OC1A;
 ∆OA2B2~∆OAB =>

CO

OC 1
CO

OB
A2 B 2
OC 1
AB

A2 C
OB 2


OA 2

OA
A 2 C  CB 2
А2
С
B2
А1
В1
О
A2 B 2
AB

AB
A2 C
AB

CB 2
С1
А
AB
∆A2CA1~∆ABA1;
∆CB2B1~∆ABB1=>
CA 1 CB 2
CB 1

,

AB
A1 B AB
B1 A
В

Следовательно,
CO
OC 1

CA 1
A1 B

CB 1
B1 A
Задача №2

В каком отношении
делятся биссектрисы
треугольника точкой их
пересечения?
CA 1
b CB 1
a
 ,

A1 B
c B1 A
c

Поэтому, используя
теорему Ван-Обеля
находим
CO
OC 1

ab
c
Теорема Стюарта
C

Пусть в ∆ABC AB=c,
b
BC=a, AC=b, точка
d
D делит сторону AB
α
на отрезки AD=c1,
A c
D
c
BD=c2; CD=d. Тогда
c
имеет место
2
2
2
d
c

a
c

b
c 2  cc 1 c 2
1
равенство
1
2
a
B
Доказательство

C
Пусть CE – высота в ∆АВС.
Тогда cosα=DE/d.
b
d
b  c  d  2 c1 DE
2
2
1
2
a  c 2  d 2  2 c 2 DE
2
α
2
A
c1
Умножим первое
равенство на с2, второе на
с1 и сложим
2
2
2
b c 2  a c1  c1  c 2 c1c 2  d c1  c 2 
 Из этого получаем

d c  a c1  b c 2  cc 1 c 2
2
2
2
a
D
E c2
c
B
Задача №3
C


Вычислить
биссектрису СС1 ∆АВС
по его сторонам АВ=с,
АС=b, ВС=а.
Биссектриса СС1 делит
сторону АВ на отрезки
АС1=с1 и ВС1=с2. Тогда
с1+с2=с и ac1=bc2.
с1 
bc
ab
, c2 
ac
ab
b
A c1

c
С1 c2
B
Подставим эти равенства
в равенство теоремы
Стюарта
CC 1 c  a 
2

a
2
bc
ab
b
2
ac
ab
Отсюда
СС 1 
c
abc
2
 a  b 2
ab  a  b  c  a  b  c 
ab
Годы жизни
Чева Джованни (1648-1734) – итальянский
инженер, гидравлик и геометр. Доказал
теорему в 1678 году.
 Менелай Александрийский(1 в.) –
древнегреческий астроном и математик.
Автор работ по сферической тригонометрии.
Арабские авторы упоминают также о книге
Менелая по гидростатике.
 М. Стюарт (Stewart Matthew 1717-1785) –
английский математик, опубликовавший
теорему в 1746 в труде «Некоторые общие
теоремы».
