Transcript 1.Угол между прямой и плоскостью - an

ЗАДАЧИ ЕГЭ (С2)
Повторяем теорию:
Расстояние от точки до прямой, не
содержащей эту точку, есть длина отрезка
перпендикуляра, проведенного из этой
точки на прямую.
Расстояние между двумя параллельными
прямыми равно длине отрезка их общего
перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными
прямыми равно расстоянию от любой точки
одной из этих прямых до другой прямой
Повторяем теорию:
•
Расстояние от точки до плоскости, не
• содержащей эту точку, есть длина отрезка
перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
•
Расстояние между прямой и параллельной ей
плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.
•
Расстояние между прямой и параллельной ей
плоскостью равно расстоянию от любой точки этой
прямой до плоскости.
•
Расстояние между двумя параллельными
плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.
•
Расстояние между двумя параллельными
плоскостями равно расстоянию между точкой одной из
этих плоскостей и другой плоскостью.
Повторяем теорию:
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине
отрезка их общего перпендикуляра.
•
Углом между двумя пересекающимися прямыми
называется наименьший из углов, образованных при
пересечении прямых.
0 <  ≤ 900
Углом между скрещивающимися прямыми называется
угол между пересекающимися прямыми, соответственно
параллельными данным скрещивающимся.
Две прямые называются перпендикулярными, если угол
между ними равен 900 .
Угол между параллельными прямыми считается равным
нулю.
0
•
•
•
•
•
Повторяем теорию:
•
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей
прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на
данную плоскость.
• 0 < (а,  ) < 900
•
Угол между взаимно перпендикулярными прямой и
плоскостью равен 900 .
•
Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней),
то угол между ними считается равным 00 .
Повторяем теорию:
•
Двугранный угол, образованный полуплоскостями
измеряется величиной его линейного угла, получаемого при
пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной
его ребру.
•
Величина двугранного угла принадлежит промежутку
(00,1800 )
•
Величина угла между пересекающимися плоскостями
принадлежит промежутку . (00, 900 ]
•
Угол между двумя параллельными плоскостями
считается равным 00 .
Повторяем теорию:
Задач, связанные с нахождением угла между плоскостями:
● между пересекающимися прямыми a и b, лежащими в
рассматриваемых плоскостях и перпендикулярными их
линии пересечения ;
● между прямыми, параллельными прямым a и b или между
b и прямой, параллельной a;
● между плоскостями, параллельными данным плоскостям 
или между  и плоскостью, параллельной  ;
● между перпендикулярами к данным плоскостям.
и
Повторяем теорию:
• Как находят координаты вектора, если известны
координаты его начала и конца?
АВ х В  х А ; у В  у А ; z B  z A 
• Как находят координаты середины отрезка?
хА  хВ
уА  уВ
;
zA  zB
;
2
2
• Как находят длину вектора?
2
а  х  у  z
• Как находят расстояние между точками?
2
АВ 
х
2
 х А    у В  у А   z B  z A 
2
В
2
2
• Как вы понимаете выражение «угол между
векторами»?
2
Повторяем теорию:
• Что называется скалярным произведением векторов?
а  b  a  b  cos 
cos  
x1  x 2  y 1  y 2  z 1  z 2
x1  y 1  z 1 
2
2
2
x2  y2  z2
2
2
2
• Какие векторы называются перпендикулярными?
• Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?
(0)
•
Чему равен скалярный квадрат вектора? (
à
2
)
Направляющий вектор прямой.
А
а
• Ненулевой вектор называется
В
направляющим вектором
прямой, если он лежит на
самой прямой, либо на прямой,
параллельной ей.
cos  
x1 x 2  y 1 y 2  z 1 z 2
x1  y 1  z 1 
2
2
2
x2  y2  z2
2
2
2
Дано: А 3;  2 ; 4  В  4 ;  1; 2  С 6;  3; 2  D 7 ;  3;1
Найти: угол между прямыми АВ и CD.
1. Найдем координаты векторов
АВ 1;1;  2 и CD 1; 0 ;  1
2. Воспользуемся формулой:
cos  
x1 x 2  y 1 y 2  z 1 z 2
x1  y 1  z 1 
2
2
2
x2  y2  z2
2
φ = 300
2
2
Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; DA = 2; DC = 2;
DD1 = 3.
Найти угол между прямыми СВ1 и D1B.
1. Введем систему координат Dxyz
D(0;0;0),
D1(0;0;3),С(0;2;0),С1(0;2;3),А(1;0;0),
z
А1 (1;0;3), В(1;2;0), В1(1;2;3)
2. Рассмотрим направляющие прямых
D1Bи CB1 :
CÂ 1 (1; 0 ;3 ) D 1 B (1; 2 ;  3 )
cos  
1
2
1
x1  y 1  z 1 
2
2
2
2
1
B1
1
3
2
x2  y2  z2
2
C
A1
3.С помощью формулы скалярного произведения
x x  y y  z z
найдем cosφ :
cos  
D1
2
2
1
4
D
2
C
35
х
A
B
у
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
1 способ:
D1
1. Введем систему координат Bxyz
2. Пусть АА1= 2, тогда
A1
АВ = ВС = 1.
В 0 ; 0 ;0  С 1;0 ;0  D 1;1;0  D 1 1;1; 2 
3. Координаты векторов:
ÂD (1;1; 0 )
z
C1
B1
х
CD 1 ( 0 ;1; 2 )
D
4. Находим косинус угла между
прямыми:
1
C
cos  
10
у
A
B
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
2 способ:
D1
1. Т.к. СD1|| ВА1, то углы
между ВD и ВА1; ВD и СD1 – A1
равны.
2. В ΔВDА1: ВА1 = √5, А1D = √5
3. ΔВDА: по теореме Пифагора
2
2
BD  2
BD  AD  AB
4. По теореме косинусов:
 2 A1 B  BD  cos 
1
cos  
A
10
A1 D  A1 B  BD
2
2
C1
B1
D
C
2
B
Дано: куб АВСDA1B1C1D1
точка М принадлежит АА1
АМ : МА1 = 3 : 1; N – середина ВС
НАЙТИ :косинус угла между прям. MN и DD1
1. Введем систему координат.
2. Пусть АА1= 4, тогда
М  0 ; 4 ;3 
D ( 0 ;0 ;0 )
zD
N 4 ; 2 ;0 
1
D1 ( 0 ;0 ; 4 )
3. Найдем координаты векторов DD1 и MN.

DD 1 ( 0 ; 0 ; 4 ) MN ( 4 ;  2 ;  3 )
A1
B1

4. По формуле найдем cosφ.
cos  
| 0  4  0  (  2 )  4  (  3) |
16  29
Ответ:

C1
М
3
D
C
29
3
29
A
у
B
N
х
Дано: Правильная треугольная призма ABCA 1 B1 C 1
Все рёбра равны 1.
Найти косинус угла между прямыми АВ и A C
1
Поскольку A1В1 || AB, искомый угол равен углу В1А1С . Из
теоремы косинусов для треугольника В1А1С получим
2
A1C  B1 A1  B1C
2
cos  B1 A1C 
.
С
А1С=В1С=√2 , поэтому
cos  B1 A1C 
2 2

В1
2 А1
2 A1C  B1 A1
1
С1
2
А
4
2
Ответ:
4
В
Дано: Правильная треугольная призма ABCA 1 B1 C 1
Все рёбра равны 1.
Найти косинус угла между прямыми АВ1 и BC1 .
С1
А1
В1
M
С
А
В
)
1.Проведём прямую ВМ || АВ1 .Тогда  ( ÀÂ , ÂÑ )   ( ÂÑ , ÂÌ
1
1
1
2.В треугольнике С1В1М : С1В1=1, В1М =1, Ñ Â Ì  180 0  60 0  120 0
1 1
По теореме косинусов
2
Ñ1Ì
2
 Ñ 1 Â1  Â1 Ì
Ñ1Ì
2
 1  1  2 1 1  ( 
В треугольнике С1ВМ : С1В=ВМ= 2
2
 2 Ñ 1 Â1  Â1 Ì
1
2
,С1М=
)  3, Ñ 1 Ì
3
Далее, используя теорему косинусов, получаем:
C 1 B  BM
2
cos  
2
 C1M
2 C 1 B  BM
2

223
2 2  2

1
4
Ответ:
1
4
 cos 120

3.
0
Дано: Правильная шестиугольная призма АВСDEFA1B1C1D1E1F1 , АВ=5,
АA1 = 11.
Найти: расстояние от точки С до прямой A1F1
1.Расстояние от точки до прямой – длина
перпендикуляра, опущенного из точки на данную
прямую.
E1
F1
2.Из треугольника АВС по теореме косинусов
найдём АС
АС 
25  25  2  5  5 
1
S
A1

75  5 3
2
3.Из треугольника А1АС по теореме Пифагора
находим А1С, А1С=14
4.Из треугольника F1FС по теореме Пифагора
находим F1С, F1С= √221
5.Треугольник F1А1С прямоугольный (так как
2
F1C  F1 A1  A1C
2
2
Значит катет А1С – расстояние от точки С до
прямой A1F1 . А1С=14.
Ответ: 14.
F
E
A
D
B
C
Дано: куб АВСDA1B1C1D1
Найти угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1
1.Угол между
прямой и плоскостью – это угол между прямой и её
проекцией на заданную плоскость. АВ -перпендикуляр к
плоскости ВСС1 , С1В – проекция прямой АС1 на плоскость ВСС1.

Значит угол АС1В –искомый угол .
D1
2. Пусть сторона куба равна а , тогда С1В = à 2
3.
tg  
BC 1
tg  
B1
2
AB
  arctg
A1
2
C1
2
2
D
Ответ:
  arctg
C
2
2
A
B
Дано: Правильная четырёхугольная пирамида SAВСD, SA=SB=SC=SD=1,
АВ=1.
Найти косинус угла между прямой АBи плоскостью SAD.
1.Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на
заданную плоскость. Пусть BМ-перпендикуляр к плоскости SAD, АМ– проекция
прямой АB на плоскость SAD, тогда угол МАB –угол между прямой АBи
плоскостью SAD.
S
2.По теореме Пифагора находим ВD из треугольника
АВD. ВD=√2
3.
1
V SAВД 
S осн .  h ,
3
S осн . 
h 
1
1 1 
2
AS
1
M D
,
2
 AO
2
2
O
1
,h 
2
V SACF

1
3

1
2

1
2
С
1

6
2
А
В
4.
V SABD  V BADS , значитDМ
a
S ADS 
BM
5.Пусть
sin  
2
3

2
6
,
S ADS
.
4
1
:
3

4
2
2
3
- искомый угол МАB
:1 
3
cos  

4
 3
3

3V SABD
1
2
.
3
2
3

1
3

3
3
.
Ответ:
cos  
3
3
Дано: Правильная шестиугольная пирамида SA…F, SA=SB=…=SF=2, АВ=1.
Найти косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.
1.Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на
заданную плоскость. Пусть СМ-перпендикуляр к плоскости SAF , АМ–
проекция прямой АС на плоскость SAF, тогда угол МАС –угол между прямой АС
и плоскостью SAF.
S
2.По теореме косинусов находим АС из треугольника
АВС. АС=
3
3.
V SACF

3
S осн . 
h 
V SACF
1
1
S осн .  h ,
1 
3 
2
AS

 AO
2
1
2
2
3
М
,
E
O
2
A
,h 
3.
D
B
.
F
C
4.
V SACF  V CAFS , значитСМ

3V SACF
,
S AFS
S AFS 
p ( p  a )( p  c )( p  b ), p  2 , 5 .
S AFS 
2 , 5  0 , 5  0 , 5  1, 5  0 , 25
3  0 ,5
CM 
0 , 25
5.Пусть
sin  

6

1
15
искомый угол МАС
2
3 
15
cos  
6
15
-
:
15 .
.
5
4
5

1
5

5
5
.
Ответ:
cos  
5
5
Дано: Цилиндр, d=20, образующая цилиндра равна 28, плоскость сечения  ,
плоскость пересекает основания по хордам АВ и СD, АВ=12, СD=16.
Найти: тангенс угла между плоскостью сечения α и плоскостью основания
цилиндра.
1.Построим линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью
основания. Для этого из центров окружностей опустим перпендикуляры ОК и О1К1 на
хорды АВ и CD соответственно, тогда прямая КК1 также перпендикулярна хорде АВ
(теорема о трёх перпендикулярах) , а угол К1КО – угол между плоскостями.
2.1 случай (хорды, по которым плоскость сечения пересекает
плоскости основания, находятся по одну сторону от оси
цилиндра)
1)О1К1КО –трапеция, так как АВ||CD(линии пересечения
параллельных плоскостей третьей плоскостью) и О1К1  CD,
ОК  АВ, значит О1К1||ОК
В трапеции О1К1КО: ОО1= 28, К1М –высота трапеции, зн.
К1М=28.
2)В прямоугольном треугольнике О1К1С: СК1= 16:2=8, О1С=
d:2 = 20:2=10, тогда О1К1= Î 1Ñ 2  ÑÊ 1 2  100  64  6
3)В прямоугольном треугольнике ОКА: АК= 12:2=6,
ОА= d:2 = 20:2=10, тогда ОК= 100  36  8
МК=ОК-О1К1 =8-6=2.
4)В прямоугольном треугольнике К1МК: tg  K KM  K M  28  14
1
1
MK
2
О1 

D

К1
С
О


М
А

К
В
3.2 случай (хорды, по которым плоскость сечения пересекает
плоскости основания, находятся по разные стороны от оси
цилиндра)
1)В прямоугольном треугольнике О1К1С: СК1= 16:2=8, О1С= d:2 =
20:2=10, тогда О1К1= 6
2)В прямоугольном треугольнике ОКА: АК= 12:2=6, С
ОА= d:2 = 20:2=10, тогда ОК= 8
3)К1М -перпендикуляр, опущенный к основаниям цилиндра ,
поэтому К1М=28
МК=ОК +О1К1 =8+6=14.
4)В прямоугольном треугольнике К1МК:
tg  K 1 KM 
K 1M
MK
Ответ : 14 и 2.

28
2
D

К1


О1

О
14
М



А
К
В
Дано: Цилиндр, d=26, образующая цилиндра равна 21, плоскость сечения  ,
плоскость пересекает основания по хордам АВ и СD, АВ=10, СD=24.
Найти: угол между плоскостью сечения α и плоскостью основания цилиндра.
1.Построим линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью
основания. Для этого из центров окружностей опустим перпендикуляры ОК и О1К1 на
хорды АВ и CD (соответственно), тогда прямая КК1 также перпендикулярна хорде АВ
(теорема о трёх перпендикулярах) , а угол К1КО – угол между плоскостями.
2.1 случай (хорды, по которым плоскость сечения пересекает
плоскости основания, находятся по одну сторону от оси
цилиндра)
1)О1К1КО –трапеция, так как АВ||CD(линии пересечения
параллельных плоскостей третьей плоскостью) и О1К1  CD,
ОК  АВ, значит О1К1||ОК
В трапеции О1К1КО: ОО1= 21, К1М –высота трапеции, зн.
К1М=21.
2)В прямоугольном треугольнике О1К1С: СК1= 24:2=12, О1С=
d:2 = 26:2=13, тогда О1К1= Î 1Ñ 2  ÑÊ 1 2  169  144  5
3)В прямоугольном треугольнике ОКА: АК= 10:2=5,
ОА= d:2 = 26:2=13, тогда ОК= 169  25  12
МК=ОК-О1К1 =12-5=7.
K M
21
tg  K 1 KM  1

3
4)В прямоугольном треугольнике К1МК:
MK
7
 K 1 KM  arctg 3
О1 

D

К1
С
О


М
А

К
В
3.2 случай (хорды, по которым плоскость сечения пересекает
плоскости основания, находятся по разные стороны от оси
цилиндра)
1)В прямоугольном треугольнике О1К1С: СК1= 24:2=12, О1С= d:2 =
26:2=13, тогда О1К1= 5
2)В прямоугольном треугольнике ОКА: АК= 10:2=5, ОА= d:2 =
26:2=13, тогда ОК= 12
3)К1М -перпендикуляр, опущенный к основаниям цилиндра ,
поэтому К1М=21
МК=ОК +О1К1 =12+5=17.
4)В прямоугольном треугольнике К1МК:
tg  K 1 KM 
K 1M

MK
 K 1 KM  arctg
21
D

К1
С


О1

О
17
21
17
М
Ответ : arctg3 и arctg

21
17


А
К
В
Дано: прямая четырёхугольная призма АВСDA1B1C1D1;ABCD –прямоуг.,
АВ = 12, AD = 31 .Расстояние между прямыми АС и В1D1 равно 5.
Найти косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью,
проходящеёй через середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD1.
1.Угол между плоскостями равен углу между прямыми
перпендикулярными данным плоскостям. Так как
плоскость основания перпендикулярна прямой DD1,
а вторая плоскость перпендикулярна прямой ВD1, то
искомый угол  равен углу ВD1D.
A1
2.Так как расстояние между прямыми АС и В1D1 равно
5, то DD1 =5.
BD 1 
AD  AB  DD 1
2
5
cos  
10
2

2
2
BD 1  10
D1
C1
B1
2
2
D
4
C
ОТВЕТ:
cos  
2
4
A
B
Дано: прямая четырёхугольная призма АВСDA1B1C1D1;ABCD –прямоуг.,
АВ = 5, AD = 33 .Расстояние между прямыми A1 C1 и ВD равно .3
Найти тангенс угла между плоскостью грани АА1 D1D призмы и
плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно
прямой DВ1.
1.Угол между плоскостями равен углу между прямыми
перпендикулярными данным плоскостям. Так как
плоскость АА1 D1D перпендикулярна прямой DС, а
вторая плоскость перпендикулярна прямой ВD1, то
искомый угол  равен углу В1DС.
A1
2.Так как расстояние между прямыми АС и В1D1 равно
5, то DD1 = СС1 = 5, тогда
В1С 
ВС
2
D1
C1
B1
2
 ВВ 1  6 .
3.Треугольник В1СD-прямоугольный,т.к.
DС  (ВС C1B1 ), зн.
tg  
B1 C
DC
ОТВЕТ:

6
D
 1, 2
C
5
tg   1, 2
A
B
С2
РЕШЕНИЕ
cos  
S ïðîåê
. ìíîãîóãîëü
S ìíîãîóãîëü
íèêà
íèêà