Transcript Document

Подготовка к
ЕГЭ.
Решение задач
группы С2
(стереометрия)
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от
точки C до AD1.
Треугольник ACD1 – равносторонний.
Из  ABC :
D1
С1
В1
А1
1
К
С
600
1
1
2
 AB
AC
2
1 1 ;
AC
2
 2;
В
2
2
AC  
AC 
?
D
А
AC
 BC ;
2
2
Из  CKA
CK
sin 6 0 
0
2;
2.
AC
3

CK
2
2
CK 
6
2
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между
прямыми AB1 и BС1 .
Заменим одну из заданных прямых BC1 на параллельную прямую AD1
.
D1
С1
В1
А1
D
a
А
∆B₁AD₁ - равносторонний и, значит, угол
B₁AD₁ равен 60°.
С
В
Угол между BC1 и АB₁ равен углу между
параллельной прямой AD1 и АB₁.
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между
прямыми DA1 и BD1 .
Рассмотрим ортогональную проекцию AD₁ прямой BD1 на плоскость
ADD1 .
AD₁  DA₁
D1
С1
В1
А1
D
А
AD₁  DA₁
TTT

DA₁  BD₁
С
П-Р
В
Искомый угол между прямыми DA₁ и BD1 равен 90°.
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите косинус угла
между прямыми AB и CA1 .
Заменим одну из заданных прямых AB на параллельную прямую B₁A1
.
Угол между AB и CА₁ равен углу между прямой C A1 и А₁B₁.
Из  CB 1 В :
D1
a
А1
С1
В1
2
B1C
2
 BB 1  C В ;
B1C
2
1 1 ;
B1C
2
 2;
2
B1C   2 ;
2
B1C 
Из  A1 AC :
D
А
2.
С
В
.
2
2
С1
D1
А1
a
В1
2
D
А
!
С
В
Если вы получите
отрицательное значение
косинуса, - это говорит о
том, что угол тупой.
Вспомним, что в
стереометрии углом
между прямыми
называют острый.
Перейти к острому углу
просто.
cos a  m
В правильном тетраэдре ABCD точка E –середина ребра CD.
Найдите косинус угла между прямыми BC и AE.
Решение.
В ∆DBC проведем через точку E прямую ME // BC
Точка М – середина ребра DB.
Угол AEM - искомый.
D
Его можно найти из равнобедренного
треугольника MAE.
Из ∆ АВD :
E
0,5
M
0,5
A
1
В
С
Из ∆ СВD :
В правильном тетраэдре ABCD точка E –середина ребра CD.
Найдите косинус угла между прямыми BC и AE.
D
E
α
0,5
M
A
В
С
1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все
ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SD.
Найдите тангенс угла между прямыми SB и AE.
Чертеж и подсказка
2. В правильной шестиугольной призме A….F₁, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB₁
и BC₁.
Чертеж и подсказка
1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все
ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SD.
Найдите тангенс угла между прямыми SB и AE.
В ∆DBS проведем через точку E прямую ME // BS
Угол AEM - искомый.
S
Из ∆ SВD :
Из ∆ AВD :
E
1
0,5
Из ∆ ADS:
D
1
A
С
M
1
Из ∆ AEM :
1
В
значит ∆ AEM прямоугольный
Ответ:
2. В правильной шестиугольной призме A….F₁, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB₁
и BC₁.
E1
D1
F1
C1
A1
B1
1
E
D
F
A
1
B
C