Transcript 54в. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости
Напомним, что расстоянием от точки до плоскости называется
длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную
плоскость.
Выведем формулу для нахождения
расстояния от точки A0(x0, y0, z0) до
плоскости α, заданной уравнением
ax + by + cz + d = 0.
Пусть A(x, y, z) – точка плоскости α,
n ( a , b , c ) - вектор нормали.
cos  
n  A A0
| n |  | A A0 |

a ( x0  x )  b ( y 0  y )  c ( z 0  z )
2
2
.
2
a  b  c  | A A0 |
Учитывая, что -ax - by - cz = d, и то, что искомое расстояние h равно
| A A0 |  cos  , получаем
h
| ax 0  by 0  cz 0  d |
2
2
a b c
2
.
Упражнение 1
Найдите расстояние от точки O(0, 0, 0) до плоскости,
заданной уравнением x + y + z = 1.
Ответ:
3
3
.
Упражнение 2
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F – середины
ребер BC и CC1. Найдите расстояние от точки D до
плоскости AEF.
Решение. Пусть вершины куба
имеют координаты: D(0, 0, 0),
C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D1(0, 0, 1).
Плоскость AEF задается
уравнением
x + 2y + 2z – 2 = 0.
Искомое расстояние равно 2/3.
Упражнение 3
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F – середины
ребер BC и CC1. Найдите расстояние от точки B1 до
плоскости AEF.
Решение. Пусть вершины куба
имеют координаты: D(0, 0, 0),
C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D1(0, 0, 1),
B1(1, 1, 1).
Плоскость AEF задается
уравнением
x + 2y + 2z – 2 = 0.
Искомое расстояние равно 1.
Упражнение 4
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F – середины
ребер BC и CC1. Найдите расстояние от точки B до
плоскости AEF.
Решение. Пусть вершины куба
имеют координаты: D(0, 0, 0),
C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D1(0, 0, 1),
B(1, 1, 0).
Плоскость AEF задается
уравнением
x + 2y + 2z – 2 = 0.
Искомое расстояние равно 1/3.
Упражнение 5
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB =
a, BC = b, CC1 = c. Найдите расстояние от точки D до
плоскости ACD1.
Решение. Пусть вершины
параллелепипеда имеют
координаты: D(0, 0, 0), C(a, 0, 0),
A(0, b, 0), D1(0, 0, c), B1(a, b, c).
Плоскость ACD1 задается
уравнением
x
a
1
Искомое расстояние равно
1
a
2


b
2

1
c
2
z
 1.
c
abc

1
b

y
2 2
2 2
.
2 2
b c a c a b
Упражнение 6
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB =
a, BC = b, CC1 = c. Найдите расстояние от точки B1 до
плоскости ACD1.
Решение. Пусть вершины
параллелепипеда имеют
координаты: D(0, 0, 0), C(a, 0, 0),
A(0, b, 0), D1(0, 0, c), B1(a, b, c).
Плоскость ACD1 задается
уравнением
x
1
Искомое расстояние равно

a

b
1
a
1
2

1
a
1
c
1
b
2


1
c
2

y

b
z
 1.
c
| bc  ac  ab  abc |
2 2
2 2
2 2
b c a c a b
.
Упражнение 7
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра
которой равны 1, точка D1 – середина ребра A1C1. Найдите
расстояние от точки A1 до плоскости AB1D1.
Решение. Пусть D(0, 0, 0) – середина
ребра AC, A(0, 0,5, 0), D1(0, 0, 1), A1(0,
0,5, 1), B  3 , 0, 0  , B1  3 , 0, 1  .
 2

 2

Плоскость AB1D1 задается уравнением
2y + z – 1 = 0.
Искомое расстояние равно
5
5
.
Упражнение 8
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра
которой равны 1, точки D1 и E – середины ребер A1C1 и
AA1. Найдите расстояние от точки A1 до плоскости B1D1E.
Решение. Пусть D(0, 0, 0) – середина
ребра AC, A(0, 0,5, 0), D1(0, 0, 1), E(0, 0,5,
0,5), B  3 , 0, 0  , B1  3 , 0, 1  .
 2

 2

Плоскость B1D1E задается уравнением
y + z – 1 = 0.
Искомое расстояние равно
2
4
.
Упражнение 9
В правильной треугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точка E – середина ребра AB. Найдите
расстояние от точки B до плоскости SEC.
Решение. Пусть O(0, 0, 0), E(0, 0,5,
0), F(0,5, 0, 0), S(0, 0,
2
).
2
Плоскость SEC задается
уравнением
4x  2 y 
2 z  1  0.
Искомое расстояние равно
22
11
.
Упражнение 10
В правильной треугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, точки E и F – середины ребер BC и SB.
Найдите расстояние от точки B до плоскости AEF.
Решение. Пусть B(0, 0, 0), A(1, 0, 0),
E(0, 0,5, 0), F(0,25, 0,25,
Плоскость AEF задается
уравнением
x  2y 
2
2
),
4
z  1  0.
2
Искомое расстояние равно
22
11
.