Transcript Document

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой
тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BDC.
Заменим DH на параллельную прямую ME. Угол между прямыми DH и
BM будет равен углу между ME и BM.
ME  ABC , значит, отрезок МЕ перпендикулярен к
любой прямой, лежащей в этой плоскости. ME  BE Из  BDM :
2
2
2
 BCD  равност оро
нний, DB  DM  MB ;
D
2
1 BM  м едианаи высот а
1
 
2
12     MB 2 ;
2
M
1
2
3
2
1
C
A
HE
K
1
1
2
B
1
MB  1  ;
4
3
MB   ;
4
2
3
MB 
.
2
3
CK 
.
2
В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой
тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BDC.
H – точка пересечения медиан правильного
Из  ECM :
треугольника. CH:HK = 2 : 1, считая от вершины.
2
2
2
CM

ME

EC
;
Из  MBE :
По теореме Фалеса СЕ = EH.
3
2
2
CK

.
Тогда КH = СЕ = EH.
ME 

D
2
СЕ  СК : 3;
1
2
M
3
2
1
6
6
A
E
H
K
1
2
B
1
3
: 3;
2
3
СЕ 
6
СЕ 
1
2
3
6
C
3
1
 
2;
cos

 ;

ME

 
MB  6 
2


6 33
1
cos
ME2 
 6 : 2; ;
4 36
6 12
2  1
cos

ME   
46 12 3
21
cos
ME ;
36
26

1
 ME
 arccos

6 3 6
6
ME 
6