Transcript Тригонометрическая форма комплексного числа(11 класс)

Действия с комплексными числами в алгебраической форме.
(а +вi) + (с + di) = (а + с) + (в + d)i
(а +вi) ∙ (с + di) = (ас – вd) + (аd + вс)i
а +вi
с + di
=
ас + вd
с² + d²
+
вс - аd
с² + d²
i
Комплексное число z = x + у i задается упорядоченной парой чисел
(х; у).
Пара чисел (х; у) задает на плоскости некоторую точку М(z).
Очевидно, что каждая точка плоскости – это геометрическое
изображение комплексного числа и наоборот:
каждому комплексному числу в соответствует некоторая
точка плоскости.
Примеры.
у
z=3+2i
z
2
х
-2
1
t
t = -2 - 4i
-4
3
Принято вместо точки на плоскости комплексному числу
ставить в соответствие радиус-вектор с началом О(0; 0) и
концом (х; у).
у
М(х; у)
х
Положение точки в координатной плоскости можно задавать указав:
расстояние от точки да начала координат и
величиной угла между осью ОХ и радиус-вектором.
Пример.
Длина радиус-вектора – 3 единичных
у
М
отрезка,
.
угол между осью ОХ и радиус
вектором – п/4, тогда
п/4
х точка М имеет полярные координаты
(3, п/4).
Чтобы определить полярные координаты точки на плоскости надо
1) определить длину радиус-вектора (в единичных отрезках),
2) определить величину угла между осью ОХ и радиус-вектором.
Полярные координаты точки М (r; Φ).
у
.
r
0
1
sin φ = у/r
х
φ
Очевидны равенства:
cos φ =x/r
у
P(φ)
.
М(х; у)
х² + у² = r²
х
Данные равенства позволяют находить полярные
координаты, зная декартовы и наоборот.
В частности, значение φ можно найти по формуле tg φ = х/у.
Пример. Если М(√3; -1), то r = √(√3)² + (-1)² = 2
Получаем, cos φ = √3/2, sin φ = -1/2, откуда φ = -п/6.
Итак, полярные координаты точки М равны (2; -п/6).
Длина радиус вектора точки М, изображающей
комплексное число z, называется модулем этого числа, а
полярная координата – аргументом (или фазой)
комплексного числа z.
Из отношения cos φ =x/r, x = r cos φ,
Из отношения sin φ = у/r, у =r sin φ .
Тогда z = (х; у) = r cos φ +risin φ ) = r(cos φ + i sin φ ), где
r – модуль числа, φ – аргумент этого числа
Определение.
Запись вида r(cos φ; sin φ ) – тригонометрическая
форма записи комплексного числа z.
Найти тригонометрическую запись чисел:
√3 – i,
-6;
-2(cosп/5 - isinп/5).
Представить в алгебраической форме
число 4(cos(-п/4) – isin(-п/4)).
Решение.
r = 4, φ = - п/4,
x = r cos φ = 4 ∙ cos(-п/4) = 2√ 2,
у = r sin φ = 4∙sin(-п/4) = -2√2,
тогда z = 2√2 - 2√2 i.
Ответ: 2√ 2 - 2√ 2 i.
• При умножении комплексных чисел, записанных в
тригонометрической форме их модули перемножаются, а
аргументы складываются, т. е.
zt = r(cos φ + i sin φ )∙R(cos ω + i sin ω ) = r R(cos (φ + ω)+ I sin(φ + ω)).
При делении комплексных чисел, записанных в
тригонометрической форме модуль частного равен
отношению модулей делимого и делителя, а аргумент
частного равен разности аргументов делимого и делителя.
z
r
=
r(cos φ + i sin φ )
R(cos ω + i sin ω)
=
r
R
(cos (φ - ω)+ I sin(φ - ω)).
При возведении комплексного числа, записанного в
тригонометрической форме в степень с натуральным
показателем п, модуль степени равен степени с тем же
показателем, а аргумент равен аргументу основания,
умноженному на п.
z
п
п
= (r(cos φ + i sin φ ))
= r п (cos пφ + i sinп φ ).