Transcript Лекция 2:

Лекция 2:
Численное дифференцирование.
Численное интегрирование.
П.1. Простейшие формулы численного
дифференцирования.
Допустим, что в некоторой т. х
f '( x)  lim
x0
 f (x)
f ( x  x)  f ( x)
x
Если f (x ) вычислить точно затруднительно, или невозможно, то можно
воспользоваться приближенным равенством:
f ' ( x) 
f ( x  x)  f ( x)
x
Какова погрешность?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно потребовать от функции наличие
производных более высокого порядка, чем 1-й в окрестности. т.
.
x
Остановимся на 3-х основных формулах численного дифференцирования.
Пусть xi  x0  ih, i  1,0,1, h -шаг
fi  f ( xi ),
fi  f ( xi )
Если
(2.1)
Если
(2.2)
Если
(2.3)
f  C2 x0 , x1 
f '0 
, справедлива формула:
f1  f 0 h
 f " ( ),   ( x0 , x1 )
h
2
f  C3 x1 , x1 
f 1  f 1 h 2
f ' ( x0 ) 

f ' ' ' ( ),   ( x1 , x1 )
2h
6
f  C4 x1 , x1 
f 1  2 f 0  f 1 h 2 ( IV )
f ' ' ( x0 ) 

f
( ),   ( x1 , x1 )
2
12
h
Формулы (2.1), (2.2) и (2,3) называются формулами численного
дифференцирования с остаточным членом,
а формулы
(2.4)
(2.5)
(2.6)
f1  f 0
h
f 1  f 1
f '0 
2h
f  2 f 0  f 1
f 0  1
h2
f '0 
формулами численного дифференцирования.
(2.4) – первая разностная производная вперёд.
(2.5) – центральная разностная производная.
(2.6) – вторая разностная производная.
Формулы (2.4), (2.6) имеют следующую погрешность:
f '0 
f1  f 0 h
 max f ( x)
h
2 x x0 , x1 
f1  f 1 h2
f '0 

max f ( x)
x

2h
6  x1 , x1 
Говорят, что формула (2.4) имеет первый порядок погрешности
относительно h, а формулы (2.5), (2.6) имеют второй порядок погрешности
относительно h.
Или по другому, формула (2.4) имеет первый порядок точности по h, (2.5),
(2.6) имеют второй порядок точности по h.
п.2 Квадратурные формулы. Квадратурная формула прямоугольника.
Пусть требуется вычислить от непрерывной функции
b
I   f ( x ) dx
a
Приближенное равенство
b
N
 f ( x)dx   q f ( x )
i
i
(2.7)
i 1
a
где qi - некоторые числа, x i -некоторые точки отрезка a, b ,
называется квадратурной формулой, определяемой весами
узлами x i .
h h
Пусть f  C2  , , h  0.
 
qi
и
 2 2 
Для вычисления интеграла можно использовать квадратурную формулу
h
прямоугольника:
2
(2.8)
 f ( x)dx  f h
0

h
2
f 0  f (0)
Квадратурная формула формулой прямоугольников с остаточным
членом имеет вид
h
2
(2.9)
h3
 h h


h f ( x)dx  f 0h  24 f ( ),     2 , 2 

2
Квадратурная формула трапеции.
 
Пусть f  C2 0,,h тогда квадратурной формулой трапеции будем
называть правую часть равенства:
h
(2.10)

0
где
f 0  f1
f ( x)dx  h
2
f 0  f (0) , f1  f (h)
Квадратурная формула трапеции с остаточным членом имеет вид:
h
(2.11)

0
f 0  f1 h3
f ( x)dx  h

f ( ),   0, h 
2
12
Квадратурная формула Симпсона.
Пусть
f  C4  h, h
h
Для вычисления
 f ( x)dx
используем параболу, проходящую через точки
 h, f (h), 0, f h(0), h, f (h.)
Квадратурную формулу Симпсона имеет вид
h
h
h f ( x)dx  3  f1  4 f0  f1 
(2.12)
Квадратурная формула Симпсона с остаточным членом:
(3.13)
h
h
h5 4 
h f ( x)dx  3  f 1  4 f0  f 1   90 f ( ),    h, h
Квадратурные формулы (2.6), (2.8), (2.10) называются каноническими
квадратурными формулами.
П.3. Усложненные квадратурные формулы.
b
На практике, когда требуется вычислить
 f ( x )dx, отрезок a, b разбивают на
a
N частей. На каждом из частичных отрезков применяют одну из канонических
квадратурных формул, затем полученные результаты суммируют.
Построенная таким образом квадратурная формула на
a, b
называется
усложненной квадратурной формулой.
При использовании квадратурных формул прямоугольников и трапеций
за длину частичного отрезка удобно выбирать h, а квадратурной формулы
Симпсона удобно выбирать 2h.
Остановимся подробнее на применении усложненной формулы
прямоугольника. Разобьем
a, b
на N равных частей.
Каждый из этих частичных отрезков будем обозначать xi , xi 1 , где
x0  a, xi  a  ih, i  1,..., N  1, xN  b, h 
ba
N
На каждом из частичных отрезков применим квадратурную формулу
прямоугольника:
xi 1

(2.14)
f ( x)dx  f
xi
i
1 h
2
f
i
1
2
  1 
 f  a   i  h ,
  2 
i  0,..., N  1
Суммируя формулы (4.1) при i  0,...,N  1 , устанавливаем усложненную
квадратурную формулу прямоугольников:
b

(2.15)
a


f ( x)dx  h f 1  f 3  ...  f 1 
N
2
2
 2
Усложненная квадратурная формула прямоугольников с остаточным членом
имеет вид:
b

a

 h2
f ( x)dx  h f 1  f 3  ...  f 1   (b  a) f  ,   a, b 
N
24
2
2
 2
Если ф. f  C2 a, b, то разбив
a, b
на N частей запишем усложненную
квадратурную формулу трапеций:
b

(4.6)
a
 f  fN

f ( x)dx  h 0
 f1  ...  f N 1 
 2

Усложненная квадратурная формула трапеций с остаточным членом:
(4.7)
b

a
где
2
 f0  f N
 h
f ( x)dx  h
 f1  ...  f N 1   (b  a) f  ,   a, b 
 2
 12
fi  f (a  ih), h  (b  a) / N
Обозначим h 
ba
, x i  a  ih, i  0,2 N
2N
На каждом из отрезков x2i , x2i 2  запишем каноническую квадратурную
формулу Симпсона:
x2 i  2

x2 i
f ( x)dx 
h
 f 2i  4 f 2i 1  f 2i  2 
3
Усложненная квадратурная формула Симпсона:
(4.8)
b

a
N
N 1
h

f ( x)dx   f 0  4 f 2i 1  2 f 2i  f 2 N 
3
i 1
i 1

Усложненная квадратурная формула Симпсона с остаточным членом:
b

a
N
N 1
h
 h4
f ( x)dx   f 0  4 f 2i 1  2 f 2i  f 2 N  
(b  a) f ( 4) ( ),
3
i 1
i 1
 180
  a, b 