Частта от геометрията, в която се изучават свойствата на пространствените фигури, се нарича стереометрия (от гръцката дума στερεο, която означава пространство)

• Аксиома 1 : През всеки три точки, нележащи на една права, минава единствена равнина.

Ako A, B, C не лежат на една права, то Ǝ 1! α = (ABC) α • Аксиома 2 : Ако две точки от една права лежат в една равнина, то всяка точка от правата лежи в равнината.

A, B ϵ a A, B ϵ α => a ϵ α α • Аксиома 3 : Ако две равнини имат обща точка, то те имат поне още една обща точка.

• Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права.

α • Аксиома 4 : Във всяка равнина са изпълнени аксиомите на планиметрията и за фигури, лежащи в различни равнини, може да се прилагат всички твърдения от планиметрията.

A C A X B β a B a

• Пресичащи се прави : Две прави, които имат обща точка.

a ∩ b => Ǝ 1! α = (a, b) • Успоредни прави : Две прави, които нямат обща точка и лежат в една равнина.

a || b => Ǝ 1! α = (a, b) α • Права, успоредна на дадена права : В пространството през точка, нележаща на дадена права, минава единствена права, успоредна на дадената.

a a; A не лежи на a Ǝ 1! b: b Z A, b || a α A 1 b D 1 • Кръстосани прави : Две прави, които не лежат в една равнина.

BC и AA 1 D A B 1 A B C 1 C

• Твърдение : Ако една права лежи в равнина, а друга права пресича равнината в точка, нележаща на първата права, то двете прави са кръстосани. a Є α, b ∩ α = B, B не лежи на a => a и b са кръстосани прави α a • Пресечница на две равнини : Пресечницата на две равнини, минаващи през две успоредни прави, е права, успоредна на двете прави.

α ∩ β = c α Z a, β Z b, a || b => c || a, c || b α • Две прави, успоредни на трета права : Ако две прави са успоредни на трета права, то те са успоредни помежду си.

a || b, b || c => a || c a c b B b β

• Успоредни права и равнина : които нямат общи точки.

a ∩ α = Ø => a║α Права и равнина, α • Признак за успоредност на права и равина на някоя права в равнината, то правата и равнината са успоредни.

: Ако права, нележаща в една равнина, е успоредна a не лежи в α, b z α и a || b => a || α α a b • Теорема : Ако права и равнина са успоредни, пресечницата на всяка равнина, минаваща през правата, с дадена равнина e права, успоредна на дадената права.

a || α, β z a, β ∩ α = b => b || a α β a b

• Теорема : равнината.

Ако права е успоредна на равнина и през точка от равнината прекараме права, успоредна на дадената, то втората права лежи в a || α, A z α, b z A, b || a => b z α α a b • Теорема : Ако права е успоредна на две пресичащи се равнини, то тя е успоредна на тяхната пресечница.

a || α, a || β, α ∩ β = b => a || b b α • Теорема : Ако една равнина пресича две равнини и е успоредна на тяхната пресечница, то пресечниците й с двете равнини са успоредни прави.

α ∩ β = m, γ || m, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b => a || b α a A m b β β a γ

• Успоредни равнини : общи точки.

α║β Две равнини, които нямат • Признак за успоредност на равнини α z a, b , a ∩ b = B β z a’, b’ , a’ ∩ b’ = A => α || β a || a’ , b || b’ : Ако две пресичащи се прави от една равнина са успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, то двете равнини са успоредни.

• Успоредни равнини : През точка, нележаща на дадена равнина, минава единствена равнина, успоредна на дадената.

A не лежи на α => Ǝ 1! β, β z A и β || α α β α β A a ’ b ’ B a b

• Пресечници на успоредни равнини : Пресечниците на равнина с две успоредни равнини са успоредни прави.

α║β, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b => a || b β α a b γ

Основни построения в пространството : •

Равнина

1.

е построена, ако са дадени: три точки, нележащи на една права 2.

3.

4.

права и точка, нележаща на нея две пресичащи се прави две успоредни прави •

Права

1.

е построена, ако са дадени: две неуспоредни равнини •

Точка

1.

е построена, ако са дадени: неуспоредни права и равнина

• Ъгли с успоредни рамене : лъчи, то ъглите са равни.

Ако раменете на два ъгъла са еднопосочни • Ъгъл между две кръстосани прави : Ъгълът между две пресичащи се прави, съответно успоредни на двете кръстосани прави.

< (a; b) = < (a; b’) = α b’ || b < (a; b) = < (a’; b’) = α a’ || a , b’ || b b b b’ α A α a b’ α A α a’ a

Дадена е триъгълна пирамида ABCD. Точката M е медицентърът на триъгълника ABC. Определете взаимното положение на правата DM с всяка от правите AB, BC и CA.

Дадено: ABCD – триъгълна пирамида т. М – медицентър на ABC Да се определи взаимното положение на DM с всяка от правите AB, BC и CA.

D C M B A Решение: AC, BC, AB Є (ABC), M Є (ABC), M не принадлежи на AB, BC и AC DM ∩ (ABC) = M => DM и AB, DM и BC, DM и AC са кръстосани прави

Точката М е средата на околния ръб AQ на правилна четириъгълна пирамида ABCDQ. Равнината (BCM) пресича ръба DQ в точка N.

Докажете, че BMNC е трапец.

Q Дадено: ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида т. М – среда на AQ (BCM) ∩ DQ = N Да се докаже, че BMNC е трапец.

M D Доказателство: A ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида => ABCD – квадрат => BC || AD, AD Є (ADQ) => => BC || (ADQ), N Є (BCM) => => (BCNM) Z BC; (BCNM) ∩ (ADQ) = MN => BC || MN N B C

Даден е куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Намерете ъгъла между правите: a) AC и B 1 D 1 б) AC и DA 1 Дадено: куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 D 1 Решение a): ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб => DD 1 || CC 1 , DD 1 BB 1 || CC 1 , BB 1 = CC 1 = CC 1 => DD 1 DD 1 || BB 1 = BB 1 , => BB 1 D 1 D – успоредник => => B 1 D 1 || BD < (AC; B 1 D 1 ) = < (AC; BD) = 90 °, защото AC и BD – диагонали в квадрата ABCD A 1 B 1 Решение б): <(AC; DA 1 ) A 1 B 1 || CD, A 1 B 1 => DCB 1 A < (AC; DA 1 1 = CD => успоредник => CB 1 ) = < (AC; CB триъгълник от AC = CB 1 1 ) = < ACB = AB 1 || DA 1 , CB 1 1 = DA 1 = 60 °, защото ACB 1 е равностранен – диагонали в еднакви квадрати C 1

Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб AB = 2a и околен ръб AQ = a√2. Намерете ъгъла между правите: a) QD и AB; b) QD и BC Дадено: ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида AB = 2a AQ = a√2 Намерете ъглите между правите: a) QD и AB; b) QD и BC a √2 a √2 2a Решение: ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида => ABCD – квадрат => AB || DC => < (QB; AB) = < (QB; DC) = < CDQ QC = QD = a√2, AB = 2a Косинусова теорема за DCQ: DC 2 + QD 2 – QC 2 2a 2 + 4a 2 – 2a 2 cos

2.2a.a

√2 => < CDQ = 45 ° = 4a 2 4a 2 √2 = √2 2 a √2

Точката M е среда на ръба AB на правоъгълния паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Равнината (A 1 C 1 M) пресича BC в точка N. Докажете, че A 1 C 1 NM е трапец.

D 1 Дадено: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – правоъгълен паралелепипед М – среда на ръба AB (A 1 C 1 M) ∩ BC = N Да се докаже, че A 1 C 1 NM е трапец A 1 B 1 D Доказателство: (A 1 C 1 M) ∩ BC = N => N Є (A 1 C 1 M) (ABCD) || (A 1 B 1 C 1 D 1 ) (A 1 C 1 NM) ∩ (ABCD) = MN (A 1 C 1 NM) ∩ (A 1 B 1 C 1 D 1 ) = A 1 C 1 => A M B => A 1 C 1 || MN => A 1 C 1 NM е трапец N C 1 C

Стр. 147 / Зад. 4 б), Зад. 6, Зад. 8, Зад. 11