Перпендикулярност на права и равнина

Перпендикулярност на права и равнина

Определение- права е перпендикулярна равнина, ако е тя е перпендикулярна на всяка права в равнината.

Критерий за перпендикулярност на права и равнина • Т1 – права е перпендикулярна на

една равнина, ако тя е перпендикулярна на две пресичащи се прави от една равнина.

• m ┴ a, m ┴ b, a ∩ b =O, α = (a, b) → m ┴ α

Равнина през точка перпендикулярна на права • Т2: През дадена

точка същест вува единст вена равнина, перпендикулярна на даденат а права.

Права през точка, перпендикулярна на равнина • Т3: През дадена

точка минава единст вена права, перпендикулярна на дадена права.

Задача 1.

• Дадено : Основата на четириъгълна пирамида ABCDQ е правоъгълник ABCD със страниAB = 4 cm и AD = 3 cm.

Околният ръб QD е перпендикулярен на основата и има дължина 12cm.

Да се намерят дължините на околните ръбове.

• Решение : Тъй като QD ┴ (ABCD), ръбът QD е перпендикулярен на всяка права в равнината (ABCD), в частност на правите AD, DC и DB. От правоъгълния триъгълник ABD имаме • • Като приложим питагоровата теорема за триъгълниците ADQ, BDQ, CDQ последователно намираме: •

Задача 2.

• Дадено : Да се докаже че всички точки, равноотдалечени от краищата на една отсечка, лежат в равнина, която минава през средата на отсечката и е перпендикулярна

• Решение: Нека O е средата на отсечката 1.

Ако точката

M

е такава, че

MA

=

MB,

то от равнобедрения триъгълник

ABM

следва, че

МО ┴ А B

. Тъй като равнината през

M

, перпендикулярна на

AB

, съдържа точка

О

и е единствена, то тя съвпада с равнината Следователно 2. Нека N е произволна точка от σ. Тогава и понеже

OA

=

OB

, то ∆

ABN

Следователно

NA

=

NB

е равнобедрен.

Симетрална равинина на отсечка

• Определение: Равнината, която минава през средата на дадена отсечка и е перпендикулярна на нея се нарича симетрална равнина,

Прави перпендикулярни на равнина

• Т4: Ако две

прави са перпендикулярни на една равнина, то т е са успоредни помежду си.

• а ┴ α, b ┴ α → a ║ b

Равнини, перпендикулярни на права • Т5: Ако две

равнини са перпендикулярни на една права, т е са успоредни помежду си.

• α ┴ m, β ┴ m → α ║ β

Права, перпендикулярна на от успоредни равнини

• Т6: Ако права е перпендикулярна

на едната от двете успоредни равнини, то тя е перпендикулярна и на втората.

• m ┴ α, α ║ β → m ┴ β

Изработили: Илияна Илиева от 12 а клас