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Esempio di spazio vettoriale
Marcello Colozzo – http://www.extrabyte.info
Denotiamo con Pn [x] l’insieme dei polinomi su un campo K di grado ≤ n ∈ N. Introduciamo in
Pn [x] le ordinarie operazioni di addizione di polinomi e di moltiplicazione di uno scalare (elemento
di K) per un polinomio. Più precisamente, assegnati i polinomi:
a (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn ,
b (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn xn ,
(ai ∈ K, i = 0, 1, ..., n)
(bi ∈ K, i = 0, 1, ..., n)
(1)
Definiamo “somma di a (x) e b (x)” il polinomio:
a (x) + b (x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + (a2 + b2 ) x2 + ... + (an + bn ) xn
(2)
L’elemento neutro 0Pn [x] rispetto all’addizione è il polinomio nullo, i.e. il polinomio avente tutti i
coefficienti nulli:
0 + 0x + 0x2 + ... + 0xn
(3)
L’elemento opposto di a (x) è
−a (x) = −a0 − a1 x − a2 x2 − ... − an xn
(4)
L’operazione di moltiplicazione di uno scalare per un elemento di Pn [x] è cosı̀ definita:
λa (x) = λa0 + λa1 x + λa2 x2 + ... + λan xn ,
a (x) ∈ Pn [x] , λ ∈ K
(5)
È facile persuadersi che l’insieme Pn [x] assieme alle operazioni sopra definite (+, ·), verifica tutti
gli assiomi di spazio vettoriale. Ne concludiamo che (Pn [x] , +, −) è uno spazio vettoriale su K.
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