Transcript an = An+1 An lj HxL

ricordiamo che :
gn = Hyn HxL, yn HxLL =Ùa wHxL yn HxL yn HxL â x
b
yn HxL = An ä Hx - xkL ;
n
an =
k=1
lj HxL = ä
n
k=1
k¹j
Hx - xk L
An+1
An
Hxj - xkL
2
hj HxL = I1 - 2 Hx - xjL lŒ
j HxjLM lj HxL
Ž
hj HxL = Hx - xjL l2j HxL
R2 n-1 HxL = f@x1, x1, .., xn, xn, xD ä Hx - xkL2
n
k=1
Se gli xj sono gli zeri del polinomio
ortogonale yn HxL ed anche i punti
di interpolazione del polinomio di
Hermite valgono le relazioni a seguire.
lj HxL = ä Hx - xk L “ ä Hxj - xk L =
n
n
k=1
k¹j
k=1
k¹j
2
SLIDE3_CORSO_AN.nb
yn HxL
ma
“ ä Hxj - xk L
n
An Hx - xjL
k=1
k¹j
ynŒ HxL = An â ä Hx - xk L
n
n
pertanto
i=1 k=1
k¹i
ynŒ HxjL = An ä Hxj - xk L
n
k=1
k¹j
e quindi
lj HxL = ä Hx - xk L “ ä Hxj - xk L =
n
n
k=1
k¹j
k=1
k¹j
yn HxL
Hx - xjL yΠHxjL
n
pertanto
2
hj HxL = I1 - 2 Hx - xjL lŒ
j HxjLM lj HxL =
lŒ
j HxjL yn HxL lj HxL
2
lj HxL - 2
ynΠHxjL
SLIDE3_CORSO_AN.nb
Ž
hj HxL = Hx - xjL l2j HxL =
yn HxL lj HxL
yΠHxjL
n
R2 n-1 HxL =
f@x1, x1, .., xn, xn, xD ä Hx - xkL2 =
n
k=1
f@x1, x1, .., xn, xn, xD
yn2 HxL
An2
Calcolo dei pesi nelle
formule di quadratura di Gauss
wj = à w HxL lj HxL â x = à
b
a
b
a
w HxL yn HxL
âx
Œ
Hx - xjL y HxjL
per calcolare il rapporto
n
yn HxL
Hx - xjL
ricorriamo
all ' identità di Christoffel Darboux, cioè :
yn+1 HxL yn HyL - yn+1 HyL yn HxL
=â
n
k=0
an gn Hx - yL
yk HxL yk HyL
gk
per x ¹ y
=
3
4
SLIDE3_CORSO_AN.nb
Se poniamo y = xj con xj zero di yn HxL
l ' identità diventa
yn+1 HxL yn HxjL - yn+1 HxjL yn HxL
â
n
k=0
an gn Hx - xjL
yk HxL yk HxjL
gk
=
per x ¹ xj
ovvero essendo yn HxjL = 0
-yn+1 HxjL yn HxL
an gn Hx - xjL
=â
n-1
k=0
yk HxL yk HxjL
gk
quindi
yn HxL
Hx - xjL
=-
an gn
yn+1 HxjL
â
n-1
k=0
yk HxL yk HxjL
gk
tornando alla formula dei pesi abbiamo
w HxL yn HxL
an gn
wj = à
âx = Œ
yn+1 HxjL yΠHxjL
a Hx - xjL y HxjL
b
n
n
=
SLIDE3_CORSO_AN.nb
âà
n-1
k=0
bw
a
HxL yk HxL yk HxjL
gk
âx =
n-1 Hy HxL, y Hx LL
an gn
k
k
j
=â
yn+1 HxjL ynΠHxjL k=0
gk
ora poichè il prodotto scalare
Hyk HxL, yk HxjLL = 0 per k > 0,
in quanto yk HxjL
è una costante, immediatamente si ha che
wj = -
an gn
yn+1 HxjL ynΠHxjL
5